Исследовательская работа Секреты ленты Мёбиуса

Отдел образования администрации городского

округа город Агидель

Муниципальное общеобразовательное бюджетное

учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 1»

городского округа город Агидель РБ

Секция: математика

Секреты ленты

Мёбиуса

Выполнила:

ученица 7А класса

Галиева Гузель

Руководитель:

Галиева Рамиля Рафаэловна

2016год

Содержание

1.Введение 3

2.Теоретическая часть. История жизни А. Мёбиуса. 4

Применение ленты Мёбиуса. 5

3. Практическая часть. Опыты с лентой Мёбиуса. 7

4. Выводы. 9

5.Приложение 1 (фотографии)

Приложение 2(презентация)

6.Список литературы 10

2

введение

Недавно я услышала о ленте Мебиуса на одном из занятий математического кружка. Мне стало интересно, и я решила пополнить свои познания в этой области. Мне захотелось узнать всё, что только можно о ленте Мёбиуса. Ну, конечно же я начала с того, кто открыл ленту Мёбиуса. Дальше я нашла и изучила литературу, также источники информации в интернете. Сама изготовила ленту Мебиуса, а потом исследовала, ставя опыты, его необыкновенные и феноменальные свойства.

Цель исследования: показать, что в математике много увлекательного и интересного

Объект исследования: лента Мебиуса.

Задачи исследования:

1. Изучить историю жизни А. Мёбиуса

2. Собрать всевозможную информацию о ленте Мебиуса

3. Изготовить ленту Мебиуса

4. Исследовать через опыты свойства ленты Мебиуса.

Методы исследования:

1. Изучение и анализ литературы по данной теме.

2. Самостоятельное изготовление ленты Мебиуса.

3. Опыты.

Занимаясь, этой работой я пришла к выводу, что хотя ленту Мебиуса открыли ещё в XΙX веке, он был актуален и в XX веке, и в XXΙ. Удивительные свойства ленты Мёбиуса применялись и используются сейчас в технике, физике, оптике. Вдохновлял он на творчество многих писателей и художников.

Интерес к ленте Мёбиуса не угас и в наши дни. В Москве, в сентябре 2006 года состоялся Фестиваль художественной математики. С большим успехом было принято выступление профессора из г. Токио Джина Акияма. Его представление напоминало шоу иллюзиониста, где было место и ленте Мёбиуса.

3

Теоретическая часть

У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка. В 1967году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса. И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка - своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу, профессору Лейпцигского университета.

Август Фердинанд Мёбиус (17.11.1790 - 26.09.1868), немецкий математик и астроном, профессор Лейпцигского университета. Родился в Шульпфорте. Некоторое время под руководством К.Гаусса изучал астрономию. С 1816 года начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории, в 1818 году стал её директором, а позже - профессором Лейпцигского университета. Лента Мёбиуса была обнаружена в 1858 г. До него считалось, что любая поверхность имеет две стороны. Мёбиус сделал поразительное открытие - получил поверхность, которая имеет лишь одну сторону. Говорят, что придумал свою ленту Август Фердинанд Мёбиус, когда наблюдал за горничной, которая надевала на шею шарф. Лента Мёбиуса относится к числу «математических неожиданностей». В 1858 г. Мёбиус отправил в Парижскую академию наук работу, включающую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы, и, не дождавшись, опубликовал её результаты.

У ленты Мёбиуса - всего одна сторона. Мы привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы имеем дело две стороны. Убедиться в односторонности листа Мёбиуса несложно: начните постепенно окрашивать 4

его с какой-нибудь стороны, начиная с любого места, и по завершении работы вы обнаружите, что он полностью окрашен. Мёбиус стал одним из крупнейших геометров своего времени. Свойство геометрических фигур, которые не меняются, если их гнуть, растягивать, сжимать, но не склеивать и не рвать, изучает математическая наука топология.

Применение ленты Мёбиуса.

Памятники ленте Мёбиуса. В Екатеринбурге в честь 285-летия в 2008 году установлена скульптура "Лента Мёбиуса". Скульптурный ансамбль высотой четыре метра отлит из бронзы. Автор композиции, известный уральский скульптор Степан Адуашвили рассказал, что "Лента Мёбиуса" символизирует связь между прошлым и будущим.

В Москве, на Комсомольском проспекте около кинотеатра "Горизонт" находится памятник "Ленте Мёбиуса". На основании скульптуры есть девиз: "Разные точки зрения на один предмет".

Лента Мебиуса установлена в Риге на месте бывшего памятника Ленину в честь грядущего 800-летия города.

5

Есть памятный знак "Лента Мёбиуса" в Минске.

Лента Мёбиуса в графике и литографии. Эшер Мауриц Корнелис- художник, который также был увлечён лентой Мёбиуса . Одной из наиболее известных картин является "Лента Мебиуса II". Она была опубликована в 1963 году. Если вы проследите путь муравьев на литографии, то увидите, что муравьи ползут не по противоположным поверхностям ленты, а по одной и той же.

Также есть другая интересная картина Эшера, называется "Картинная галерея", в которой изменены одновременно и топология, и логика пространства, и лента Мёбиуса. Она была напечатана1956 году. На картине мы видим мальчика, который смотрит на картину, на которой нарисован приморский город с магазином на берегу, а в магазине - картинная галерея, а в галерее стоит мальчик, который смотрит на картину, на которой нарисован приморский город и т.д. Эшеру удалось завернуть пространство в кольцо, и получилось, что мальчик находится одновременно внутри картины и вне ее. Заметим, на чем основана хитрость картины - белое пятно в центре. Математики называют это пятно особым местом или особой точкой, где пространства не существует. Не существует способа изобразить этот участок картины без швов или наложений, поэтому Эшер решил эту проблему, поместив в центр картины свой автограф. Ещё одна картина Эшера «Куб с магией ленты» впервые напечатан в 1957 году изображены две взаимосвязанные группы, обернутые вокруг рамки куба. Рамки куб само по себе вполне возможно, но блокировка из "магических" групп в нем невозможно. 6

Лента Мёбиуса в литературе. Лента Мебиуса является эмблемой серии научно-популярных книг «Библиотечка "Квант"». Он также постоянно встречается в научной фантастике, например, в рассказе Артура Кларка «Стена мрака».

В этом рассказе фантаста Артура Кларка мудрец Грейл спрашивает своего собеседника:

« - Вот, - сказал он Брейлдону, - плоский лист. У него, разумеется, две стороны. Можешь ты представить себе этот лист без двух сторон?

Брейлдон удивленно воззрился на него.

- Это невозможно...»

Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла», рассказ «Лента Мёбиуса» автора Армин Джозеф Дейч. По мотивам рассказа был снят фантастический фильм «Мёбиус» режиссёра Густаво Москера. Также в рассказе М. Клифтона «На ленте Мёбиуса».

Лента Мёбиуса в технике. Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (рис.1), чтобы удвоить время записи. Во многих матричных принтерах (рис.2) красящая лента также имеет вид ленты Мёбиуса для увеличения её ресурса. Резистор Мёбиуса является электрическим компонентом, состоящим из двух проводящих поверхностей, отделенных друг от друга диэлектрическим материалом, скрученных на 180 ° и образующих Лист Мёбиуса.

Лента Мёбиуса в природе и в жизни. Есть гипотеза, что спираль ДНК (рис.3) сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того - такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.

Физики утверждают, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале - это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой зеркального своего двойника.

Практическая часть

</ Изготовим ленту Мёбиуса. Возьмите бумажную полоску - длинный узкий прямоугольник АВСD .Перекрутив один конец полоски на 180º, склейте из нее кольцо, соединив точки А и С, В и D (рис.4). 7

Опыты с лентой Мёбиуса. Что произойдет с лентой Мёбиуса, если его разрезать на разное количество полосок?

1)Если попробовать разрезать ленту пополам, разрезая её посередине по линии, параллельной краю, то вместо двух лент получится одна длинная лента с двумя полуоборотами (рис.5).

2)Если разрезать ленту, отпуская от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна короткая лента Мебиуса, другая длинная лента с двумя полуоборотами (рис.6).

3)Если разрезать ленту на четыре равные части, то мы получим две длинные ленты с двумя полуоборотами (рис.7).

4)Если разрезать ленту на пять равных частей, то мы получим две длинные ленты и одну короткую (рис.8).

5)Если разрезать ленту на шесть равных частей, то мы получим три длинные ленты с двумя полуоборотами завязанные в узел (рис.9) и т.д.

Результаты опыта

№№

На сколько полосок разрезан лист бумаги

Что получилось после разрезания ленты Мёбиуса

опыта

Длинные

короткие

1

2

1

2

3

1

1

3

4

2

4

5

2

1

5

6

3

6

7

3

1

7

8

4

8

9

4

1

9

10

5

2n

n

2n+1

n

1

10)Можно ещё разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника (рис. 10). 8

11)Зацепим лист Мёбиуса и простое кольцо и разрежем каждое звено этой цепочки по средней линии вдоль. Получится лента с двумя полуоборотами.

И за эту ленту зацеплены два кольца, каждое из которых в два раза уже исходного (рис.11).

Существуют ли ещё подобные объекты?

Да, существуют, и ещё более замысловатые. Если лента Мебиуса - «условно двумерный объект» , то его подружка - Бутылка Клейна (рис.12)полноправно занимает три измерения. Бутылка Клейна может быть получена путём склеивания двух лент Мёбиуса по краям. В обычном трёхмерном евклидовом пространстве сделать это, не создавая самопересечения, невозможно.

Запустите сюда муравья, и бедняга побывает во всех точках Бутылки Клейна - не делая в ней дырок, и не переползая через край. На рисунке показано следующее: в месте, где трубка «проникает в бутылку» - нет зазора, хотя это не правильно! Ведь если нет зазора, тогда муравей должен будет выползать из бутылки тем же маршрутом, каким он туда вползал. Разве бродя по ленте Мебиуса ему нужно было разворачиваться после того как он куда то дошёл? Бесконечность, она на то и бесконечность!

Выводы

Занимаясь этой исследовательской работой:

- изучила историю жизни А. Мёбиуса;

- узнала, что можно сделать с лентой Мебиуса и где её можно встретить.

- рассмотрела её использование в нашей жизни.

Провела эксперименты с лентой Мёбиуса. И пришла к выводу, что главная ценность ленты Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Именно поэтому его часто считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах и значках.

Заключение

Исследовательская работа мне понравилась. Я научилась работать с научной и учебной литературой, искать в них ответы на вопросы, отбирать нужную информацию, пользоваться интернетом.

Убедилась, что лента Мёбиуса не только упражнение для разума, она и вполне практически применяется. Также, что в математике много увлекательного и интересного.

9

Литература

1. Иоганн Бенедикт Листинг, Мёбиус, Август Фердинанд в архиве MacTutor

2. Журнал. Математика в школе № 3 / 2007 г. Лист Мёбиуса. С.31. Н.Никифорова, А.Устинов.

3. INTEL. Обучение для будущего: при поддержке Microsoft.2003 Intel Corporation.

4. Интернет: www.google.ru

5. Википедия: «Бутылка Клейна»; «Искусство и технология»; «Мёбиус, Август Фердинанд»; «Лента Мёбиуса»; «Мауриц Корнелис Эшер».

6. Анфимова Т.Б. /Математика. Внеурочные занятия.- ИЛЕКСА, 2012.

7. Математика. 9-11 классы: Проектная деятельность учащихся / авт.-сост. М.В.Величко. - Волгоград: Учитель, 2007.

10

Приложение 1

Рис.1 Рис.2 Рис.3

Рис.4

Рис.5 Рис.6

Рис.7 Рис.8

Рис.9

Рис.10 Рис.11

Рис.12