Конспект урока по алгебре в 7 классе по теме 'Свойства функций'

Тема урока: «Свойства функций».

Цели урока:

Образовательные: в расширение и углубление представлений учащихся о свойствах функций в ходе выполнения упражнений; обобщение и систематизация знаний по данной теме; организация поисковой деятельности учащихся при определении свойств функции.

Развивающие: развитие умения самостоятельно приобретать новые знания; использование для достижения поставленной задачи уже полученные знания; установление закономерности многообразия связей для достижения уровня системности знаний; способствовать выработке навыков и умений в построении графиков функций.

Воспитательные: в воспитание навыков самоконтроля, взаимоконтроля, ответственности, коллективизма, уважительного отношения к мнению одноклассников; развивать логическое мышление учащихся; выработка желания и потребности обобщать полученные факты.

Подготовка кабинета к уроку: вхожу в кабинет, подготавливаюсь к уроку, оформляю доску (на доске записываю дату, тему урока), вывешиваю плакат с написанными на нем целями урока, которые в дальнейшем частично будут проговорены устно. Распределяю место на доске: запись задания для устной работы; номера, которые будут выполняться в течении урока; задание на дом. До начала урока вывешиваю вспомогательный материал: план исследования свойств функций; плакаты с графиками функций, часто встречавшихся при изучении свойств функции; плакат с графиком функции, которую нужно охарактеризовать при обобщении изученного материала.

Ход урока:

План урока:

1. Организационный момент (1 мин).

2. Индивидуальная работа и проверка домашнего задания (5 мин).

3. Работа с задачником (9 мин).

4. Решение номера из дидактических материалов (11 мин).

5. Повторение ранее изученного материала (7 мин).

6. Подведение итогов урока (3 мин).

7. Дифференцированная проверочная работа (8 мин).

8. Домашнее задание (1 мин).

1. Организационный момент.

Звенит звонок, учащиеся входят в класс, каждый становится около своего рабочего места, я стою за своим столом и жду, пока все окажутся на своих местах.

- Здравствуйте, дежурный, кто отсутствует сегодня на уроке? (Ответ дежурного.)

- Садитесь.

- Откройте, пожалуйста, тетради, запишите сегодняшнее число и классную работу. (Проговариваю тему урока, что бы учащиеся ее записали, поясняю цели урока.)

- Заканчивая изучение темы «Свойства функции», сегодня на уроке мы с вами повторим:

• свойства функции;

• правило нахождения области определения функции;

• построение графика функции на заданном числовом промежутке;

• нахождение наибольшего и наименьшего значения функции;

• решение неравенства методом интервалов;

• чтение графика функции;

• решение квадратных неравенств;

• извлечение квадратного корня;

• как доказать возрастание и убывание функции;

• нахождение координаты вершины параболы.

II. Индивидуальная работа и проверка домашнего задания.

У некоторых из вас на краю стола лежат карточки с заданиями, прошу приступить к выполнению индивидуальной работы.

Задания для карточек:

Карточка № 1

1. Докажите, что функция

у = 4х - 9 возрастает. Какими свойствами

вы руководствовались при выполнении данного задания?

2. Найдите наибольшее и наименьшее

значения функции у = х² + 3 на отрезке [0; 2].

Карточка № 2

1. Докажите, что функция

у = -4х + 9 убывает. Какими свойствами

вы руководствовались при выполнении данного задания?

2. Найдите наибольшее и наименьшее

значения функции у = х⁴ - 5 на отрезке

[0; 2].

Решения заданий по карточкам.

Карточка № 1.

1. у = 4х - 9 - линейная функция, т. к. k0, сл - но: докажем, что она возрастает на всей числовой прямой.

Пусть х₁ и х₂ и выполняется неравенство х₁ < х₂. Тогда по свойствам числовых неравенств, будем иметь:

х₁ < х₂;

4х₁ < 4х₂;

4х₁ - 9 < 4х₂ - 9.

Последнее неравенство означает, что f(x₁) < f(x₂), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).

2. Так как координата вершины параболы находится в точке (0; 3), сл - но; чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке достаточно найти значения функции на концах данного отрезка.

1. если х = 0, то у = 0² + 3 = 0 + 3 = 3;

2. если х = 2, то у = 2² + 3 = 4 + 3 = 7.

у_наим = 3; у_наиб = 7.

Карточка № 2.

1. у = -4х - 9 - линейная функция, т. к. k0, сл - но: докажем, что она убывает на всей числовой прямой.

Пусть х₁ и х₂и выполняется неравенство х₁ < х₂. Тогда по свойствам числовых неравенств, будем иметь:

х₁ < х₂;

-4х₁ > -4х₂;

-4х₁ - 9 > -4х₂ - 9.

Последнее неравенство означает, что f(x₁) > f(x₂), а это означает, что заданная функция убывает (на всей числовой прямой).

2. Так как координата вершины параболы находится в точке (0; -5), сл - но; чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке достаточно найти значения функции на концах данного отрезка.

1. если х = 0, то у = 0⁴ - 5 = 0 - 5 = -5;

2. если х = 2, то у = 2⁴ - 5 = 16 - 5 = 11.

у_наим = - 5; у_наиб = 11.

_________________________________________________________________________

В то время пока вы будите выполнять работы, с остальными мы устно сделаем задания, которые выписаны на доске. Тем самым проверю, как вы выполнили домашнее задание, потому что задания носят аналогичный характер; но сначала давайте вспомним схему описания свойств функции. (Учащиеся называют пункты схемы; затем вывешиваю плакат, на котором написана схема, что бы они могли ее пользоваться на уроке.)

1. область определения;

2. промежутки возрастания или убывания;

3. ограниченность;

4. наибольшее или наименьшее значение;

5. непрерывность;

6. область значения;

7. выпуклость.

При необходимости повторить некоторые вопросы из следующего теоретического материала:

а) Что называется областью определения функции? (Если даны числовые множества Х и правило f, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу х из множества Х определенное число у, то говорят, что задана функция у = f(х) с областью определения Х; пишут у = f(х), х Х. При этом переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у - зависимой переменной, обозначается D(f).)

б) Что называется областью значения функции? (Множество всех значений

функции у = f(х), х Х, называют областью значений функции и обозначают Е(f).)

в) Какая функция называется возрастающей? (Функцию у = f(х) называют возрастающей на множестве Х D(f), если для любых двух точек х₁ и х₂ множества Х, таких, что х₁ < х₂, выполняется неравенство f(x₁) < f(x₂).)

г) Какая функция называется убывающей? (Функцию у = f(х) называют убывающей на Х D(f), если для любых двух точек х₁ и х₂ множества Х, таких, что х₁ < х₂, выполняется неравенство f(x₁) > f(x₂).)

Обобщение: функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции; функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

д) Какая функция называется ограниченной снизу? (Функцию у = f(х) называют ограниченной снизу на множестве Х D(f), если все значения функции на множестве Х больше некоторого числа (иными словами, если существует число т такое, что для любого значения х Х выполняется неравенство f(x) > m).)

е) Какая функция называется ограниченной сверху? (Функцию у = f(х) называют ограниченной сверху на множестве Х D(f), если все значения функции меньше некоторого числа (иными словами, если существует число т такое, что для любого значения х Х выполняется неравенство f(x) < m).)

ж) Что называется наименьшим значением функции? (Число т называют наименьшим значением функции у = f(х) на множестве Х D(f), если:

1) в Х существует такая точка х₀, что f(х₀) = т;

2) для всех х Х выполняется неравенство f(х) f(х₀).)

з) Что называется наибольшим значением функции? (Число т называют наибольшим значением функции у = f(х) на множестве Х D(f), если:

1) в Х существует такая точка х₀, что f(х₀) = т;

2) для всех х Х выполняется неравенство f(х) f(х₀).)

Вывод:

1. Если у функции существует у_наим, то она ограничена снизу.

2. Если у функции существует у_наиб, то она ограничена сверху.

3. Если функция не ограничена сверху, то у_наиб не существует.

4. Если функция не ограничена снизу, то у_наим не существует.

1. Прочитайте графики функций:

2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

а) у = 5х - 8, х [0; 3].

3. Используя свойства числовых неравенств, докажите, что данная функция возрастает:

у = 2х - 3.

4. Используя свойства числовых неравенств, докажите, что данная функция убывает:

у = - 3,5х + 5.

Насколько я могу заметить, задания по карточкам вы уже выполнили. Переверните карточки: и на обратной стороне вы обнаружите правильные ответы, сравните получившиеся результаты у вас с ответами и по критериям оценивания сами поставьте себе оценки. Сдайте мне свои работы, что б я могла переставить полученные оценки в ведомость, а затем учитывать их при выставлении оценок за работу на уроке.

III.Работа с задачником

Откройте задачник на странице 67 № 259 (г),

г) у = -2х + 5, 0х 5

Для того, что бы ответить на поставленные вопросы мы должны построить график функции на данном отрезке. Так как у = -2х + 5 - линейная функция и ее графиком является прямая, то достаточно найти координаты двух точек и по ним построить прямую. В данном случае при подстановке вместо х будем использовать точки начала и конца отрезка.

х

0

3

у

5

-1

если х = 0, то у = - 2 * 0 + 5 = 5,

если х = 3, то у = - 2 * 3 + 5 = 1.

В прямоугольной системе координат строим график функции на заданном отрезке. Данная функция является ограниченной, так как она задана на отрезке.

Верно. Убирай с доски и присаживайся на свое рабочее место.

А сейчас рассмотрим решение № 267 (б).

б) у = х⁴ + 3х, х 0

Для того что бы доказать, что функция возрастает на луче, нужно исследовать ее на монотонность на этом луче. Возьмем произвольные значения аргумента х₁ и х₂ и пусть х₁ < х₂ принадлежат числовому множеству х 0. Тогда по свойствам числовых неравенств, будем иметь:

< ;

+ 3 < + 3;

х₁( + 3) < х₂ ( + 3).

Последнее неравенство означает, что f(x₁) < f(x₂).

Итак, из х₁ < х₂ следует f(x₁) < f(x₂), а это означает, что заданная функция возрастает на данном числовом луче.

Хорошо, присаживайся.

IV. Решение номера из дидактических материалов.

(Задание предварительно было выписано на доску.)

Постройте и прочитайте график функции у = f(х),

где f(x) =

Решение.

Данная функция кусочная, значит, что бы построить ее график необходимо рассмотреть каждую из ее частей в отдельности, а затем построить в одной системе координат составляющие ее части и прочитать получившийся график. Для начала разобьем данную функцию на две и рассмотрим каждую из частей отдельно.

1. у₁ = - х² - 4х, если - 4 х -1.

у₁ = - х² - 4х - квадратичная функция, графиком является парабола ветви

которой направлены вниз.

Так как отрезок, на котором надо построить график данной функции, невелик, следовательно: выполняем построение по точкам.

х

-4

-3

-2

-1

у

0

3

4

3

1. если х = - 4, то у = - (-4)² - 4* (-4) = -16 + 16 = 0,

2. если х = - 3, то у = - (-3)² - 4*(-3) = - 9 + 12 = 3,

3. если х = - 2, то у = - (-2)² - 4*(-2) = - 4 + 8 = 4,

4. если х = - 1, то у = - (-1)² - 4*(-1) = - 1 + 4 = 3.

2. у₂ = 2, если х > -1.

у₂ = 2 - линейная функция, графиком является прямая, проходящая через точку (0; 2) и параллельная оси абсцисс.

3. В одной системе координат построим графики данных функций, на заданных множествах.

4. Свойства функции у = f(х):

   1. D(f) = [-4; +);

   2. возрастает на отрезке [-4; -2];

убывает на отрезке [-2; -1];

постоянна на (-1; +);

3. ограничена и снизу и сверху;

4. у_наим = 0; у_наиб = 4;

5. непрерывна;

6. Е(f) = [0; 4];

7. выпукла вверх.

Верно. Садись, пожалуйста.

V.Повторение ранее изученного материала

Будем выполнять задание, записанное на доске.

Найдите область определения функции: .

Решение.

- имеет смысл, когда 0, следовательно, имеем:

2х² + 3х - 2 0.

Введем функцию: у₁ = 2х² + 3х - 2.

Найдем нули функции, т. е. у = 0.

2х² + 3х - 2 = 0

D = b² - 4ac

D =

Решим неравенство методом интервалов:

____________________________________

1. если х = - 4, то у = > 0;

2. если х = 0, то у = < 0;

3. если х = 1, то у = > 0.

2х² + 3х - 2 0, если х (-; -2][0,5; +) отсюда следует, что

D(y) (-; -2][0,5; +).

Ответ: (-; -2][0,5; +).

Правильно. Убирай с доски и садись на место.

VI. Подведение итогов урока

1) Повторить способы задания функции.

Перечислите способы задания функции и охарактеризуйте их.

Ответ: аналитический - задание функции одной или несколькими формулами;

графический - задание функции с помощью графика;

табличный - задание функции с помощью таблицы, в которой даны значения аргумента и соответствующие им значения функции;

словесный - задание функции описывается словами.

2. Назвать свойства функции.

Перечислите свойства функции?

Ответ:

1. область определения;

2. промежутки возрастания или убывания;

3. ограниченность;

4. наибольшее или наименьшее значение;

5. непрерывность;

6. область значения;

7. выпуклость;

3) Выставление оценок за работу на уроке.

Учитывая вашу работу на протяжении всего урока, вы получаете следующие оценки. Выставление оценок.

VII.Дифференцированная проверочная работа

Вариант - 1

Постройте и прочитайте график функции у = f(x),

где f(x) =

_________________________________________________________________________

Вариант - 2

1. Используя свойства числовых неравенств, докажите, что функция

у = 2,6х - 7 возрастает.

2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х² - 4 на отрезке [1; 4].

_________________________________________________________________________

Вариант - 3

1. Для данной функции ответьте на вопрос, является ли она ограниченной снизу, ограниченной сверху, ограниченной, использую график функции:

у = - 3х + 1, х < 0.

2. Найдите наименьшее значение функции у = х² - 8х + 2.

_________________________________________________________________________

Вариант - 4

1. Используя свойства числовых неравенств, докажите, что функция

у = - 3,4х - 5 убывает.

2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х² + 5 на отрезке [-1; 4].

_________________________________________________________________________

Вариант - 5

1. Используя свойства числовых неравенств, докажите, что функция

у = - 3,4х убывает.

2. Найдите наибольшее значение функции у = 2х + 3 на луче (-; 3].

_________________________________________________________________________

Вариант - 6

1. Используя свойства числовых неравенств, докажите, что функция

у = 5х возрастает.

2. Найдите наибольшее значение функции у = 2,5х - 4 на луче (-; 2].

_________________________________________________________________________

Вариант - 7

1. Используя свойства числовых неравенств, докажите, что функция

у = - 4,5х убывает.

2. Найдите наименьшее значение функции у = - 2х + 3 на луче (-; 0].

_________________________________________________________________________

VIII. Домашнее задание (т. к. это последний урок по изучению темы, то домашнее задание записать в начале урока): решить из домашней контрольной работы № 3 на с. 84-85 № 1, № 4 на два варианта на отдельных листочках; к этим заданиям добавить еще № 271 (б, в) и № 272 (б, г) соответственно по вариантам.

Звенит звонок с урока.

Всем спасибо за урок.

Можете быть свободны.