УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Итоговый урок по теме

«Уравнения и неравенства с одной переменной»

Цели: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме; подготовить учащихся к написанию контрольной работы.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний.

Необходимо обобщить и систематизировать знания учащихся о видах уравнений и неравенств и методах их решения. Для этого нужно со-ставить классификацию уравнений и неравенств, изобразив ее на плакате или на доске. Учащиеся должны занести в тетрадь соответствующие схемы.

III. Формирование умений и навыков.

Все задания можно разбить на три группы. Каждая группа будет содержать упражнения на решение всех изученных видов уравнений и неравенств. Отличие групп друг от друга состоит в уровне сложности, входящих в них уравнений и неравенств. В классе с невысоким уровнем подготовки третью группу заданий можно не выполнять.

Упражнения:

1-я г р у п п а.

1. Решите уравнение:

а) ; в) х⁴ + 3х² - 4 = 0;

б) х³ - 25х = 0; г) = 1.

2. Решите неравенство:

а) 2х - ≤ ; в) 1 - х²  0;

б) х² + 2х > 0; г) (х - 3) (х + 5) < 0.

2-я г р у п п а.

1. Решите уравнение:

а) х = ;

б) х⁶ - х⁴ + 5х² - 5 = 0;

в) (х² + х)² - 5х² - 5х + 6 = 0;

г) .

2. Найдите область определения функции:

а) y = ; б) y = .

3. Решите неравенство:

а) х (7 - х) (1 + х) ≥ 0; б) ≤ 0.

3-я г р у п п а.

1. Решите уравнение:

а) (х² - 7х + 13)² - (х - 3) (х - 4) = 1;

б) х² + 1 = (3х² - х - 2)² - 2х;

в) = 0.

2. Решите неравенство:

а) < 0; б) ≤ 0.

3. При каких значениях параметра а корни уравнения х² - 2ах +

+ (а + 1) (а - 1) = 0 принадлежат промежутку [-5; 5]?

Р е ш е н и е

Данное квадратное уравнение согласно условию должно иметь корни, значит, его дискриминант не может быть отрицательным. Найдем его:

D₁ = а² - (а + 1) (а - 1) = 1.

Получаем, что уравнение при любом а имеет два корня: х₁ = а + 1 и х₂ = а - 1.

Чтобы эти корни принадлежали указанному промежутку, меньший из них должен быть не меньше -5, а больший - не больше 5. Получим систему:

О т в е т: [-4; 4].

4. При каких значениях параметра а уравнение х² + 2(а + 1) х + 9 = 0 имеет два различных положительных корня?

Р е ш е н и е

Чтобы данное квадратное уравнение имело два различных корня, его дискриминант должен быть положительным:

D₁ = (а + 1)² - 9 = а² + 2а - 8;

а² + 2а - 8 > 0.

Решая это неравенство, получим, что а (-∞; -4) (2; +∞).

По теореме Виета, произведение корней данного уравнения равно 9. Это означает, что корни имеют одинаковые знаки.

Пусть х₁ и х₂ - корни уравнения, тогда, по теореме Виета, х₁ + х₂ =

= -2 (а + 1). Чтобы эти корни были положительны, должно выполняться следующее условие:

-2 (а + 1) > 0;

а + 1 < 0;

а < -1.

С учетом выявленного выше условия получим, что а (-∞; -4).

О т в е т: (-∞; -4).

IV. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

- На какие два вида делятся рациональные уравнения?

- Какими методами решаются целые уравнения выше второй степени?

- Как решаются дробно-рациональные уравнения?

- На какие два вида делятся неравенства?

- Как решаются целые неравенства с одной переменной?

- Как решаются дробно-рациональные неравенства?

Домашнее задание: № 353 (а), № 354 (в), № 364 (б), № 377 (а), № 393 (в, д).