Конспект по математике 'Приемы быстрого счета' на примерах с заданиями для самостоятельной работы (5-11 класс)

Приемы быстрого счета

Автор подборки: Корякина Елена Викторовна,учитель математики, МБОУ СОШ №32 г.Озерск Челябинской области

Одно из условий успешного обучения математике - хорошо развитые у учащихся навыки устного счета. Поэтому на каждом занятии (будь то урок или кружок) учителю необходимо обращать особое внимание на устный счет. Несколько минут (в качестве разминки) можно посвящать обучению приемам быстрого счета, которые помогают ускорять не какие-нибудь сложные вычисления, а самые обычные числовые выкладки, с которыми постоянно приходится иметь дело при решении математических задач.

В наше время существует мнение, что человеку не надо знать приемы быстрых вычислений, что для этого существуют калькуляторы, компьютеры. Однако польза устных вычислений огромна, особенно для школьника:

1) Применяя законы арифметических действий к устным вычислениям, можно закрепить, усвоить их не механически, а осознано.

2) Устный счет тренирует память.

3) В устных вычислениях нет готового шаблона, приемы вычислений разнообразны, каждый раз надо думать, какой из них целесообразнее, а эта умственная деятельность способствует развитию очень полезных качеств человека, как внимание, логика, сосредоточенность, смекалка, самостоятельность, творческое мышление.

(1)Прием округления при сложении многозначных чисел

Пример: 599 + 387

Имеем: 599 + 1 + 387 - 1 = 600 + 386 = 986

Вывод: если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а другое уменьшить на столько же единиц, то величина суммы не изменится. Округлением слагаемых можно пользоваться также при сложении обыкновенных и десятичных дробей.

Примеры: 173 + 59 = 172+60=232

8127 + 893 = 8120+900=9020

Примеры для самостоятельной работы:

286+199=

485

154+297=

451

6245+6498=

12743

4575+797=

5372

499+612=

1111

(2)Умножение на однозначное число

А)Чтобы устно умножить число на однозначный множитель (например, 27 * 8) выполняют действие, начиная с умножения не единиц, как при письменном умножении, а иначе: умножают сначала десятки множимого (20*8 = 160), затем единицы (7*8 =56) и оба результата складывают.

34*7=30*7+4*7=210+28=238

17*6=40*6+7*6=240+42=282

Б) Полезно знать на память таблицу умножения до 19*9:

Зная эту таблицу, можно умножение, например, 147*8 выполнить в уме так: 147*8-140*8+7*8= 1120 + 56= 1176

В)Когда одно из умножаемых чисел разлагается на однозначные множители, удобно бывает последовательно умножать на эти множители. Например: 225*6=225*2*3=450*3=1350

(3)Умножение на двузначное число

А) Умножение на двузначное число стараются облегчить, приводя это действие к более привычному умножению на однозначное число. Когда множимое однозначное, мысленно переставляют множители и выполняют умножение на однозначное число. Например:6*28=28*6=120+48=168

Если оба множителя двузначные, мысленно разбивают один из них на десятки и единицы. Например:

29*12=29*10+29*2=290+58= 348

41*16=41*10+41*6 = 410+246 =656

или 41*16=16*41 = 16*40+16*1=640+16=656

Разбивать на десятки и единицы выгоднее тот множитель, в котором они выражены меньшими числами.

Если множимое или множитель легко разложить в уме на однозначные числа (напр., 14 = 2*7), то пользуются этим, чтобы уменьшить один из множителей, увеличив другой во столько же раз. Например: 45*14 =90*7=630

Примеры для самостоятельной работы:

36*8=

288

24*5=

120

34*12=

408

58*21=

1218

235*7=

1645

472*8=

3776

(4)Умножение на 4 и на 8. Деление на 4 и на 8

Чтобы устно умножить число на 4, его дважды удваивают. Например:

112*4 =224*2=448

335*4 = 670*2 =1340

Чтобы устно умножить число на 8, его трижды удваивают. Например:

217*8 = 434*4=868*2=1736

Можно и так: 217*8=200*8 +17*8= 1600+136=1736.

Чтобы устно разделить число на 4, его дважды делят пополам. Например:

76:4 =38:2=19

236:4=118:2=59

Чтобы устно разделить число на 8, его трижды делят пополам. Например:

464:8=232:4=116:2=58

516:8=258:4=129:2= 64 ½

Примеры для самостоятельной работы:

36*4=

144

245*4=

980

3,5*4=

14

226*4=

904

188:4=

47

236:4=

59

122:4=

30,5

36*8=

288

245*8=

1960

3,5*8=

28

226*8=

1808

188:8=

23,5

236:8=

29,5

122:8=

15,25

(5)Умножение на 5, на 50, на 25, на 250

А) Чтобы устно умножить число на 5 умножают его на 10/2, т. е. приписывают к числу ноль и делят пополам. Например:

74*5= 740:2= 370

243*5=2430:2=1215

При умножении на 5 числа четного удобнее сначала делить пополам и к полученному числу приписать ноль. Например: 74*5 = 74/2*10=370

Аналогично при умножении на 50 надо число разделить на 2 и умножить на 100. Например, 36 ∙ 50 =36 : 2 ∙ 100 = 180 или 426 ∙ 50 = 426 : 2 ∙ 100 = 21300

Б) Чтобы устно умножить число на 25 или 250, надо его разделить на 4, а затем полученное частное умножить на 100 или 1000.Например:

224 ∙ 25 =224: 4 ∙ 100 = 5600

44 ∙ 25 =44: 4 ∙ 100 = 1100

168 ∙ 250 =168: 4 ∙ 1000 = 42000

72 ∙ 250 =72: 4 ∙ 1000 = 18000

В) Умножение на 125.

Т.к. 125 = 1000 : 8, то чтобы умножить число на 125, надо его разделить на 8, а затем умножить на 1000. Например:

896 ∙ 125 = 896: 8 ∙ 1000 = 112000

120 ∙ 125 = 120: 8 ∙ 1000 = 15000

240, 24 ∙ 125 =240, 24: 8 ∙ 1000 = 30, 03 ∙ 1000 = 30030

Примеры для самостоятельной работы:

36*5=

180

68*5=

340

129*5=

645

48*50=

2400

234*50=

11700

28*25=

700

44*50=

2200

64*125=

8000

816*125=

102000

(6) Умножение на 9 или 99.

Т.к 9 = 10 - 1; 99 = 100 - 1, то при умножении на 9 или 99 надо число умножить на 10 или 100 и из полученного числа вычесть данное. Например:

45 ∙ 9 = 45 ∙ 10 - 45 = 450 - 45 = 405

128 ∙ 9 =1280 - 128 = 1152

7 ∙ 99 =7 ∙ 100 - 7 = 700 - 7 = 693

67 ∙ 99 =6700 - 67 = 6633

Примеры для самостоятельной работы:

27*9=

243

85*9=

765

27*99=

2673

85*99=

8415

94*99=

9306

(7)Умножение на 15.

Т.к 15 = 10 + 5 = 10 + 0,5 ∙ 10, то при умножении на 15 надо число умножить на 10 и к произведению прибавить его половину.

Например: 64 ∙ 15 = 64 ∙ 10 + (64 ∙ 10): 2 = 640 + 320 = 960

72 ∙ 15 =720 + 360 = 1080

224 ∙ 15 =2240 +1120 = 3360

Примеры для самостоятельной работы:

20*15=

300

60*15

900

46*15=

960

38*15=

570

422*15=

6330

808*15=

12120

(8)Умножение на 1,5, на 1,25, на 2,5, на 3/4

Чтобы устно умножить число на 1,5, прибавляют к множимому его половину. Например: 34·1,5=34+17=51, 23·1,5=23+11,5=34,5.

Чтобы устно умножить число на 1,25, прибавляют к множимому его четверть. Например: 48·1,25=48+12=60, 58·1,25=58+14,5=72,5.

Чтобы устно умножить число на 2,5, к удвоенному числу прибавляют половину множимого. Например: 18·2,5=36+9=45, 39·2,5=78+19,5=97,5. Другой способ состоит в умножении на 5 и делении пополам: 18·2,5=90:2=45.

Чтобы устно умножить число на 3/4 (то есть, чтобы найти три четверти этого числа), умножают число на 1,5 и делят пополам. Например: 30·3/4=(30+15):2=22,5. Видоизменение способа состоит в том, что от множимого отнимают его четверть или к половине множимого прибавляют половину этой половины.

Примеры для самостоятельной работы:

20*1,5=

30

60*1,5

90

46*1,5=

96

38*1,5=

57

422*1,5=

633

808*1,5=

1212

20*2,5=

50

60*2,5

150

44*2,5=

110

28*2,5=

70

464*2,5=

1160

808*2,5=

2020

Эти же числа умножить на 1,25 и на 3/4

(9)Умножение на 11 и на 101.

1) Т.к.11 = 10 + 1, то чтобы умножить число на 11, надо умножить его на 10 и к полученному результату прибавить само данное число.

87 ∙ 11 =870 + 87 = 957

36 ∙ 11 = 360 + 36 = 396

2) При умножении двузначного числа на 11 можно раздвинуть цифры этого числа и вставить между ними их сумму. Получим нужный результат.

Например: 24 ∙ 11 = 264

Если сумма цифр двузначного числа сама является двузначной, то ее единицы вставляем между цифрами данного числа, а десятки прибавляем к первой цифре.

Примеры: 67 ∙ 11 =737

59 ∙ 11 = 649

3) Особенно просто умножение двузначного числа на 101. Надо мысленно приписать справа к данному числу его само и прочесть то, что получится.

Например: 62 ∙ 101 = 6262

93 ∙ 101 = 9393

Примеры для самостоятельной работы:

23*11=

54*11=

87*11=

38*11=

55*11=

23*101=

54*101=

87*101=

38*101=

55*101=

(10)Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся 5

Возведение числа вида X5 (оканчивающегося пятеркой) в квадрат производится по схеме: умножаем X на X+1 и приписываем 25 справа, то есть (X5)² = (X*(X+1))*100 + 25. Например, 65² = 6*7 и приписываем справа 25 = 4225 или 95² = 9025 (9*10 и приписать 25 справа). Доказательство: (X*10+5)² = X²*100 + 2*X*10*5 + 25 = X*100*(X+1) + 25.

Примеры для самостоятельной работы:

35² =

1225

45² =

2025

55² =

3025

75² =

5625

95² =

9025

65² =

4225

105²=

11025

(11) Полезно запомнить: 37·3=111

Запомнив это, легко выполнять устно умножение числа 37 на 6, 9, 12 и так далее: 37·6=37·(3·2)=111·2=222, 37·9=37·(3·3)=111·3=333, 37·12=37·(3·4)=111·4=444 и так далее.

Полезно также запомнить: 7·11·13=1001.

Запомнив это, вы сможете легко выполнять устно умножения следующего рода:
а) 77·13=(7·11)·13=1001; 77·26=(7·11)·(2·13)=2002; 77·39=(7·11)·(3·13)=3003 и т. д.

б) 91·11=(7·13)·11=1001; 91·22=(7·13)·(2·11)=2002; 91·33=(7·13)·(3·11)=3003 и т. д.

в) 143·7=(11·13)·7=1001; 143·14=(11·13)·(2·7)=2002; 143·21=(11·13)·(3·7)=3003 и т. д.

Примеры для самостоятельной работы:

37*15=

555

37*27=

999

37*30=

1110

37*60=

2220

77*65=

5005

91*55=

5005

143*35=

5005

(12) Вычисли устно (повторение приемов устного счета 1-5)

287+199=

486

3,5*8=

28

154+299=

453

188:4=

47

6347+1798=

8145

244:8=

30,5

4574+796=

5370

38*5=

190

599+835=

1434

64*5=

320

34*12=

408

58*50=

2900

58*31=

1798

214*50=

10700

235*6=

1410

56*25=

1400

46*4=

184

88*50=

4400

475*4=

1900

16*125=

2000

12,5*4=

50

408*125=

51000

(13) Вычисли устно (повторение приемов устного счета 6-7)

35 ∙ 9 =

315

94*99=

9306

28 ∙ 9 =

252

120*15=

1800

67 ∙ 9=

603

48*15

720

27*9=

243

2,4*15=

3,6

85*9=

765

3,6*15=

54

27*99=

2673

426*15=

6390

85*99=

8415

40,8*15=

612

(14) Вычисли устно (повторение приемов устного счета 8-10)

30*1,5=

45

40*1,25=

50

80*1,5

120

88*1,25

110

22*1,5=

33

22*1,25=

27,5

3,2*1,5=

4,8

3,2*1,25=

8

846*1,5=

1269

848*1,25=

1060

10,8*1,5=

16,2

10,8*1,25=

13,5

30*2,5=

75

28*0,75=

21

80*2,5=

200

80*0,75=

60

22*2,5=

55

22*0,75=

16,5

3,2*2,5=

8

3,2*0,75=

2,4

640*2,5=

1600

640*0,75=

480

10,8*2,5=

27

10,8*0,75=

8,1

43*11=

473

43*101=

4343

17*11=

187

18*101=

1818

95*11=

1045

95*101=

9595

28*11=

308

21*10,1=

212,1

75*11=

825

75*1,01=

75,75

15² =

225

25² =

625

45² =

2025

65² =

4225

75² =

5625

85² =

7225

(15) Вычисли устно (повторение всех изученных приемов устного счета)

34*1,5=

51

85*101=

8585

9,5*8=

76

68*9=

612

76*11=

836

42*2,5=

105

399+286=

685

75²=

5625

284:8=

35,5

68*5=

340

6,4*0,75=

4,8

32*25

800

(16) Соревнование «Лучший счетчик».

Пример карточки для соревнования:

ответы

598+824=

1422

46*1,5=

69

45²=

2025

7,5*4=

30

124:8=

15,5

46*2,5=

115

8,6*5=

43

2,4*0,75=

1,8

42*11=

462

91*77=

7007

Литература:

1. Г. Н. Берман «Приемы быстрого счета» - ОГИЗ, 1947

2. Я.И. Перельман «Быстрый счет» - Ленинград, 1945

3. И.Я. Депман, Н.Я. Виленкин «За страницами учебника математики» -М, Просвещение, 1989

4. Я.И. Перельман «Занимательная арифметика» - М, Транзиткнига, 2005

Интернет - ресурсы