Материалы к уроку 'Тождественные преобразования логарифмических выражений' (10-11 класс)

ЕГОРОВА ВИКТОРИЯ ВАЛЕРЬЕВНА

Учитель математики

высшей квалификационной категории

ТЕМА: «ТОЖДЕСТВЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ»

Знания и навыки, которыми должны овладеть учащиеся после изучения данного урока:

• знать определение логарифма числа, основное логарифмическое тождество, свойства логарифмов;

• уметь выполнять преобразования выражений, содержащих логарифмы, вычислять логарифмы.

Литература:

1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2001.

2. Кочагин В.В., Кочагина М.В., Интенсивный курс подготовки к ЕГЭ. - М.:Эксмо, 2009.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Алгебраический тренажер: Пособие для школьников и абитуриентов. - М.:Илекса, 2005.

4. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. - М.: Просвещение, 2001.

План урока:

1. Немного истории.

2. Определение логарифма и основное логарифмическое тождество. Решение примеров.

3. Натуральный и десятичный логарифмы. Решение примеров.

4. Формула логарифма произведения двух положительных чисел. Решение примеров.

5. Формула логарифма частного двух положительных чисел. Решение примеров.

6. Формула логарифма степени. Решение примеров.

7. Формула перехода к новому основанию. Решение примеров.

8. Формула . Решение примеров.

9. Решение более сложных примеров.

10. Подведение итогов.

11. Контрольное тестирование.

Ход урока:

1) Логарифм - это греческое слово, которое состоит из 2-х слов: "логос"- отношение, "аритмос"- число. Значит, логарифм есть число, измеряющее отношение. В публикации тысяча шестьсот четырнадцатого года сообщалось, что Непер изобрёл логарифмы. Позже им были составлены логарифмические таблицы, которые теперь известны нам как таблицы Брадиса. Менее чем за одно столетие таблицы распространились по всему миру и сделались незаменимым вычислительным средством. В дальнейшем они были, как бы встроены в удобное устройство, чрезвычайно ускоряющее процесс вычисления - логарифмическую линейку, которой пользовались до семидесятых годов двадцатого века.

Приложение 1.

2) Логарифмом положительного числа b по основанию a, причём а больше нуля и не равно единицы, называется показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b.

Это равенство, выражающее определение логарифма, называется основным логарифмическим тождеством.

Ц

Обратите внимание на основание степени и основание логарифма - они одинаковы.ОР 1

П

Основание степени и основание логарифма семнадцать, значит по основному логарифмическому тождеству значение выражения равно трём.

оработаем устно:

ЩЕЛЧОК

Одна вторая равна нуль целых пяти десятым, значит выражение равно арифметическому квадратному корню из пяти.

Приложение 2.

Равенство означает, что

Из определения логарифма получаются следующие важные равенства:

Например:

Приложение 3.

Перейдем к заданиям ЕГЭ:

Приложение 4.

3) Для логарифма по основанию десять существует специальное обозначение и название десятичный логарифм.

Логарифм по основанию е называется натуральным логарифмом.

Например,

4) Из определения логарифма вытекают следующие его свойства. Все свойства формулируются и доказываются только для положительных значений переменных, содержащихся под знаками логарифмов.

Логарифм произведения двух положительных чисел по основанию а равен сумме логарифмов этих чисел с тем же основанием.

ЦОР 2

Например,

Задание 1.

Задание 2. Упростите выражение

Воспользуемся решением предыдущего примера. Заменим

Обратите внимание на то, что логарифм в квадрате, поэтому и сумму необходимо возвести в квадрат. Применяя формулу квадрата суммы, раскроем скобки. Приведём подобные слагаемые.

5) Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.

Ц

Обратите внимание на основание степени и основание логарифма - они одинаковы.ОР 3

Рассмотрим применение этой формулы на примере:

Задание 1. Найдите значение выражения , если

Задание 2. Найдите значение b по его логарифму

6) Логарифм степени по основанию а, равен произведению показателя степени на логарифм по тому же основанию.

ЦОР 4

Например,

Задание 1. Вычислите , если

Упростим выражение

Формула

называется формулой перехода к новому основанию.

Задание 1. Выразить через логарифм с основанием 2.

Задание 2. Вычислите

ЦОР 5

8)

ЦОР 6

Например,

Задание 1. Вычислите

Задание 2. Вычислите

9) К логарифмическим преобразованиям можно приступать, только в том случаи, если вы запомнили все свойства логарифмов. Повторив их, рассмотрим задания на преобразования логарифмических выражений с другой стороны.

Для преобразования суммы или разности логарифмических выражений иногда достаточно использовать определение логарифма, а чаще всего свойства логарифма произведения или частного.

Задание 1. Вычислите

Решим двумя способами.

1 способ, используя определение логарифма:

2 способ, опираясь на свойство логарифма частного:

Задание 2. Найдите значение выражения

Применим сначала формулу логарифма произведения, затем определение логарифма.

Основное логарифмическое тождество используется при преобразовании выражений, содержащих логарифм в показателе степени. Идея таких операций заключается в получении равных основания степени и основания логарифма.

Иногда необходимо преобразовывать выражение по свойствам логарифма и по свойствам степени, так же можно легко перейти от одного основания к другому, используя формулу перехода. В других случаях следует применять несколько свойств.

Задание 3. Вычислите

Задание 4. Найдите значение выражения

Задание 5. Найдите значение выражения

Задание 6. Представьте в виде разности логарифмов

Наибольшую трудность представляют преобразования логарифмических выражений, находящихся под радикалом. В процессе преобразований приходится рассматривать модули логарифмических выражений, для раскрытия которых требуется сравнить иррациональные числа или рациональное и иррациональное число. Будем действовать последовательно. Рассмотрим выражение, стоящее под внутренним радикалом.

Подставим в исходное выражение.

Раскроем модуль, учитывая, что знаменатель положителен, а числитель отрицателен.

Меняем знаки в числителе и упрощаем.

Получим исходное выражение, равное разности логарифмов.

Такие и подобные примеры вам могут встретиться при решении заданий Единого Государственного экзамена.. Следует отметить, что с преобразованием логарифмических выражений можно встретиться и при решении уравнений и неравенств или исследовании функций, поэтому в неявном виде они могут присутствовать и в заданиях групп В и С.

10) Подведение итогов. Вопросы:

1. Логарифм по основанию 10 называется

• основным логарифмом

• главным логарифмом

• натуральным логарифмом

• десятичным логарифмом

2) Какие значения может принимать x в выражении

• Строго положительные

• Неотрицательные

• Неположительные

• Строго отрицательные

3) Чему равен

• a

• 1

• 0

• Значение не определено

4) Чему равен

• a

• 1

• 0

• Значение не определено

5) Укажите соотношение, которое верно для всех x ≠ 0.

6) Укажите верное соотношение для формулы перехода к новому основанию.

7) Укажите верное равенство при