Конспект урока математики 'Применение первой и второй производной для исследования функций и построения графиков'в 11 классе

Цели: 1) обобщить и систематизировать знания учащихся по применению первой и второй производных для исследования функций;

2. закрепить умение строить графики функций с применением их предварительного
   исследования;

3. проверить знания и умения учащихся по изученной теме.

План.

1. Вступительное слово. - 4 мин.

2. Признак возрастания и убывания функции. - 17 мин.

3. Критические точки функции, максимумы и минимумы. - 9 мин.

4. О необходимости применения второй производной. - 2 мин.

5. Исследование функций на выпуклость (вогнутость). - 8 мин.

6. Точки перегиба. - 12 мин.

7. Самостоятельная работа. - 25 мин.

8. Итоги урока.

За неделю до урока весь класс разбит на 5 групп, каждая из которых получила свое задание по подготовке к семинару-практикуму.

1. Признак возрастания (убывания) функции.

2. Критические точки функции, максимумы и минимумы.

3. Исследование графиков на выпуклость.

4. Точки перегиба.

5. Сведения из истории.

Ход урока.

I. Вступительное слово учителя.

( В это время у доски готовится ученик из первой группы по первому вопросу)

До изучения темы «Исследование функций и построение их графиков» мы строили графики функций примерно следующим образом:

1. Строим оси координат, выбираем масштаб.

2. Составляем таблицу, выбирая точки xi, хг, хз и х_т из области определения и
   вычисляем значения функции в этих точках.

3. На плоскости отмечаем точки, соответствующие парам чисел и соединяем их
   плавной кривой (прямой) линией.

Этот способ обычно называют способом построения по «точкам». Следует отметить, что он прост по идее и сравнительно быстро приводит к цели.

В случаях, когда функция непрерывна и изменяется довольно плавно, такой способ может обеспечить и необходимую степень точности.

Но если функция в отдельных местах имеет особенности в своем «поведении»: либо ее значения где-то на малом участке резко меняются, либо имеют место разрывы, то этим способом построить график очень сложно (нужно брать большое количество точек).

Существует второй способ построения графиков, основанный на аналитическом исследовании функций. Он выгодно отличается от рассмотренного ранее способа. Важной особенностью второго способа является то, что в его основе лежит прежде всего обнаружение и изучение характерных особенностей в поведении кривой. Места, где функция изменяется плавно, не изучаются особенно подробно, зато те места, где функция имеет какие-либо особенности в поведении, подлежат полному исследованию. Этими особенностями и являются точки максимума, минимума, точки разрыва функций и др.

Исследовать эти особенности нам позволяет применение первой и второй производных.

1

- Что мы с вами изучили, знаем и умеем по теме «Исследование функций» ?

(Схему исследования, алгоритмы нахождения промежутков возрастания и убывания функций, Нахождения критических точек и точек максимума и минимума функции, алгоритм исследования функции на выпуклость, алгоритм нахождения точек перегиба. Умеем строить графики более сложных функций с применением исследования.)^

- Вот эти все знания и умения нам предстоит сегодня повторить и закрепить.

Одна из основных задач исследования функции - это нахождение промежутков ее возрастания и убывания.

- Как провести такое исследование с помощью производной?

II Признаки возрастания и убывания функций. а) Отвечает ученик, который готовился у доски.

Достаточный признак возрастания функции.

Если/ (х) > 0 в каждой точке интервала I, то функция/ возрастает на I.

Достаточный признак убывания функции.

Если/ (х)< 0 в каждой точке интервала I, то функция/убывает на I.

Док-во: Используется формула Лагранжа.

Если функция дифференцируема, то на интервале (а;Ъ) найдется такая точка

Ъ-а

Возьмем два любых числа Xi и хг из интервала I. Пусть Xj < Х2, тогда по формуле Лагранжа существует число с е (xj; х%) такое, что

2