Разработка урока по геометрии 10 класс

Урок 9

Тема: «Теоремы Чевы и Менелая».

Создать условия для того, чтобы учащиеся могли доказать и научиться применять теоремы Чевы и Менелая

Основное содержание темы, термины и понятия

Треугольник, пропорциональные отрезки в треугольнике, теорема Чевы, теорема Менелая.

Планируемый результат

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Предметные: усвоение систематических знаний о треугольниках, формулировать и доказывать теоремы Чевы и Менелая и использовать их при решении задач

Познавательные: умение понимать и использовать математические средства наглядности, для иллюстрации, интерпретации, аргументации.

Регулятивные: умение самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей.

Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге, приводят примеры.

Личностные: формирование целостного мировоззрения, соответствующего современному уровню развития науки и общественной практики.

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф.); парная (П.); индивидуальная (И.)

Образовательные ресурсы

1. 1. Геометрия. 10-11 классы / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина (М.: Просвещение, 2015).

I этап. Актуализация опорных знаний.

Цель: выявить затруднения учащихся

(Ф).

I. Проверить решение домашней работы. К доске приглашается учащийся.

II этап. Лекция

Цель: систематизировать теоретические знания при доказательстве теорем Чевы и Менелая

(Ф)

Чева Джованни (1648-1734 гг.) - итальянский инженер - гидравлик и геометр. Теорема, носящая его имя, опубликована в 1678 году.

Менелай Александрийский (1 - 2 вв. н.э.) - греческий математик и астроном.

Теорема Менелая. Если прямая пересекает стороны или продолжения сторон BC, CA и AB треугольника ABC соответственно в точках A₁, B₁, C₁, то имеет место равенство

Доказательство. Проведём CD || AB. Рассмотрим треугольник A₁BC₁ и

треугольник A₁CD.

Угол DA₁C=углу C₁A₁B (вертикальные)

Угол D = углу C₁ (накрест лежащие при CD || AC₁ и секущей C₁D)

Следовательно, треугольник A₁BC₁ подобен треугольнику A₁CD. Стороны подобных треугольников пропорциональны

Рассмотрим треугольник B₁AC₁ и треугольник B₁CD

Угол DB₁C = углу AB₁C₁ (Вертикальные)

Угол D = углу C₁ (Накрест лежащие при CD || AC₁ и секущей C₁D)

Следовательно, треугольник B₁AC₁ подобен треугольнику B₁CD. Следовательно,

У нас получилось два равенства и

Перемножим почленно эти равенства: . Получим

Воспользуемся свойством дробей:

(Например )

Имеем . Теорема доказана.

Доказательство остаётся в силе и в том случае, когда все три точки A₁, B₁, C₁ лежат на продолжениях сторон треугольника ABC.

Прежде чем рассмотреть обратную теорему, сделаем одно уточнение. Пусть ABи CD - ненулевые коллинеарные векторы. Если, то будем писать: . Значит, число k равно отношению длин векторов и, взятому со знаком «плюс», если векторы сонаправлены, и со знаком «минус», если они направлены противоположно. При таком соглашении полученное выше равенство принимает вид:

Докажем обратную теорему.

Пусть на прямых BC, CA, AB, определяющих треугольник ABC, даны точки A₁, B₁, C₁. Если выполняется равенство , то эти точки лежат на одной прямой.

Допустим, что выполнено равенство , и пусть прямая A₁B₁ пересекает прямую AB в точке C₂. Согласно прямой теореме, . Сравнивая это соотношение с данным, получим, что .

Прибавим к обеим частям равенства 1. , получим: т.е. , откуда, т.е.C₁ и C₂ совпадут.

Теорема Чевы

Теорема. Пусть на сторонах BC; CA; AB треугольника ABC или их продолжениях взяты соответственно точки A₁; B₁; C₁. Прямые AA₁; BB₁; CC₁ пересекаются в одной точке или параллельны тогда и

только тогда, когда

Доказательство. Пусть прямые AA₁; BB₁; CC₁ пересекаются в точке O, лежащей внутри треугольника (рисунок а) или вне ABC (рисунок б).

Применим теорему Менелая к BCC₁ и секущей AA₁, получим:

Для треугольника ACC₁ и секущей BB₁ получим:

Перемножим почленно эти равенства

Что и требовалось доказать.

Замечание. Если AA₁, BB₁, CC₁ параллельны, то доказательство проводится с использованием теоремы об отрезках, отсекаемых на сторонах угла параллельными прямыми.

Для решения задач чаще применяется обратная теорема.

Обратная теорема Чевы. Пусть на сторонах BC; CA; AB треугольника ABC или их продолжениях взяты соответственно точки A₁; B₁; C_1. Если выполняются равенство , то прямые AA₁; BB₁; CC₁ пересекаются в одной точке или параллельны.

Доказательство. Пусть AA₁BB₁=O. Проведём прямую CO, С₂=COAB.

По теореме Чевы . Учитывая условие имеем: , откуда =k, =k. Вычтем второе равенство из первого. По свойству векторов получим =k=

= - k.

Т.к. k -1 (иначе бы, но точки A и B не совпадают), следовательно, , т.е. точки C₁,C₂ совпадают. Но это и означает, что прямые AA₁; BB₁; CC₁ пересекаются в одной точке.

Аналогично доказывается, что если AA₁||BB₁, то и CC₁||BB₁.

III этап. Решение задач.

Цель: уметь применять доказанные теоремы при решении задач.

(И/Ф)

Рассмотрим задачи на применение теоремы Менелая.

Задача №1:

Рассмотрим ABN и секущую CM (точки пересечения M, K, C). По теореме Менелая: . т.к. , , тогда , то , следовательно,

Ответ: =

IV этап. Итог урока. Рефлексия

(Ф/И).

- Какие теоремы доказали на уроке?

- Что вызвало наибольшее затруднение?

(И). Домашнее задание: выучить теоремы п. 95, 96 учебника на стр.206-209, решить № 851,852