62

Оглавление

Введение

Роль образования в жизни людей быстро повысилась в последние годы. Учение на протяжении всей жизни как единственно вероятный в наше времяметод жизнедеятельности человека - необходимое условие для эффективной работы во всех сферах общественного и собственного существования, также поступательного становления общества. Для выполнения данных задач потребуется образование другого качества, нежели ранее.

Размер информации постоянно возрастает и человеку нужнообучиться ориентироваться в ней,уметь ставить перед собой цель, достигать ее, уметь правильно оценивать себя и предсказывать развитие последующих событий. Но в большинстве школ преобладает традиционная модель обучения, которая направлена на усвоение знаний, умений и навыков в каждой области знаний. Вследствие чего, в образовании появляются разные противоречия. У огромного числа учащихся школ отсутствует необходимость в саморазвитии и получения образования после школы, не сформирована мотивация на приложения усилий для получения высококачественного профессионального образования, уже в школьный период начинаетсязамедление процессов развития учащихся как личности. Эти результаты должна устранить и исправить профильная школа.

В наши дни интенсивно модернизируется вся система образования. Она направлена на существенное обновление содержания и процесса обучения, в том числе:

• введение системно-деятельного и личностно-ориентированного подходов к обучению и воспитанию;

• формирование самостоятельной учебно-познавательной активности.

Наконец,впоследствии модернизации школа обязанаобеспечить учащимся возможность самообучения, саморазвития и самосовершенствования в различных направлениях.

Переход к профильной школесчитается одним из направлений для модернизации. Профильное обучение дает новые возможности в организации учебно-воспитательного процесса в школе. Профильная школа должна содействовать осознанному профессиональному самоопределению и нужной социальной зрелости учащегося.

Согласно с реформой образования в двух заключительных классах каждому гражданину России должна быть предоставлена возможность выбора одной из 5-6 программ: гуманитарной, естественнонаучной, математики и информатики, экономики и права, технической, эколого-аграрной. Учащиеся должны иметь возможность получить профильное образование за счет государства. Профильная школа позволит преодолеть разрыв между требованиями вуза и возможностями системы общего образования. Такую школу предполагалось сделать к 2004-2005 годам. На данный момент в большинстве школ сделаны профильные классы, нопроблемы перехода к профильному образованию недостаточно проработаны.

Особенности профильного обучения в школах понимаютпо-разному, обычно, проблемы связаны с преодолением его содержания, комплектования методического материала.

Одобренная, Министерством образования России «Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования» гласит, что разделение содержания обучения в старших классах происходит на основе разных сочетаний курсов трех типов: базовых, профильных, элективных. Курсы этих трех типов вносят свой вклад в решение задач профильного обучения. Одним из разделов элективного курса в школах с профильным обучением является математическая статистика. Давно поднят вопрос о введении задач по теме «Математическая статистика» в материалы итоговой аттестации за курс основной школы, в КИМы и ЕГЭ. Как показывает практика задачи такого типа- вызывают затруднения у учащихся и очень много выпускников не имеют надежных навыков владения статистическими характеристиками.

Всем людям в своей жизни приходится сталкиватьсяс информацией, представленной в виде таблиц, диаграмм, графиков, понимать вероятностный характер случайных событий. Поэтому присутствие статистических знаний необходимо каждому человеку современного общества. В основной школе представление о столбчатых и круговых диаграммах, графиках учащиеся получают, но умением работать со статистической информацией, решать задачи практического содержания, заданными диаграммами и графиками, не владеют. Создание курса «Методы математической статистики» представляется особенно актуальным, потому чтодает учащимся элементарные знания по статистике - науке, без которой затруднено восприятие научных знаний, восприятие и интерпретация разнообразной социальной, экономической и другой информации.

Объект исследования: математическая статистика.

Предмет исследования: методические аспекты элективного курса «Методы математической статистики» в школах с углубленным изучением математики.

Цель исследования: определить содержание и разработать методику изучения математической статистики для школ и классов с углубленным изучением математики.

Исходя из цели, можно выделить основные задачи исследования:

1. изучить основные элементы математической статистики;

2. разработать методические рекомендации для преподавания элективного курса «Методы математической статистики» для профильных классов;

3. разработать систему задач элективного курса «методы математической статистики» и адаптировать ее к условиям школ с углубленным изучением математики;

Методы исследования: анализ, синтез, изучение учебной литературы по теме исследования и другие.

Глава 1. Элементы математической статистики

1.1.Задачи математической статистики

Математическая статистика - это раздел прикладной математики, в котором рассматриваются методы отыскания законов и характеристик случайных величин по результатам наблюдений и экспериментов[9].

Главной целью изучения методов теории вероятностей статистических данных является установление закономерностей, которым подчиняются массовые случайные явления.

Первой задачей математической статистики является указание способа сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или специально проведенных экспериментов[9, с.187].

Второй задачей математической статистики является разработка анализа статистических данных в зависимости от целей исследования[9, с.187]. К ним относят:

а) оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которого неизвестен и др.;

б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен.

Третьей задачей является получение выводов по данным наблюдениям или экспериментам.

Анализ статистических данных содержит оценку вероятностей события, функции распределения вероятностей или плотности вероятностей, оценку параметров известного распределения, оценку связей между случайными величинами.

Математическая статистика базируется на теории вероятностей и служит основой для разработки методов обработки и анализа статистических результатов в конкретных областях человеческой деятельности[13].

В данный момент математическая статистика ищет способы нахождения числа необходимых испытаний до начала эксперимента и в процессе, решает и многие другие задачи. В современности, математическая статистика определяется как наука о принятия решения в неопределенности условий.

Следовательно, задача математической статистики заключается в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.

1.2. Генеральная и выборочная совокупности

Допустим, дана совокупность объектов, которые характеризируются каким-либо качественным или количественным признаком, эти объекты нужно изучить относительно данного призрака. Тогда проводят сплошное обследование, то есть обследование каждого из объектов совокупности относительно заданного признака. Такое обследование редко применяют на практике, так как если совокупность содержит большое число объектов, то сплошное обследование занимает много времени и бывает фактически невозможным. В этом случае, из всей совокупности случайным образом отбирают конечное число объектов и изучают их.

Генеральной совокупностью называется совокупность всех мысленно возможных объектов данного вида, над которыми проводятся наблюдения с целью получения конкретных значений определенной случайной величины[15].

Генеральная совокупность бывает конечной или бесконечной в зависимости от того, конечна или бесконечна совокупность составляющих ее объектов.

Нужно различать понятие генеральной совокупности с реально существующими совокупностями. К примеру, на завод поступила продукция некоторого предприятия за месяц, что является действительно существующей совокупностью, которую нельзя назвать генеральной, поскольку выпуск продукции можно мысленно продолжить сколь угодно долго.

Выборкой (выборочной совокупностью)называется совокупность случайно отобранных объектов из генеральной совокупности[19].

Выборка должна быть репрезентативной (представительной), то есть ее объекты должны достаточно хорошо отражать свойства генеральной совокупности.

Выборка может быть повторной, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность, и бесповторной, при которой отобранный объект не возвращается в генеральную совокупность.

Применяют различные способы получения выборки[19]:

1) Простой отбор - случайное извлечение объектов из генеральной совокупности с возвратом или без возврата.

2) Типический отбор, когда объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из ее «типической» части.

3) Серийный отбор - объекты отбираются из генеральной совокупности не по одному, а сериями.

4) Механический отбор - генеральная совокупность «механически» делится на столько частей, сколько объектов должно войти в выборку и из каждой части выбирается один объект.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности[20]. Например, если из 100 частиц отобрано для обследования 50 частиц, то объем генеральной совокупности N=100, а объем выборки n=50.

1.3. Вариационные ряды

При получении данных различными способами отбора составляют выборку, которая, как правило, представляет собой множество измерений, расположенных в беспорядке. По такой выборке трудно выявить какую-либо закономерность их изменения (варьирования).

Операция, при которой наблюдаемые значения случайной величины располагают в порядке возрастания, называют ранжированием. Эту операцию используют для обработки данных.

Пример1. Дана выборка:

Проведем ранжирование выборки:

После того, как операция ранжирования проведена, значения случайной величины объединяют в группы, в которых значения каждой отдельной случайной величины одинаковы. Каждое такое значение называют вариантой и обозначают строчными буквами латинского алфавита с индексами, соответствующими порядковому номеру группы .

Изменение значения варианты называется варьированием.

Последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, называется вариационным рядом[15].

Число, которое показывает, сколько раз встречаются соответствующие значения вариант в ряде наблюдений, называется частотой или весом варианты и обозначается , где - номер варианты.

Отношение частоты данной варианты к общей сумме частот называется относительной частотой или частостью (долей) соответствующей варианты и обозначается или , где - число вариантов[22]. Частость является статистической вероятностью появления варианты. Естественно считать частость аналогом вероятности появления значения случайной величины .

Дискретным статистическим рядом называется ранжированная совокупность вариантов с соответствующими им частотами или частостями.

Дискретный статистический ряд удобно записывать в виде табл.1.

Таблица 1.x_i

x₁

…

x_m

n_i

n₁

…

n_m

…

Составим таблицу 2 для примера 1, разобранного выше:

Таблица 2.

1

2

3

4

7

5

3

6

6

5

;

.

Если изучаемая случайная величина является непрерывной или число значений ее велико, то составляют интервальный статистический ряд.

Сначала определяют число интервалов , в зависимости от объема выборки.

Далее определяют длину частичного интервала :

, где - шаг ;- число интервалов.

Более точно шаг можно рассчитать с помощью формулы Стерджеса:

, число интервалов .

Если шаг окажется дробным, то за длину интервала берут ближайшее целое число или ближайшую простую дробь (обычно берут интервалы одинаковые по длине, но могут быть интервалы и разной длины).

За начало первого интервала нужно брать величину , а конец последнего интервала должен удовлетворять условию . Промежуточные интервалы получают, прибавляя к концу предыдущего интервала шаг.

При изучении результатов наблюдений, нужно отметить: сколько значений случайной величины попало в каждый интервал. А так же, в интервал включают значения, большие или равные нижней границе интервала, и меньшие - верхней границы.

В первую строку таблицы статистического распределения вписывают частичные промежутки .

Во вторую строку статистического ряда вписывают количество наблюдений (где ) попавших в каждый интервал; то есть частоты соответствующих интервалов.

При вычислении интервальных частостей округление результатов следует производить таким образом, чтобы сумма частостей была равна 1.

Для более легкого исследования интервальный статистический ряд можно заменить дискретным. В таком случае серединное значение -го интервала принимают за варианту, а соответствующую интервальную частоту - за частоту этой варианты.

Зависимость числа интервалов от объема выборки показана в таблице 3.

Таблица 3.

1.4. Графическое изображение статистических данных.

Статистическое распределение изображается графически с помощью полигона и гистограммы.

Рис.1 Рис.2

Полигоном частот (рис.1) называется ломаная, отрезками которой соединяют последовательно соседние точки с координатами ; полигоном частостейназывается ломаная, отрезками которой соединяют последовательно соседние точки с координатами , где , [27].

Полигон является изображением дискретного статистического ряда.

Гистограммой частот (частостей, рис.2) называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основания которых расположены на оси и длины их равны длинам частичных интервалов , а высоты равны отношению:

- для гистограммы частот; - для гистограммы частостей[27].

Гистограмма является графическим изображением интервального ряда.Площадь гистограммы частот равна , а гистограммы частостей равна 1.

Если интервальный ряд представить в виде дискретного ряда, то для него можно будет построить полигон. В этом случае вместо интервалов берутся их серединные значения и ставятся в соответствие интервальные частоты. Соединяя отрезками середины верхних оснований прямоугольников гистограммы, получим полигон.

Пример 2. Дана выборка значений случайной величины объема 20:

12, 14, 19, 15, 14, 18, 13, 16, 17, 12

18, 17, 15, 13, 17, 14, 14, 13, 14, 16

Нужно:

• построить дискретный вариационный ряд;

• построить полигон частостей;

• построить гистограмму частостей.

1) Проведем операцию ранжирования: 12, 12, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 19.

2) Найдем частоты вариантов и построим дискретный вариационный ряд (табл.4).

Таблица 4.Значения вариантов

12

13

14

15

16

17

18

19

Частоты

2

3

5

2

2

3

2

1

Частости

3)Построим полигон частостей:

Рис. 3

4) Построим интервальный ряд:

По данным таблицы 3найдем:;

Для нахождения длины интервала воспользуемся формулойСтерджеса:

.

Число интервалов .

Примем =1,4 .

Найдем начало первого интервала:

.

Последний интервал должен удовлетворять условию:

.

Проверка:;.

Строим интервальный ряд (табл. 5).

Таблица 5.Интервал

Частоты

2

8

2

2

5

1

0,071

_0,285

0,071

0,071

0,178

0,035

5)Построим гистограмму частостей(рис.4).

Рис.4

1.5. Эмпирическая функция распределения

Предположим, что дано статистическое распределение выборки. Из этой выборки каждому варианту поставлена в соответствие его частость.

Эмпирической функцией (функцией распределения выборки) называется функция , определяющая для каждого значения частость события ,,

- где - объем выборки, - число наблюдений, меньших [28].

Если объем выборки увеличивается, то частость события приближается к вероятности этого события. Эмпирическая функция является оценкой интегральной функции в теории вероятностей.

Функция обладает теми же свойствами, что и функция :

1. ;

2. -неубывающая функция;

3. , .

Рассмотрим пример3: построить эмпирическую функцию и ее график для случайной величины, заданной с помощью следующего дискретного ряда (табл.6):

Таблица 6.

1

3

4

6

7

2

2

3

2

5

Рис. 5

1.6.Основные числовые характеристики выборки

В теории вероятности можно сравнивать однотипные случайные величины (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение) с помощью числовых характеристик.

Числовые характеристики можно определить и для выборки. Их называют статистическими характеристиками, так как они вычисляются по данным, полученным в результате наблюдений (статистическим данным).

К основным статистическим характеристикам относят:

1. Размах варьирования .

2. Мода - вариант, имеющий наибольшую частоту.

3. Медиана - значение случайной величины, приходящееся на середину ряда.

Пусть - объем выборки.

Если , то есть ряд имеет четное число членов, то . Если , то есть ряд имеет нечетное число членов, то .

Пусть даностатистическое распределение выборки объема :

где - число вариантов.

4. Выборочным средним называется среднее арифметическое всех значений выборки:

.

Выборочное среднее можно записать по-другому: ,

где - частость.

В случае интервального статистического ряда в качестве берут середины интервалов, а - соответствующие им частоты.

5. Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочного среднего :

или .

6. Выборочное среднее квадратическое выборки определяется формулой: .

Особенность заключается в том, что оно измеряется в тех же единицах, что и данные выборки.

7. Если объем выборки невелик(), то пользуются исправленной выборочной дисперсией: .

8. Величина называется исправленным средним квадратическим отклонением.

9. Коэффициентом вариацииназывают отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической, выраженное в процентах. Коэффициент вариации нужен для сравнения рассеивания двух и более признаков, имеющих различные единицы измерения. Коэффициент вариации является относительной мерой рассеивания, выраженной в процентах[9]. Он вычисляется по формуле: ,где - искомый показатель, - среднее квадратичное отклонение, - средняя величина.

Рассмотрим нахождение числовых характеристик выборки на примере:Дана выборка (табл. 7). Найти все основные числовые характеристики выборки.

Таблица 7.x_i

1

4

7

10

11

n_i

10

6

15

4

5

1.7.Дополнительные числовые характеристики выборки

Помимо основных числовых характеристик выборки, существуют и другие, которые применяются для анализа статистических рядов, а так же являются аналогами соответствующих числовых характеристик случайной величины.

Среднее выборочное и выборочная дисперсия - это частный случай общего понятия - момента статистического ряда.

Начальным выборочным моментом порядка называется среднее арифметическое - х степеней всех значений выборки:

или .

Из определения следует, что начальный выборочный момент первого порядка находится: .

Центральным выборочным моментом порядка называется среднее арифметическое - хстепеней отклонений наблюдаемых значений выборки от выборочного среднего :

или [15].

Из определения следует, что центральный выборочный момент второго порядка:

.

Выборочным коэффициентом асимметрииназывается число , определяемое формулой: .

Для определения асимметрии полигона вариационного ряда используют выборочный коэффициент асимметрии. Если полигон асимметричен, то одна его ветвь (начиная от вершины) будет иметь более пологий «спуск», чем другая.

Если , то более пологий «спуск» полигона наблюдается слева; если - справа. В первом случае асимметрию называют левосторонней, а во втором - правосторонней.

Выборочным коэффициентом эксцесса или коэффициентом крутости называется число , определяемое формулой: .

Выборочный коэффициент эксцесса используется в качестве сравнения «крутости» выборочного распределения с нормальным распределением.

Коэффициент эксцесса для случайной величины, распределенной по нормальному закону, равен нулю.

Поэтому за стандартное значение выборочного коэффициента эксцесса принимают .

Если , то полигон имеет более пологую вершину по сравнению с нормальной кривой; если , то полигон более крутой по сравнению с нормальной кривой.

1.8. Вычисление числовых характеристик выборки

При вычислении числовых характеристик приходится сталкиваться с трудностями, вызванными громоздкостью при расчете. Для упрощения нахождения характеристик рассмотрим таблицу 8:

Таблица 8.

_Здесь,

- середины интервалов; - частоты; - объем выборки;

с помощью суммы находим ;

с помощью суммы находим и ;

с помощью суммы находим ;

с помощью суммы находим .

Если варианты и соответствующим им частоты выражаются в больших значениях, то вычисление выборочного среднего, дисперсии и выборочных моментов по приведенным формулам приводит к громоздким вычислениям.

В этом случае используют условные варианты , определяемые по формулам: , где числа и выбираются произвольно.

Для того, что бы облегчить вычисления в качестве выбирают вариант, который имеет самую большую частоту и находится в середине ряда. Это число _{называется «ложным нулем».} В качестве выбирают число равное длине интервала (в случае интервального ряда) или наибольший общий делитель разностей .

Для вычисления числовых характеристик выборки составляем табл. 9.

Таблица 9.

Проверка:

С помощью сумм, найденных в нижней строке таблицы, получим условные моменты:

, ,

, .

Числовые характеристики выборки вычисляем по формулам:

;

; ,

где и находим по формулам:

,

.

Рассмотрим пример 4.Распределение банков по размеру активов характеризуется следующими данными (табл. 10):

Таблица 10.Размер активов, млн руб.

До 200

200 - 300

300 - 400

400 - 500

500 - 600

600 и более

Итого

Удельный вес банков, % к итогу

8

25

52

7

5

3

100

Определите характеристики распределения:

а) среднюю;

б) моду;

в) среднее квадратическое отклонение;

г) коэффициент вариации;

д) коэффициент асимметрии и эксцесс.

Так как данный интервальный ряд состоит из открытых интервалов, то для начала их необходимо закрыть. Чтобы это сделать нужно из величины верхней границы первого интервала надо вычесть величину второго интервала.

Получим нижнюю границу первого интервала.

200 - 100 = 100.

Первый интервал: 100 - 200.

Далее к нижней границе последнего интервала прибавляем величину предшествующего интервала:

600 + 100 = 700

Последний интервал: 600 - 700.

а)Определение среднейпо сгруппированным данным производится по формуле средней арифметической взвешенной:

Для того, что воспользоваться этой формулой, необходимо варианты признака выразить одним числом (дискретным). В качестве такого числа можно принять среднее арифметическое простое из верхнего и нижнего значения в каждом интервале. Дискретная величина х для первого интервала будет равна

Построим таблицу расчётных данных (табл.11):

Таблица 11.

150

8

1 200

273800

-50 653 000

9 370 805 000

250

25

6 250

180625

-15 353 125

1 305 015 625

350

52

18 200

11700

175 500

2 632 500

450

7

3 150

92575

10 646 125

1 224 304 375

550

5

2 750

231125

49 691 875

10 683 753 125

650

3

1 950

297675

93 767 625

29 536 801 875

Итого

100

33 500

1087500

88 275 000

52 123 312 500

Последующий расчёт производится обычным методом определения средней арифметической взвешенной.

б) Определим моду.

В интервальных рядах распределения с равными интервалами мода определяется по формуле:

где

х_Мо - начальное значение интервала, содержащего моду;

i_Мо - величина модального интервала,

n_Мо - частота модального интервала,

n_Мо-1 - частота интервала, предшествующего модальному,

n_Мо+1 - частота интервала, следующего за модальным.

Мода содержится в интервале от 300 до 400, так как у этого интервала наибольшая частота

n = 52

млн. руб.

в) Найдём среднее квадратическое отклонение:

Значения размера активов в ряду распределения могут отличаться от среднего значения на 104,28 млн. руб.

Дисперсия будет равна:

г) Коэффициент вариации рассчитаем по формуле:

Совокупность однородна, так как коэффициент вариации не превышает 33%.

д) Теперь рассчитаем показатель асимметрии через отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению данного ряда в кубе, а именно:

где μ₃ - центральный момент третьего порядка, рассчитываемый по формуле:

Так как величина показателя асимметрии положительна, следовательно, речь идёт о правосторонней асимметрии.

Найденный результат говорит о наличии несущественной по величине и положительной по своему характеру асимметрии.

Затем рассчитаем показатель эксцесса (Е_k). Наиболее точно он определяется по формуле с использованием центрального момента четвёртого порядка:

Так как > 0 распределение является островершинным.

1.9. Элементы корреляционного анализа

Две случайные величины и могут быть связаны функциональной зависимостью, либо зависимостью другого рода, либо быть независимыми.

Зависимость величины от называется функциональной, если каждому значению величины соответствует единственное значение [9].

В нашем мире крайне редко встречается строгая функциональная зависимость, так как обе величины и , или хотя бы одна из них, могут быть подвержены действиям случайных факторов. Если найдутся факторы общие для обеих величин, то в таком случае возникает статистическая зависимость.

Статистической называется зависимость, при которой изменение одной величины влечет изменение распределения другой.

Корреляционной зависимостью называется зависимость, при которой изменение одной из переменных сопровождается изменениями условного среднего значения другой переменной величины.

Условным средним называют среднее арифметическое значений , соответствующих значению .

Например, пусть при случайная величина приняла значения , , . Тогда условное среднее равно .

Если каждому значению соответствует одно значение условной средней, то условная средняя есть функция от. В этом случае говорят, что случайная величина зависит от корреляционно.

Корреляционной зависимостью от называют функцию .

Уравнение называют уравнением регрессии на , а ее график - линией регрессии на.

Аналогично определяется условная средняя и корреляционная зависимость от.

Условным средним называется среднее арифметическое значений , соответствующих .

Корреляционной зависимостью от называют функцию .

Уравнение называют уравнением регрессии на , а ее график - линией регрессии на.

Корреляционный анализ рассматривает две задачи.

Первая задача теории корреляции - установить форму корреляционной связи, то есть вид функции регрессии (линейная, квадратичная и так далее)[8].

Вторая задача теории корреляции - оценить силу (тесноту) корреляционной связи. Теснота корреляционной связи (зависимости) на оценивается по величине рассеивания значений вокруг условного среднего. Большое рассеивание свидетельствует о слабой зависимости от, малое рассеивание указывает на наличие сильной зависимости[8].

Пусть имеются две случайные величины, и проводится их измерение.

В результате независимых опытов получены пар чисел , , ,

Будем искать линейное выборочное уравнение регрессии на в виде:

Так как по выборочным данным можно получить только оценки параметров, то оценку коэффициента обозначим через , а оценку - через , то есть .

Параметры и находим методом наименьших квадратов по формулам:

,

Аналогично находится выборочное уравнение линейной регрессии на:

,

где

,

.

Чтобы оценить связь (тесноту) между случайными величинами принято использовать выборочную ковариацию и выборочный коэффициент корреляции.

Выборочная ковариация (эмпирический корреляционный момент) записывается в виде:

,

а выборочный коэффициент корреляции имеет вид:

или ,

где , .

Абсолютная величина (модуль) выборочного коэффициента корреляции не превосходит единицы, то есть или . С возрастанием линейная корреляционная зависимость становится более тесной, и при переходит в функциональную. Если , то корреляционная связь испытаний и отсутствует.

Пример 5. В результате независимых испытаний получены пары значений случайных величин и (таб.12):

Таблица 12.

10

20

25

28

30

4

8

7

12

14

В таблице значения расставлены в возрастающем порядке.

Найти выборочное уравнение линейной регрессии и выборочный коэффициент корреляции. Построить прямые регрессии наи на

Составим таблицу подсчетов (табл.13):

Таблица 13.Номер опыта

1

10

4

100

40

16

2

20

8

400

160

64

3

25

7

625

175

49

4

28

12

784

336

144

5

30

14

900

420

196

113

45

2809

1131

469

1. Находим ,.

2. , .

, .

3. Вычислим эмпирический корреляционный момент:

.

Тогда коэффициент корреляции: .

Значение довольно близко к 1, следовательно, связь между случайными величинами и довольно тесная.

4. Найдем уравнения линий регрессии

на :

на :

5) Построим линии регрессии (Рис.6) . Для этого найдем точки пересечения линий с осями координат:

: , ;

,

: , ;

, .

Рис.6

При большом числе опытов одно и то же значение может встретиться раз, а одно и то же значение , соответственно, раз. Причем обычно

, где - объем выборки.

Одна и та же пара значений может наблюдаться раз.

В таком случае наблюдаемые значения группируют. Для этого подсчитывают частоты, и все эти результаты вносят в таблицу, которая называется корреляционной (табл. 14).

Таблица 14.

где

; - значения случайных величин и или середины интервалов;

; - соответствующие им частоты;

- частота, с которой встречается пара .

Выборочный коэффициент корреляции определяется по формуле:

, где .

.

Вычисление значительно упрощается, если ввести условные варианты.

Рассмотрим пример6. Дана корреляционная таблица для величин X и Y, X- срок службы колеса вагона в годах, а Y - усредненное значение износа по толщине обода колеса в миллиметрах. Определить коэффициент корреляции и уравнения регрессий.

Корреляционная таблица (табл.16):

Таблица 16.X / Y

0

2

7

12

17

22

27

32

37

42

0

3

6

0

0

0

0

0

0

0

0

1

25

108

44

8

2

0

0

0

0

0

2

30

50

60

21

5

5

0

0

0

0

3

1

11

33

32

13

2

3

1

0

0

4

0

5

5

13

13

7

2

0

0

0

5

0

0

1

2

12

6

3

2

1

0

6

0

1

0

1

0

0

2

1

0

1

7

0

0

1

1

0

0

0

1

0

0

Уравнение линейной регрессии с y на x имеет вид:

Уравнение линейной регрессии с x на y имеет вид:

Найдем необходимые числовые характеристики.

Выборочные средние:

Дисперсии:

Откуда получаем среднеквадратические отклонения:

и

и ковариация:

Определим коэффициент корреляции:

Запишем уравнения линий регрессии y(x):

и вычисляя, получаем:

Запишем уравнения линий регрессии x(y):

и вычисляя, получаем:

Если построить точки, определяемые таблицей (табл.16) и линии регрессии (рис.7), увидим, что обе линии проходят через точку с координатами (2.19; 7.39) и точки расположены близко к линиям регрессии.

Рис.7

Глава 2. Элективный курс «Методы математической статистики»

2.1. Требования к программам элективных курсов

В Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования, утвержденной приказом Министерства образования России от 18.07.02 № 2783, выделены цели перехода к профильному обучению, среди которых можно указать цель создания условий для существенной дифференциации содержания обучения старшеклассников с широкими и гибкими возможностями построения школьниками индивидуальных образовательных программ. Поэтому вводятся элективные курсы - обязательные для посещения по выбору учащихся.

Набор профильных и элективных курсов на основе базовых общеобразовательных предметов составит индивидуальный образовательныйпуть для каждого школьника.

Элективные курсы выполняют три основных функции:

1) «надстройки» профильного курса, когда такой дополненный профильный курс становится в полной мере углубленным (а школа /класс/, в котором он изучается, превращается в традиционную школу с углубленным изучением отдельных предметов);

2) помогают более глубоко изучать базисные курсы, что позволяет поддерживать изучение смежных учебных предметов на профильном уровне или получить дополнительную подготовку для сдачи единого государственного экзамена по выбранному предмету на профильном уровне;

3) удовлетворяет познавательный интерес человека в различных областях.

Выделяют следующие типы элективных курсов:

I. Предметные курсы, задача которых - углубление и расширение знаний по предметам, входящих в базисный учебный школы.

В свою очередь, предметные элективные курсы делятся на несколько групп:

1) Элективные курсы повышенного уровня, нацеленные на углубление того или иного учебного предмета, который имеет тематическое или временное согласование с этим учебным предметом. Таким образомданный вид элективного курса позволит изучить выбранный предмет не на профильном, а на углубленном уровне. В этом случае все разделы курса углубляются более или менее равномерно.

2) Элективные курсы,входящие в обязательную программу данного предмета, в которых углубленно изучаются отдельные разделы основного курса.

3) Элективные курсы, изучающие отдельные разделы основного курса, не входящие в обязательную программу данного предмета.

4) Прикладные элективные курсы, цель которых - знакомство учащихся с важнейшими путями и методами применения знаний на практике, развитие интереса учащихся к современной технике и производству.

5) Элективные курсы, которые посвящены изучению методов познания природы.

6) Элективные курсы, которые посвящены истории предмета, как входящего в учебный план школы (история физики, биологии, химии, географических открытий), так и не входящего в него (история астрономии, техники, религии и др.).

7) Элективные курсы, посвященные изучению методов решения задач (математических, физических, химических, биологических и т.д.), составлению и решению задач на основе физического, химического, биологического эксперимента.

II. Межпредметные элективные курсы, которые нацеленына интеграцию знаний учащихся о природе и обществе.

III. Элективные курсы по предметам, не входящим в базисный учебный план.

Элективные курсы, различающиеся целями и содержанием при выборе учащимися должны соответствовать их запросам.

При проведении элективных курсов можно использовать новые технические возможности, такие как электронные учебники. Это определено меньшимколичеством групп и большой общностью интересов школьников. В настоящее время существуют большие электронные библиотеки, внедряется методика использования электронных ресурсов, достаточно большое количество весьма качественных CD - дисков, которые можно использовать на уроках и дома для самообразования.

В Концепции профильного обучения четко указано:

1. Элективные курсы - обязательны для посещения по выбору учащихся, входящие в состав профиля обучения на старшей ступени школы.

2. Элективные курсы реализуются за счет школьного компонента учебного плана, предназначены для содержательной поддержки изучения основных профильных предметов или служат для внутрипрофильной специализации обучения и для построения индивидуальных образовательных траекторий.

3. Количество элективных курсов должно быть избыточно по сравнению с числом курсов, которые обязан выбрать учащийся.

4. Элективные курсы помогают решать следующие задачи:

• способствовать самоопределению ученика и выбору дальнейшей профессиональной деятельности;

• создавать положительную мотивацию обучения на планируемом профиле;

• познакомить учащихся с ведущими для данного профиля видами деятельности;

• активизировать познавательную деятельность школьников;

• повысить информационную и коммуникативную компетентность учащихся.

То, что набор элективных курсов выбирают сами школьники, дает возможность самостоятельного определения индивидуальной образовательной траектории, профессионального самоопределения. Основными мотивами, которые следует учитывать при разработке элективных курсов, являются:

• подготовка к ЕГЭ по профильным предметам;

• приобретение знаний и навыков, освоение способов деятельности для решения практических, жизненных задач;

• возможности успешной карьеры, продвижения на рынке труда;

• любопытство;

• поддержка изучения базовых курсов;

• профессиональная ориентация;

• интеграция имеющихся представлений в целостную картину мира.

Базовые требования к содержанию программ элективных курсов. Программы элективных курсов разрабатываются, принимаются и реализуются образовательными учреждениями самостоятельно.

Базовыми требованиями к содержанию программ элективных курсов являются:

1) ориентация на современные образовательные технологии;

2) соответствие учебной нагрузки учащихся нормативам;

3) соответствие принятым правилам оформления программ;

4) наличие пособия, содержащего необходимую информацию;

5) краткосрочность проведения курса (не более 72 часов).

Есть правила оформления программ, которые нужно рассмотреть.

Программа элективного курса должна включать следующие структурные элементы:

• титульный лист;

• пояснительную записку;

• учебно-тематический план;

• содержание изучаемого курса;

• методические рекомендации;

• литературу.

Титульный лист включает:

• наименование образовательного учреждения;

• сведения о том, где, когда и кем утверждена программа;

• название элективного курса;

• класс, на который рассчитана программа;

• ФИО, должность автора (авторов) программы;

• название населенного пункта;

• год разработки программы.

Пояснительная записка включает:

• аннотация, обоснование необходимости введения данного курса в школе;

• указание на место и роль курса в профильном обучении (важно показать место курса в отношении как с общеобразовательными, так и с базовыми профильными предметами: какие межпредметные связи осуществляются при изучении элективных курсов, какие общеучебные и профильные умения и навыки при этом развиваются, каким образом создаются условия для появления познавательного интереса учащихся, профессионального самоопределения);

• цель и задачи элективного курса (цель курса - для чего он изучается, какие потребности субъектов образовательного процесса удовлетворяет: учащихся, учителей, школьного сообщества, общества; задача курса - что необходимо для достижения целей);

• сроки реализации программы (продолжительность обучения, этапы);

• основные принципы отбора и структурирования материала;

• методы, формы обучения, режим занятий (результатом изучения элективного курса являются знания, умения, навыки, необходимые для успешной профессиональной деятельности по окончанию курса);

• предполагаемые результаты;

• инструментарий для оценивания результатов.

Учебно-тематический план включает:

• перечень разделов, тем;

• количество часов на изучение каждой темы;

• вид занятий.

Содержание изучаемого курсасодержит определенные темы и их реферативное описание.

Методические рекомендации включают:

• основные содержательные компоненты по каждому разделу или теме;

• описание приемов и средств организации учебно-воспитательного процесса, форм проведения занятий;

• дидактические материалы.

Литература включает список литературы и другие учебно-методические материалы и пособия, которые необходимы для изучения курса, как для учителя, так и для учащихся.

Критерии оценки программы элективного курса:

1. Уровень новизны материала для учащихся.Курсвключает информацию, не содержащуюся в базовых программах.

2. Мотивирующий аспектпрограммы. Материал, содержащийся в программе, должен вызывать интерес у учащихся.

3. Развивающий потенциал программы. Содержание программы должно способствовать интеллектуальному, творческому, эмоциональному развитию школьников, в котором широко используются методы активного обучения.

4. Полнота и завершенность содержательных линий программы в соответствии с поставленными целями.

5. Связность и систематичность изложенного материала. Содержание строится так, что изучение всех последующих тем опирается на предыдущие или на знания базовых курсов; между частными и общими знаниями прослеживаются связи.

6. Методы обучения. Программа реализуется преимущественно на методах активного обучения (проектных, исследовательских, игровых и т.д.)

7. Степень контролируемости. В программе поставлены ожидаемые результаты обучения и методы проверки их достижимости.

8. Реалистичность с точки зрения ресурсов. Программа должна быть доступна с точки зрения использования учебно-методических и материально-технических средств, кадровых возможностей школы.

9. Формальная структура программы. Программа включает в себя необходимые разделы: пояснительную записку (с обязательным целеполаганием), основное (тематическое) содержание, ожидаемые результаты обучения, список литературы.

2.2. Содержание элективного курса «Методы математической статистики»

Как выше было сказано, в научно-методической литературе выделяют три типа элективных курсов: предметные, межпредметные и не входящие в базисный учебный план.

Наша задача - составить содержание элективного курса, не входящего в базисный учебный план. Для определения содержания элективного курса по теме «Методы математической статистики», необходимо выяснить, как и где статистика применяется в математике:

1. Графическое представление результатов измерений. Применяется для повышения наглядности эмпирических распределений.

2. Расчет основных статистических характеристик. Графическое представление результатов дает только наглядное представление о том, как варьирует признак в выборочной совокупности. Числовые характеристики дают количественное представление об эмпирических данных и позволяют сравнивать их между собой.

Далеесоставим содержание элективного курса «Методы математической статистики» для классов с углубленным изучением математики.

1. Комбинаторика. Основные формулы комбинаторики: о перемножении шансов, о выборе с учетом порядка, перестановки с повторениями, размещения с повторениями, выбор без учета порядка. Правило суммы, правило произведения.

2. Вероятность. Основные понятия теории вероятностей. Операции над событиями. Классический, статистический подход к определению вероятности. Основные правила вычисления вероятностей.

3. Случайные величины. Понятие дискретной и непрерывной случайной величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Вычисление числовых характеристик дискретной случайной величины.

4. Математическая статистика. Общие сведения. Вариационные ряды и их графические представления. Дискретные и непрерывные ряды. Вычисление основных числовых характеристик выборки. Основы корреляционно-регрессионного анализа.

По окончанию элективного курса учащиеся должны овладеть следующими умениями:

• рационально решать задачи, применяя формулы комбинаторики и основные правила вычисления вероятностей;

• вычислять числовые характеристики дискретной случайной величины;

• обрабатывать первоначальную статистическую информацию, полученную в результате проведения наблюдений и экспериментов;

• графически представлять полученную эмпирически информацию и делать первоначальный анализ (выводы);

• вычислять количественные характеристики, присущие данным измерениям;

• устанавливать связь между исследуемым признаком и выявить тесноту и направление связи.

2.3. Основные принципы построения методики изучения элективного курса

Теория вероятности и статистика была включена в школьный курс математики недавно, поэтому в настоящее время существуют проблемы с реализацией этого материала в школьных учебниках. Из-за специфики элективного курса, существует недостаток недостаток методической литературы.

В большинстве литературыуказывается, что главным при изучении данной темы является практический опыт учащихся, поэтому обучение следует начинать с вопросов, в которых нужно найти решение поставленной проблемы взятой из реальной ситуации. Доказательство теорем не должно занимать большое количество времени, так как основной задачей является выработка профессионально значимых навыков.

Изучение следует начать с повторения основ комбинаторики, причем параллельно должна изучаться теория вероятностей, так как комбинаторика необходима для подсчета вероятностей.

Далее нужно перейти к теории вероятностей. В первую очередь требуется сформировать понятие случайного события. Формируется данное понятие на различных примерах из жизни. Также учащиеся должны иметь представления об основных понятиях теории вероятностей, а именно: достоверные события, невозможные, равновероятные. Данные понятия вводятся, опираясь на примеры из жизни.

Нужно развить у учащихся понимание степени случайности различных явлений и событий. Для того чтобы найти очевидные закономерности используют эмпирические закономерности. Следующим шагом в продолжение вероятностной линии следует введение классического и статистического определения вероятности. Учащимся необходимо понимать разницу между этими двумя подходами, чтобы осознавать, что одно это определение вероятности, а другое - способ вычисления вероятности. Таким образом, можно сделать вывод, что определение классической вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности, определение же статистической вероятности предполагает, что испытания были произведены.

Также изучается понятие дискретной случайной величины и непрерывной случайной величины и формулы вычисления основных характеристик этих величин. Необходимоуказать учащимся на практический смысл этих характеристик. Так как вычисления характеристик не вызывает никакой сложности, то на эту тему не стоит тратить большое количество времени.

На основе полученных ранее знаний переходим к последнему этапу в изучении статистики.Данный этаппредусматриваетбольшое количество новых терминов, здесь учителю можно посоветовать следующее: попросить учащихся завести словари, куда бы они заносили новые понятия и могли бы туда заглядывать.

Статистические исследования являются завершающим этапом изучения элективного курса. Они включают в себя примеры статистических исследований в области математики и повседневной жизни. Также в качестве дополнительного задания для учащихся можно предложить самостоятельно провести несложное статистическое исследование.

2.4. Методика использования практико-ориентированных задач

Для успешного освоения материала необходимо показатьучащимся, что получаемые на занятиях по математике знания и умения, им понадобятся в их практической деятельности.

Негативное отношение учащихся к математике объясняется тем, что они не видят применения математических знаний и умений на практике.

Необходимость изучения теории вероятности и статистики можно показать на сюжетных задачах, сформулированных в виде профессиональных проблемных ситуаций. Для математиков можно составить ситуации в различных областях жизни и науки. Задачи должны подбираться таким образом, чтобы для их решения требовались определенные математические знания. Также, математические задачи являются одним из средств формирования профессионально значимых умений.

Например, одной из проблемной задач может служить следующая: известно, что среди 40 ученых имеются 10 математиков. Среди всех ученых случайным образом выбрали первую пятерку, найдите вероятность, что в этой пятерке присутствуют ровно 2 математика.

Чтобы решить данную задачу, необходимы знания в области комбинаторики и теории вероятности.

При использовании практико-ориентированных задач достигается следующая цель: ученикам наглядно демонстрируются проблемные ситуации, что вызывает у них заинтересованность в изучении математики.

Рационально использовать задачи, в которых предлагается получить самостоятельно недостающие данные. Например, для школьников такими данными могут служить результаты контрольных или самостоятельных работ. Учащиеся самостоятельно получают данные при решении задач, таким образом, создаются условия для развития профессиональных умений проводить опросы, работать со справочной литературой и так далее. А так же, решая такие задачи, учащиеся видят связь изучаемого ими материала с практикой.

Среди способов самостоятельного получения исходной информации выделяют следующие:

• Использование опубликованной информации (справочная литература, журналы, интернет и т.д.). Решение данных задач развивает у учеников умение работать со специальной литературой. Также можно предлагать задачи связанные с динамическим прогнозированием: учащимся нужно взять опубликованные сведения о развитии некоторого явления (спортивного результата, роста детей, количество детей занимающихся в секциях), на их основе построить математическую модель развития этого явления во времени, спрогнозировать уровень развития на текущий период и сравнить с реальным значением.

• Самостоятельное получение данных в результате эксперимента.

Предлагаемые задачи подходят для классной и для домашней работы, так как сбор данных не отнимает много времени и не отвлекает от решения задачи.

Учителю необходимо самостоятельно составлять задачи, так как нет специальной литературы, в которой они бы содержались.

2.5. Методика преподавания математической статистики в средней школе

Математическая статистика - это раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления существующих закономерностей [15]. Необходимо подробно остановиться на изучении статистических характеристик и их практического применения. Рассмотреть понятия, заключающиесущность выборочного метода в статистике (выборка, варианта и пр.). Также нужноуделить внимание способам их графического представления.

В практике статистических наблюдений различают два вида:

• сплошное (изучаются все объекты);

• выборочное (не сплошное, когда изучается часть объектов).

Примером сплошного наблюдения является опрос школы, охватывающее всех учащихся. Выборочными наблюдениями является, например, проводимые социологические исследования в отдельном классе и тому подобное.

Вся подлежащая изучению совокупность объектов называется генеральной совокупностью. Часть объектов, которая отобрана для непосредственного изучения из генеральной совокупности, называется выборочной совокупностью или выборкой.

Числа объектов в генеральной или выборочной совокупности называют их объемами. Генеральная совокупность может иметь конечный и бесконечный объем.

Суть выборочного метода состоит в том, чтобы по некоторой части генеральной совокупности (по выборке) выносить предложение о ее свойствах в целом. Обычно ограничиваются 5-10% всей изучаемой совокупности.

Затем следует рассматривать выборочный метод и выделить его преимущества:

• экономия затраты ресурсов;

• единственно возможный в случае бесконечной генеральной совокупности или в случае, когда исследовании связано с уничтожением наблюдаемых объектов;

• возможность углубленного исследования за счет расширения программы исследования при тех же затратах;

• снижение ошибок регистрации;

• неизбежные ошибки, возникающие в связи с изучением части объектов, могут быть заранее оценены и посредством правильной организации выборки сведены к незначимым величинам.

Использование сплошного наблюдения часто приводит к уменьшению точности наблюдения, а это у же вызывает неустранимые ошибки, и может привести к снижению точности сплошного наблюдения в сравнении с выборочным. Выборка должна быть отобрана случайным образом, для того чтобы по ее данным можно было судить о генеральной совокупности. Отбор на практике выполняется с помощью жеребьевки или с помощью случайных чисел.

Основной недостаток выборочного метода - ошибки исследования, называемые ошибками репрезентативности.

Выборка называется репрезентативной (представительной), если она достаточно хорошо воспроизводит генеральную совокупность. Виды выборок:

• случайная выборка (случайный выбор элементов без расчленения на части или группы);

• механическая выборка (элементы отбираются через определенный интервал);

• типическая выборка (выбор случайным образом элементов из типических групп, на которые по некоторому признаку разбивается генеральная совокупность);

• серийная выборка (случайным образом отбираются целые группы совокупности, а сами серии подвергаются сплошному наблюдению).

• Способы образования выборки:

• повторный выбор - каждый элемент, случайно отобранный и обследованный, возвращается в общую совокупность и может быть повторно отобран.

• бесповторный отбор - когда обратный элемент не возвращается в общую совокупность.

Далее учащимся можно дать таблицу (табл.11), в которых указываются основные характеристики генеральной совокупности и выборки.

Таблица 11.Наименование характеристики

Генеральная совокупность

Выборка

Математическое ожидание

Дисперсия

Доля

Здесь х_i - значение признака; N и n - объемы генеральной и выборочной совокупностей; N_i и n_i - число элементов генеральной и выборочной совокупностей со значением признака х_i; M и m - число элементов генеральной и выборочной совокупностей, обладающих данным признаком.

На примере можно показать, как вычисляются введенные характеристики. Генеральная совокупность задана таблицей распределения (табл.12). Найти дисперсию.

Таблица 12.X_i

2

4

5

6

N_i

8

9

10

3

Важнейшей задачей выборочного метода является оценка параметров генеральной совокупности по данным выборки.

Далее введем понятие вариационного ряда. Для этого рассмотрим пример. Необходимо изучить изменение результатов учеников, занимающихся по прыжкам в длину, по сравнению с предыдущим годом. Получены следующие данные результатов в процентах к предыдущему году: 97,8; 97,10; 101,17;…;142,3;141,02.(всего 100 значений.).

Различные значения признака (случайной величины Х) называется вариантами (обозначаем их через х).

В первую очередь необходимо упорядочить данные. Расположение вариантов в порядке возрастания (убывания), т.е. ранжирование вариантов ряда.

Следующим этапом нужно производить группировку, то есть разобиение на отдельные интервалы. Число интервалов не следует брать большим. Числа показывающие, сколько раз встречаются варианты из данного интервала, называются частотами (n_i), а отношение их к общему числу наблюдений частостями. Составляем таблицу (табл.13)

Таблицу 13.

N

Результаты в процентах к предыдущему году х

Частота (количество учеников) n_i

Частость

Накопленная частота

n_i^нак

Накопленная частость

1

94,0-100

3

0,03

3

0,03

2

100,0-106,0

7

0,07

10

0,10

3

106,0-112,0

11

0,11

21

0,21

…

…

…

…

…

…

8

136,0-142,0

2

0,02

100

1,00

100

1,00

Вариационным рядом называется ранжированный в порядке возрастания или убывания ряд вариантов с соответствующими им частотами (частостями). Накопленная частота n_i^нак показывает, сколько наблюдалось вариантов со значениями признака меньших х. Накопленная частость - отношение накопленной частоты к общему числу наблюдений: .

Таким образом, полученный вариационный ряд позволяет выявить закономерности.

Для задания вариационного ряда достаточно указать варианты и соответствующие им частоты (частости).

Аналогично с определением дискретной и непрерывной случайной величины, дается определение дискретного и непрерывного вариационного ряда.

Вариационный ряд называется дискретным, если любые его варианты отличаются на постоянную величину. Вариационный ряд называется непрерывным, если варианты могут отличаться один от другого на сколь угодно малую величину[24].

Для того, чтобы графически изобразить вариационный ряд используют:

• полигон - служит для изображения дискретного вариационного ряда и представляет собой ломаную, в которой концы отрезков имеют (х_i, n_i);

• гистограмма служит для изображения интервальных вариационных рядов и представляет собой ступенчатую фигуру из прямоугольников с основаниями, равными интервалам значений признака к=х₂-х₁. И высоты равные частотам. Если соединить середины верхних оснований прямоугольников отрезками прямой, то можно получить полигон того же распределения.

Корреляционный анализ является важной темой для формирования профессионально значимых навыков.

Корреляционной зависимостью между двумя переменными величинами называется функциональная зависимость между значениями одной из них и условным математическим ожиданием другой [19].

Корреляционная зависимость представлена в виде

Это уравнение называют уравнением регрессии, а их графики линиями регрессии. Для нахождения уравнений регрессий необходимо знать закон распределения двумерной случайной величины.

Данные о статистической зависимости удобно задавать в виде корреляционной таблицы (табл. 14).

Таблицы 14.

Вычисленные групповые средние изобразим графически в виде ломанной, называемой эмпирической линией регрессии.

По виду ломанной можно предположить наличие линейной функциональной зависимости между случайными величинами Х и Y, то есть имеется функция y=kx+b, где ;.

Заключение

Выпускная квалификационная работа посвящена проблемам методики обучения математической статистике в рамках элективного курса для профильной школы.

В первой главе мы рассмотрели, что представляет собой математическая статистика. Ее основные элементы, числовые характеристики и графическое представление. Разобрали примеры нахождения статистических характеристик. А также рассмотрели элементы корреляционного анализа.

Во второй главе была рассмотрена методика преподавания математической статистики для школ с углубленным изучением математики. Рассмотрены требования к программам элективных курсов, основные принципы построения методики изучения элективного курса. Также был разработан элективный курс по данной теме, который отвечает всем рассмотренным требованиям.

Таким образом, цели работы были достигнуты.

Данный разработанный элективный курс по математической статистике поможет качественно усвоить школьнику материал по данной теме, а главное - осознанно применять полученные знания в своей практической деятельности.

Материал данной квалификационной работы может быть использован учителями средней школы для проведения с учениками дополнительных факультативных занятий и математических кружков.

Список литературы

1. Агапов, Г.И. Задачник по теории вероятностей. [Текст] / Г.И. Агапов - М.: Высшая школа, 1986. -284 с.

2. Асриев, А.В. Практикум по статистическому моделированию на ЭВМ. [Текст] / А.В. Асриев, А.И. Кибзун - М.: МАИ, 1989. - с. 243

3. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей. [Текст] / Е.С. Вентцель - М.: Наука, 1969. -312 с.

4. Вентцель, Е.С. Прикладные задачи теории вероятностей. [Текст] / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - М.: Радио и связь, 1983. -230 с.

5. Войтенко, М.А. Руководство к решению задач по теории вероятностей: Учебное пособие. [Текст] / М.А. Войтенко, А.И. Карасева. - М.: ВЗФЭИ, 1998.- 218 с.

6. Гаврилин, А. Т. Задачи по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных процессов. Методическая разработка для студентов дневного отделения радиофизического факультета. [Текст] / А. Т. Гаврилин, О. Н. Репин, И. П. Смирнов - Горький: ГГУ, 1983. - 300с.

7. Гихман, И. И. Введение в теорию случайных процессов. [Текст] / И. И. Гихман, А. В. Скороход - М.: Наука, 1969. - 390с.

8. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. [Текст] / В.Е. Гмурман- М.: Высшая школа, 1998. - 403 с.

9. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. [Текст] / В.Е. Гмурман - М.: Высшая школа, 2003. - 478 с.

10. Мешалкин, Л.Д. Сборник задач по тоерии вероятностей. [Текст] / Л.Д. Мешалкин - М.: Издательство МГУ, 1963.- 368 с.

11. Горяинова, Е.Р. Практичекие занятия по курсу теории вероятностей. [Текст] / Е.Р. Горяинова , А.В. Наумов, А.Н. Сиротин - М.: МАИ, 1999. - 210 с.

12. Горяинова, Е.Р. Решение задач по теории вероятностей. [Текст] / Е.Р. Горяинова, А.В. Наумов, А.Н. Сиротин - М.: МОИ, 2001.- 315 с.

13. Емельянов, Г.В. Задачник по теории вероятностей и математической статистике.[Текст] / Г.В. Емельянов, В.П. Скитович - Л.: Издательство ЛГУ, 1967. - 428 с.

14. Зубков, А.М. Сборник задач по теории вероятностей. [Текст] / А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - М.: Наука, 1989. - 406 с.

15. Ивченко, Г.И. Математическая статистика. [Текст] / Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев - М.: Высшая школа, 1984. - 457 с.

16. Кан, Ю.С. Методические указания к практическим занятиям по теории вероятностей на базе компьютерного курса. [Текст] / Ю.С. Кан - М.: МАИ, 1996. - 205 с.

17. Кибзун, А.И. Учебное пособие по теории вероятностей. [Текст] / А.И. Кибзун, А.Р. Панков, А.Н. Сиротин - М.: МАИ, 1993. - 226 с.

18. Кибзун, А.И. Лекции по теории вероятностей. [Текст] / А.И. Кибзун, А.В. Наумов - М.: МАИ, 2000. - 250 с.

19. Коваленко, И. Н. Теория вероятностей и математическая статистика. [Текст] /И. Н. Коваленко, А. А. Филлипов- М.:Высшая школа, 1988.- 231 с.

20. Кожевников, Ю.В. Введение в математическую статистику. [Текст] / Ю.В. Кожевников - Казань: Издательство КГТУ, 1996. - 327 с.

21. Колемаев, В.А. Теория вероятностей и математическая статистика.[Текст] / В.А. Колемаев , О.В. Староверов, В.Б. Турундаевский - М.: Высшая школа, 1991.- 429 с.

22. Королюк, В.С. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. [Текст] / В.С. Королюк - М.: Наука, 1985. - 278 с.

23. Крамер, Г. Математические методы статистики. [Текст] / Г. Крамер - М.: Мир, 1975. - 398 с.

24. Лавренченко, А.С. Лекции по математической статистике и теории случайных процессов. [Текст] / А.С. Лавренченко - М.: МАИ, 1974. - 169 с.

25. Прохоров, А.В. Задачи по теории вероятностей. [Текст] / А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушакова - М.: Наука, 1986. - 365 с.

26. Пугачев, В.С. Введение в теорию вероятностей .[Текст] / В.С. Пугачев - М.: Наука, 1968. - 314 с.

27. Пугачев, В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. [Текст] / В.С. Пугачев - М.: Наука, 1979. - 420 с.

28. Путко, В.А. Математика (Теория вероятностей и математическая статистика). [Текст] / В.А. Путко, М.И. Фридман, Р.Н. Исаева, Л.А. Медведева- М.: Экономическое образование, 1998. - 489 с.

29. Розанов, Ю.А. Лекции по теории вероятностей. [Текст] / Ю.А. Розанов - М.: Наука, 1968. - 300 с.

30. Секей, Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. [Текст] / Г. Секей - М.: Мир, 1990. - 248 с.

31. Сборник задач по математике для вузов. Часть 3. Специальные курсы. [Текст] / под ред. А.В. Ефимова. - М.:Наука, 1984. - 347 с.

32. Теория вероятностей. [Текст] / под ред В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Издательство МВТУ им. Н,Э. Баумана, 1999. - 199 с.

33. Чистяков, В.П. Курс теории вероятностей. [Текст] / В.П. Чистяков - М.: Наука, 1987.- 210 с.

Приложение 1

Элективный курс "Методы математической статистики"

Пояснительная записка:

Данный элективный курс создан для предпрофильной подготовки учащихся 9-х классов. Разработка программы данного курса определена непродолжительным изучением темы «Методы математической статистики» на первом этапе основной школы.

Данный элективный курс раскрывает не изученные в общем курсе школьной математики вопросы, которые можно подробно рассмотреть в школах с углубленным изучением математики. С одной стороны, курс поддерживает изучение основного курса математики и способствует лучшему изучению базового курса, а с другой стороны, служит для поддержки профильного обучения.

Цели курса:

• формирование образовательной компетентности учащихся по математике через овладение ими знаниями и целесообразными способами деятельности;

• расширение и углубление знаний учащихся с учётом их интересов и склонностей;

• расширение представления учащихся о сферах применения математики.

Задачи курса:

• показать учащимся возможность использования математических методов и технологии статистической обработки в различных исследованиях;

• способствовать формированию таких важных в современном обществе умений, как понимание и интерпретация результатов статистических исследований, широко представленных в СМИ.

• формирование элементарных навыков работы со статистическими характеристиками;

• формирование навыков по построению, чтению графиков, диаграмм, гистограмм.

• включение учащихся в поисковую деятельность как фактор личностного развития;

• развитие коммуникативных навыков в процессе практической и игровой деятельности;

В результате изучения курса «Методы математической статистики» учащийся должен освоить:

• основные понятия математической статистики;

• методы сбора, обработки и анализа статистических данных в зависимости от целей исследования;

• технику проверки гипотез.

Ученик должен уметь:

• выделить проблему, исследование которой может быть связано со статистическим анализом;

• определить генеральную совокупность и исследуемую случайную величину;

• сформулировать математическую постановку задачи;

• собрать экспериментальный материал и сформировать выборку;

• с учетом поставленной задачи, используя методы математической статистики, провести обработку и анализ данных;

Примеры представленные в курсе разъясняют общие положения теории и указывают на связь этих положений с социально-экономическими проблемами, дают указания на приложения общетеоретических результатов, развивают умение применять эти результаты в конкретных задачах. Объем курса - 32 часа.

Контроль знаний осуществляется проведением итоговой контрольной работы.

Содержание курса

I. Предмет, метод и задачи статистики.

Основные задачи статистики: выявление и изучение закономерностей, изучение совокупности на основе различий единиц совокупности. Классификация признаков, характеризующих особенности единиц совокупности

II. Анализ данных.

Сбор статистических данных. Систематизация, обобщение и анализ данных. Таблицы. Сводные таблицы. Таблицы с результатами подсчётов.

III. Случайная выборка и её представление.

Генеральная совокупность и случайная выборка. Выборочный метод как основной метод статистики. Генеральная совокупность, элементы генеральной совокупности. Описание генеральной совокупности через набор признаков. Случайная выборка.

Таблица частот. Ранжированный ряд. Частотная таблица. Абсолютная частота. Относительная частота. Группировка данных. Интервальная таблица частот. Накопленная частота.

Полигон. Гистограмма.

IV. Числовые характеристики случайной выборки.

Числовые характеристики среднего. Среднее арифметическое, мода, медиана. Особенности каждой из характеристик среднего. Вычисление средних по таблицам. Формулы для вычисления среднего арифметического с использованием абсолютных частот и относительных частот значений ряда. Вычисление моды. Вычисление медианы. Вычисление числовых характеристик выборки по интервальной таблице частот. Числовые характеристики разброса. Размах. Отклонение. Дисперсия. Среднее квадратичное отклонение. Вычисление характеристик разброса по таблице частот.

V. Элементы корреляционного анализа.

Функциональная зависимость. Условное среднее арифметическое. Корреляционная зависимость. Уравнение регрессии. Линия регрессии.

Учебно-тематический план курса (32 часа)</</font>

Методические рекомендации:

Тема I.

В результате изучения этой темы учащиеся должны уяснить, что статистика - это наука, особыми методами изучающая массовые явления и процессы общественной жизни и помогающая обнаружить закономерности различных процессов, происходящих в жизни.

Тема II.

Раздел 1. При изучении этого раздела учащиеся должны получить представление о трёх основных этапах любого статистического исследования: сборе, систематизации и анализе статистических данных.

Сбор данных - процесс трудоёмкий и дорогостоящий. Если к сбору данных подключить самих учащихся, то интерес к их дальнейшей обработке у учащихся сильно возрастёт. Целесообразно организовать с помощью учащихся социологическое мини-исследование, тему которого могут предложить они сами. Вот возможные варианты:

• Какой из школьных предметов вам больше нравится (не нравится)?

• Сколько времени каждый из вас тратит на дорогу в школу?

• Сколько времени вы тратите на приготовление уроков дома?

• Сколько времени вы проводите у телевизора(компьютера\на прогулке)?

• Какой маркой сотового телефона вы пользуетесь?

Собранная информация пригодится при изучении дальнейших тем и послужит материалом для составления таблиц и построения диаграмм. Статистические данные можно собирать не только прямыми опросами или измерениями, но и с помощью современных средств ИКТ, прививая учащимся элементы информационной культуры. Систематизация данных сегодня практически немыслима без применения компьютера. Его использование при изучении статистического материала необходимо уже с первых занятий.

Раздел 2. При изучении этого раздела задача учителя - продемонстрировать, преимущества электронных таблиц, а также то, что таблицы действительно удобный способ для упорядочивания и систематизации больших объёмов информации. Основные навыки, которые должен получить здесь ученик, состоят в следующем:

• быстро разбираться в структуре таблицы и находить в ней нужную информацию;

• самостоятельно структурировать информацию и представлять её в виде таблицы;

• составлять на основе заданной таблицы новые (сводные);

• использовать таблицы для подсчёта результатов различных статистических опытов и наблюдений.

• Можно привлекать самый разный материал из других предметов (учебники географии, истории, физики и др.).

Раздел 3. Работа с диаграммами обычно вызывает интерес у всех учащихся. Особенно полезными при изучении статистических зависимостей оказываются диаграммы рассеивания. От ученика требуется:

• уметь читать готовые диаграммы, извлекая из них нужную информацию;

• строить по имеющимся статистическим данным диаграммы заданного вида;

• самостоятельно выбирать наиболее подходящий для представления указанных данных тип диаграммы.

Тема III.

Раздел 1. Выборочный метод лежит в основе всех реальных статистических исследований, а с генеральной совокупности начинается любой курс статистики. Необходимо рассмотреть два типа генеральных совокупностей:

• множества реальных объектов;

• множества случайных опытов или явлений.

Учащиеся должны составить представление о случайной выборке как случайном выбранном подмножестве объектов генеральной совокупности. Полезно обсудить возможные механизмы выбора в различных реальных ситуациях. С этими механизмами связано понятие репрезентативности.

Ещё один момент, на котором стоит остановиться - переход от случайной выборки к числовому ряду. В любых статистических исследованиях каждый объект или явление заменяются в них набором числовых характеристик.

Раздел 2. Упорядочение данных лежит в основе любой автоматической обработки данных и является первым шагом такой обработки. В статистике этому шагу соответствует переход от выборки к ранжированному ряду. Полезно обсудить различные методы упорядочивания массивов.

Раздел 3. Необходимость в группировке данных возникает в том случае, когда требуется наглядно представить распределение частот для признака, значения которого в выборке почти не повторяется.

В статистике в связи с этим вводят понятие дискретного и непрерывного признака. Учащиеся должны понимать, что необходимость в группировке возникает именно для непрерывных признаков.

Раздел 4. При рассмотрении полигонов нужно понимать, что "промежуточные" значения полученной кусочно-линейной функции не имеет смысла. Поскольку рассматриваемый признак меняется дискретно, то мы имеем дело с графиком функции, областью определения которой является дискретный набор точек. Соединение этих точек отрезками служит лишь для повышения наглядности графика.

При построении гистограмм необходимо обратить внимание, что высота каждого столбика выбирается так, чтобы его площадь равнялась относительной частоте. Это требование вводится для того, чтобы сумма площадей всех столбиков на диаграмме равнялось 1.

Тема IV.

Раздел 1. Умение построить на основе большого объема данных несколько числовых характеристик, вмещающих в себя основные сведения о поведении всей выборки в целом, а также умение правильно применить эти сведения на практике - следующая ступень в изучении математических методов обработки данных.

Средние характеристики несут наиболее важную часть информации о поведении числового ряда.

Мотивированные учащиеся могут познакомиться с некоторыми простейшими свойствами среднего арифметического, которые приводятся в задачах. Речь идет, прежде всего, о линейности: при сдвиге или умножении всех членов ряда на одно и то же число среднее арифметическое сдвигается и умножается на то же самое число.

Рассмотрение моды и медианы должно продемонстрировать другие подходы к определению среднего. Мода отличается от других характеристик тем, что может быть введена и для нечисловых признаков. При вычислении медианы необходимо обратить внимание на разные способы ее определения при четном и нечетном количестве чисел. Наиболее характерным свойством медианы является ее устойчивость к изменению отдельных чисел ряда.

После введения всех средних характеристик нужно обязательно обсудить с учащимися их характерные свойства и содержательный смысл.

Раздел 2. Вычисление средних по таблице частот - вопрос чисто технический. Типичной ошибкой при вычислении среднего арифметического или медианы является игнорирование частот и вычисление средних только по столбцу различных значений, полученных в выборке.

Раздел 3. При анализе числового ряда нельзя ограничиваться только его средними характеристиками. Характеристики разброса или рассеяния зачастую несут не менее важную информацию, чем средние. Можно после обсуждения примеров из учебника попросить учащихся вспомнить самостоятельно ситуации, в которых информация о разбросе числовых данных оказывается не менее ценной, чем их средние характеристики (разброс температуры в течение суток, артериального давления у пациентов, зарплат на предприятии и т. д.).

При обсуждении вопроса о выборе средней мере разброса желательно, чтобы учащиеся самостоятельно открыли, что средний разброс данных вокруг среднего арифметического равен нулю. Сильных учащихся можно попросить доказать это свойство для общего случая.

Раздел 4. Подсчет характеристик разброса по таблице частот не должен вызывать особых затруднений. Стоит обратить внимание на технологию "ручного" счета: полезно достроить заданную таблицу частот столбцом, в котором будут найдены квадраты исходных чисел, затем вычислить среднее арифметическое квадратов и среднее арифметическое исходных числе, после чего вычислить дисперсию по формуле.

Тема V.

Раздел 1. Умение выявить статистическую и корреляционную зависимость. Понимать их отличия. Знакомство с задачами теории корреляции.

Раздел 2. Нахождение уравнения регрессии. Оценка тесноты связи. Построение линий регрессии.

Календарно-тематическое планирование

урока

Тема урока

Количество часов

Структура занятий

1

Введение в статистику

1

Информация учителя о содержании курса, ее разделы, история создания, место в окружающем мире.

2

Статистические характеристики: среднее арифметическое, размах.

2

Информация учителя о статистических характеристиках: среднем арифметическом, размахе. Практикум по решению задач практического содержания.

3

Статистические характеристики: медиана, мода.

2

Информация учителя, решение задач на применение статистических характеристик.

4

Практический смысл статистических характеристик. Сбор и группировка статистических данных. Группировка информации в виде таблиц.

3

Информация учителя, обобщение и систематизация знаний по теме. Выдача групповых заданий.

5

Гистограммы большого распределения информации

3

Информация учителя. Решение задач на построение гистограмм.

6

Полигон - иллюстрация статистической информации.

3

Информация учителя. Деловая игра.

7

Основные типы задач на применение статистических характеристик.

3

Практикум по решению задач.

8

Решение задач из раздела «Математическая статистика в жизни нашего класса».

2

Вступительное слово учителя. Деловая игра по решению проблем: заболеваемости учащихся класса, о посещении кружков, секций, об успеваимости и т. д.

9

Решение задач из раздела «Математическая статистика в жизни нашей школы»

2

Информация учащихся о школьных проблемах.

Делова игра.

10

Дополнительные числовые характеристики выборки.

3

Информация учителя, систематизация знаний, практикум решения задач.

11

Экономические диаграммы.

Решение задач из раздела «Для будущих экономистов»

4

Вступительное слово учителя о проблемах исследования экономики. Деловая игра.

12

Корреляционный анализ. Линии регрессии.

2

Информация учителя, решение задач.

13

Урок контроля знаний.

1

Самостоятельная работа по всем разделам.

Литература

1. Агапов, Г.И. Задачник по теории вероятностей. [Текст] / Г.И. Агапов - М.: Высшая школа, 1986. - 284 с.

2. Асриев, А.В. Практикум по статистическому моделированию на ЭВМ. [Текст] / А.В. Асриев, А.И. Кибзун - М.: МАИ, 1989. - с. 243

3. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей. [Текст] / Е.С. Вентцель - М.: Наука, 1969. - 312 с.

4. Вентцель, Е.С. Прикладные задачи теории вероятностей. [Текст] / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - М.: Радио и связь, 1983. - 230 с.

5. Войтенко, М.А. Руководство к решению задач по теории вероятностей: Учебное пособие. [Текст] / М.А. Войтенко, А.И. Карасева. - М.: ВЗФЭИ, 1998.- 218 с.

6. Гаврилин, А. Т. Задачи по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных процессов. Методическая разработка для студентов дневного отделения радиофизического факультета. [Текст] / А. Т. Гаврилин, О. Н. Репин, И. П. Смирнов - Горький: ГГУ, 1983. - 300 с.

7. Гихман, И. И. Введение в теорию случайных процессов. [Текст] / И. И. Гихман, А. В. Скороход - М.: Наука, 1969. - 390 с.

8. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. [Текст] / В.Е. Гмурман- М.: Высшая школа, 1998. - 403 с.