Учителю
Конспект по математике на тему 'Построение сечений многогранников'

Конспект по математике на тему 'Построение сечений многогранников'

Автор публикации: Ефремова Л.И.

Дата публикации: 25.11.2015

Краткое описание:

предварительный просмотр материала

Задачи на построение сечений

(геометрия 10 класс; авторы учебника: Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др.) 2часа

Цели и задачи урока:

вести понятие сечения многогранника плоскостью
повторить способы задания плоскости, аксиому пересечения плоскостей и теорему принадлежности прямой и плоскости
показать решение задач на построение многогранника плоскостью, проходящей через три заданные точки, среди которых есть две, лежащие в одной грани
отработать умения построения сечений
формировать навыки исследовательской работы; в том числе умения синтезировать и анализировать, обобщать, выделять главное
формирование специальных умений и навыков, в том числе навыков использования математического языка.
развитие технического, логического, образно-пространственного мышления учащихся.
воспитание культуры графического труда.

Материалы и оборудование:

Рабочая тетрадь.
Компьютер.
Ручка, карандаш, резинка.
Раздаточный материал.
Проектор
«Живая математика»

Педагогические средства для решения поставленных задач:

Тип урока: комбинированный, закрепление знаний.

Для повышения эффективности урока и подачи материала в более доступной динамичной форме, использована слайдовая презентация

Для закрепления знаний материала применены приемы фронтальной работы со слайдом, задана самостоятельная проблемная работа по построению сечений многогранников, стимулирующая - саморазвитие учащихся и мотивирующая учащихся на изучение темы «Сечения многогранников» (задача ЕГЭ).

Ход урока

1. Организационный момент

2. Проверка домашнего задания

(Фронтально, ответы на доске.)

3. Актуализация прежних знаний (повторение аксиом планиметрии, стереометрии и теорем о существовании плоскости, многогранники и их элементы), методы построения сечений.

Учитель: давайте выясним, какие фигуры должны быть заданы, чтобы можно было говорить о плоскости сечения.

Ученики перечисляют способы задания плоскостей.

Учитель: выделим только один из этих способов задания плоскости с помощью трех точек, не лежащих на одной прямой. Во всех задачах, которые мы будем решать, будет дан многогранник и три точки, определяющие секущую плоскость. Нужно будет построить сечение, т.е. показать пересечение секущей плоскости с гранями многогранника. Какая фигура является пересечением плоскости сечения и плоскости какой-то грани, если известно, что они имеют одну общую точку?

Ученик: пересечением двух плоскостей, имеющих общую точку, является прямая ( по аксиоме пересечения плоскостей)

Учитель: итак, наша задача будет состоять в том, чтобы построить прямые пересечения секущей плоскости с плоскостями граней. А сколько точек нужно знать, чтобы такие прямые построить?

Ученик: для каждой прямой нужно знать две точки, так как если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости (по теореме принадлежности прямой и плоскости).

Учитель: итак, всякий раз нам нужно будет найти в плоскостях граней многогранника по две точки, принадлежащие сечению.

Решим несколько подготовительных упражнений:

Устно: 1)найдите точки, лежащие в одной грани (МN, PL ,RM, RP);

2)найдите линию пересечения граней: ВВ₁С₁С и АВСД ( задней и нижней граней),

ВС

ДД₁С₁С и АА₁Д₁Д (правой боковой и передней); ДД₁

АА₁В₁В и А₁В₁С₁Д₁ ( левой боковой и верхней); А₁В₁

3)Слайд (заполнить таблицу)

пр

ВСС₁

АВС

ДСС₁

АВВ₁

А₁В₁С₁

МN

параллельны

пересекаются

Пересекаются в точке N

Пересекаются

Пересекаются в точке М

АВ

Пересекаются (перпендикуляр.)

Лежит в ней

параллельны

Лежит в ней

параллельны

СС₁

Лежит в ней

Пересекаются

(перпендик.)

Лежит в ней

параллельны

пересекаются

4.Закрепление навыка построения сечений и запись алгоритма .

Задача. Дано: АВСДА₁В₁С₁Д₁-параллелепипед; М,P,К - точки, определяющие секущую плоскость; точки М ,Р,К принадлежат соответственно ребрам АА₁, ВВ₁, ДС.

Построить: сечение плоскостью, проходящей через эти точки.

В процессе построения можно задавать следующие вопросы:

1)Можно ли построить пересечение секущей плоскости с какой-нибудь гранью?

Можно провести прямую МР, так как точки М и Р принадлежат одной грани.

2)По условию задачи дана еще одна точка К. В каких гранях она лежит?

Строим точку Е, которая является пересечением прямых АВ и МР.

3) Будет ли прямая ЕК пересечением секущей плоскости с нижней гранью?

Да

4)О; О = ЕК ∩ АД , 5) ОМ , 6) КN // МР 7)РN

8)РМОКN - искомое сечение

5. Обобщение полученных знаний при построении сечений куба (слайд).

Работа в парах постоянного состава.

1.На рисунке 1 и 2 даны точки: М, Р, К. Построить сечение плоскостью, проходящей через эти точки.

Краткое решение по рис.1:1) МР, 2)РК, 3)точку Е, Е= ВС ∩ РК, 4) МЕ, 5)точку N , N= МЕ ∩ДС, 6) NК, 7) РМNК - искомое сечение.

2.краткое решение по рис.2:1)МР, 2) РК, 3) точку Е, Е=DD₁ ∩M Р, 4) ЕК, 5) точку N,

N=ЕK ∩CС₁, 6)NQ//MP, 7) MQ 8)MPKNQ - искомое сечение

рис.1

рис.2

По учебнику: №80;№ 82(а,б,в), №83(а),№84,№75,№87, стр. 31-32

№82(а,б,в)

Дано: АВСДА₁В₁С₁Д₁ - параллелепипед, точка М €(АА₁В₁В)

а) Построить : сечение плоскостью, проходящей через т. М, параллельно плоскости АВСД.

Построение.

1)КР // АВ, М€КР. 2) КQ //AD 3)QN //DC 4) KQ //AD.

б) Построить сечение плоскостью, проходящей через точку М, параллельно плоскости ВВ₁С₁С

XYFE - искомое сечение

в) Построить сечение плоскостью, проходящей через точку М, параллельно плоскости ВДД₁ (XERT - искомое сечение)

№83(а) и №84 рассмотреть в парах постоянного состава. Для тех, кто выполнит раньше свое задание, решить № 75.

№ 83(а)

Краткое решение:

МК, МК // СС₁, О€МК
МС₁
КС
МКСС₁ - искомое сечение

№84

Краткое решение:

1)В₁Д₁; 2)Д₁О; 3) ОК, ОК //В₁Д₁; 4)КВ₁; 5) В₁Д₁ОК - искомое сечение

№75

Решение.

(LKN) // (EFO), так как EF //LK (ЕF - средняя линия треугольника LKM),

FO //KA (FO- средняя линия треугольника KMA), EF × FO,LK × AK ( согласно признаку параллельности двух плоскостей)

S_LKA : S_EFA= k² ,k=LK : EF=2

24 : S_EFA=4 , S_EFO_{=24:4 = 6(см}²) Ответ: _6см²

6. Применение полученных знаний при решении задачи из сборника ЕГЭ (Пример 12, 2005 год - учебно-тренировочные задания для подготовки к ЕГЭ). На уроке рассматривается только построение сечений. Рассмотрим задачу:

Дан куб ABCDA1B1C1D1. Через точки С, D₁ и середину ребра АА₁ проведена плоскость. Найдите площадь сечения, если ребро куба равно 4.

7. Обсуждение и проверка полученного результата (слайд )

На данном этапе усиливается мотивация изучения данной темы, как необходимость для успешной сдачи ЕГЭ.

Самостоятельная работа

Критерии оценки знаний:

на «3» - построить сечение на бумажном носителе без описания;
на «4» - построить сечение с пошаговым описанием построения
на «5» - построить сечение с полным обоснованием (пошаговым описанием построения и ссылками на аксиомы и теоремы)

Вариант -1

Вариант -2

8. Домашнее задание: п.14, №74, № 83(б), №85.

задача ЕГЭ: найти площадь сечения.

Подведение итогов урока.

⇧

⇩