Учителю
Диагностический инструментарий прикладного курса по математике «Интегральное исчисление и его приложения для решения задач» для учащихся 11 класса

Диагностический инструментарий прикладного курса по математике «Интегральное исчисление и его приложения для решения задач» для учащихся 11 класса

Автор публикации: Фролова Т.Н.

Дата публикации: 26.12.2015

Краткое описание:

предварительный просмотр материала

ГУ «ОТдел образования акимата города костаная»

Диагностический инструментарий

прикладного курса по математике

«Интегральное исчисление и его приложения для решения задач»

для учащихся 11 класса

Учитель математики Фролова Т.Н.

Костанай

2015

Пояснительная записка

Программа школьного курса «Алгебра и начала анализа» за 11 класс содержит вопросы интегрального исчисления. Рассматривается неопределённый интеграл, правила интегрирования и нахождение первообразной для данной функции. Учащихся знакомят с формулой Ньютона-Лейбница для нахождения площади криволинейной трапеции. Но в заданиях ЕНТ приведено множество задач на нахождение площадей фигур, ограниченных линиями, для решения которых применяется интегральное исчисление. Задачи стереометрии также можно решить, применяя определённый интеграл для вычисления объёма тела вращения. Поэтому, я считаю, что учителю необходимо уделить внимание вопросам приложения интегрального исчисления для решения задач планиметрии и стереометрии.

Главная цель - научить применять математический аппарат к решению разнообразных задач, связанных с интегральным исчислением.

Предлагаемый тренажер адресован учащимся 11 классов , изучающих алгебру и начала анализа в объёме программы средней школы для успешного прохождения единого национального тестирования.

Основное содержание составляют задачи для самостоятельного решения, сортированные по темам и систематизированные по методам решения и уровню сложности. Все задачи из сборника имеют ответы.

Данный сборник диагностических упражнений является дополнением к программе прикладного курса по теме «Интегральное исчисление и его приложения для решения задач». В сборнике подобран материал тестовых заданий по основным вопросам темы и в соответствии с содержанием учебного материала.

При составлении диагностического инструментария по ЕНТ приведены задания к единому национальному тестированию прошлых лет. Для самопроверки даны ключи к тестам.Теоретические сведения и необходимые формулы в сборнике не приводятся. Предполагается, что учащиеся найдут их в методическом пособии данного прикладного курса.

Содержание

I. Нахождение общего вида первообразной для функции .....................................5

II. Нахождение первообразной, график котоой проходит через

заданную точку...............................................................................................................6

III. Вычисление определенного интеграла.................................................................7

IV. Решение уравнений..................................................................................................9

V. Решение неравенств..................................................................................................9

VI. Вычисление площади фигуры, ограниченной линиями.....................................10

VII. Нахождение объёма тела, полученного при вращении вокруг оси

абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями.......................................11

VIII. Тематические тесты по ЕНТ (прошлые годы).....................................................13

Найти общий вид первообразной для функции:

1) 2)

3) +3cos 64)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11)

12) +4 13)

14) 15)

16) (x+1)(x-1)(x+2) 17)

18) 2 19)

20) 21)

22) 23)

24) 25)

26) 27)

28) 29)

30)6

Ответы

F(x) = - 16) F(x) =
F(x) =tg5x 17) F(x) =
F(x) = -10+ 18) F(x) =
F(x) = - 19) F(x) =
F(x) = 20) F(x) =
F(x) = 21) F(x) =
F(x) = 22) F(x) =
F(x) = 23) F(x) =
F(x) = 24) F(x) =

10)F(x) = 25) F(x) =

11) F(x) = 26) F(x) =

12) F(x) = 27) F(x) =

13) F(x) = 28) F(x) =

14) F(x) = 29) F(x) =

15) F(x) = 30) F(x) =

Для заданной функции найдите первоообразную F(x), график которой проходит через данную точку (

=2;( 2)

3) = 4 4)

5) = 6) = 8

7) =

Ответы

1) F(x) = 2) F(x) =-

3) F(x) = -35 4) F(x) =4

5) F(x) = 6) F(x) =2

7) F(x) =-

Вычислить интегралы:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13)

14) 15)

16) 17)

18) 19)

20) 21)

22)23)

24)25)

26) 27)

28) 29)

30)

Ответы

1)0 11) 21)-

2) 12) 1 22) 4

3) 2 13) 1- 23)

4) 14) 24) 2,5

5) 14 15) 25)

6) 16) 3+ 26)

7) 2 17) 27)

8) 6 18) 28)

9) 2 19) 38,4 29)

10)-6 20) 30)

IV. Решите уравнения:

1) 2)

3) y

4) =

5)=

Ответы

-4;3
-2;-1

V. Pешитe неравенства:

1) 2)

3) 4)

Ответы

VI. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

.
.
.
;.
;
;
F(x), зная, что F(0)=1.
и прямой
;
; ;
; ;
;
;
;
;

Ответы

1) 1 8)17,5-6 15) 22)

2) 1,5 9) 16) 5 23) 6

3) 10) 17) 24)

4) 2 - 11) 4,5 18) 25) 13,5

5) 1 12) 19) 26) 9

6) -1 13) 20) 9 27) 9

7) 14) 21) 48 28) 9

VII. Найдите объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

;
; ;
;
; ;
;
; ;
.
; ;.
.

Ответы

1) 5) 9) 19,2 13)

2) 16 6) 10) 14)

3) 7) 11) 15) 2

4) 8) 69,6 12) 16) 32

17)

VIII. Тематические тесты по ЕНТ

Первообразная. Интеграл

(2004год)

1. Вычислите интеграл:

А) ; В) - ; С) ; Д) ; Е) -

2. Найдите общий вид первообразной для функции f(x) =

A) 2x + ln x + C; B) + ln x + C; C) x + 2 ln x + C; D) + 2ln x +C; E) x + lnx +C

3. Найдите первообразную для функции у = - 3х + 1

А) х + 1.5х² + С; В) х - х² + С; С) - х - х² +С; Д) х² - х + С; Е) -х + х² + С

4. Вычислите интеграл

А) ; В) ; С) ; Д) ; Е)

5. Вычислите:

А) 3; В) 2; С) 2/3; Д) 0,3; Е) 1/3

6. Найти общий вид первообразной для функции f(x) =

A) ; B) ; C)

D) ; E)

7.При каком значении, а выполняется равенство: dx= -

а=2 или а = -.
а=-3.
а=2 или а = -.
а = .
а =2 или а= - 2

8. Найдите первообразную функции f(x)= cos5xcos2x+sin5xsin2x.

3+C.
+C.
+C.
- +C.
+C.

9. Найдите первообразную функции f(x)=2(2x+5)⁴.

10.Найдите площадь фигуры ограниченной кривыми у=1-х² и у=0.

10/3.
5/3.
2,5.
4/3.
7/3.

11.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=6x, y=0, x=1 и x=2.

12.Найдите общий вид первообразных F(x) для функции f(x)= на промежутке

(0,5; +∞).

F(x) =
F(x) =
F(x) =
F(x) =
F(x) =

13.Вычислите: dx

4.
4.
- 4.

14.Вычислите площадь фигуры, которая ограничена графиком функции у=0,5 х²+2х

и осью абсцисс.

5.
.
5.
5,3.
0,3.

15.Вычислите интеграл

16.Найдите площадь фигуры ограниченной кривыми у=1-х² и у=0.

А)10/3.

В)5/3.

С)2,5.

Д)4/3.

Е)7/3.

17.Найдите первообразную функции f(x)=2(2x+5)⁴.

А)

В)

С)

Д)

Е)

18. Вычислите интеграл:

19. Вычислите интеграл:

20.Найдите объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями

21.

21. Найдите первообразную функции f(x) = 2(2x + 5)⁴

(2x + 5) ⁶ + С.
4(2x + 5) ³ + С.
(2x + 5) ⁵ + С.
(2x + 5) ³ + С.
(2x + 5) ⁵ + С.

22. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2х, у = 0, х = 1 и х = 3.

А) 6; В) ⅛; С) 8; D) 4; Е) ¼

23. Вычислите интеграл

A) 27; B) 21; C) 24; D)23; E) 18

24. Найдите производную функции

A) ; B) ; C) ; D) ; E)

25. Найдите производную функции: F(x) = e³^x

A) 3x²e^x3; B) 3e; C) x⁴; D) x³e^x3; E) - 3e;

Ключи

Первообразная. Интеграл

(2005)

1. Вычислите:

A) 1; B) 3; C) 7; D) -3; E) -1

2. Найти общий вид первообразных F(x) для функции f(x) = на промежутке

(0,5; ∞).

A) F(x) = + C; B) F(x) = + C

C) F(x) = + C; D) F(x) = + C

E) F(x) = + C .

3. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 9х - х² и касательной к этому графику в его точке с абсциссой 1 и осью ординат.

A) ; B) 1; C) ; D) ; E)

4. Найдите общий вид первообразной для функции f(x) =

A) 5() + С; В)

C) + С D) () + С; E) + С

5. Вычислить интеграл dx

A) 0; B) ; С); D) ; E)

6. Найти площадь фигуры, заключенной между линиями у = 0, у = , х = 0, х = 3.

A) ln7; В); C) 1; D) ln3; E) 5

7. Вычислите интеграл:

A) 13; В) 13 C) ; D) ; E) 20

8. Вычислите интеграл: 1)³dx

A) 34; B) 26; С)30; D) 28; E) 32

9. При каких a верно неравенство

A) (-); B) (); C) (-∞;); D) (-∞;); Е) )

10. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=-x³, y=, x=1

A) 2; B) ; C) 1; D) ; E) 1

11. Вычислите интеграл:

A) 8; B) 22; С) 20; D) 20; E) -20

12. Найдите объем фигуры, полученной вращением криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=, x=0 и x=1, y=0 вокруг оси абсцисс

А); B); C) ; D) ; E)

13. Найдите первообразную функции f(x)=cos5xcos2x+sin5xsin2x

A) - sin3x+C; B) 3sin3x+C; C) -cos3x+C; D) cos3x+C; Е)

14. Вычислите интеграл:

A) -; B) ; C) 1; D)0,5; E) -0,5

15. Вычислите интеграл.

А) В) ; С) 0; D) ; Е)

16. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=e⁵^x,y=0,x=0.x=2

А) e¹⁰-1; В) 26; С) 12; D) е; Е)

17. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x², y=0, x=2

А) 4; B) 2C) 8; D) ; E) 2

18. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у=4х-х², у=5, х=0, х=3.

А) 5; В)3 ; С)6; D)4 ; Е)0

19. Найдите общий вид первообразной для функции f(x)=

А) 2B) Ln|4x + 5| + C ; С) ln|4x + l| + C ; D) 81n|4x + 1|+C ;

E) 8ln|4x + 5|+C

20. Вычислите: (x²-6x+9)dx

А) 15; В) 24; С)21; D) 18; Е) 27.

21. Найдите первообразную для функции f(x)=

А) В) (x³+1)+c; С)x; D) ; Е)

22. Вычислите интеграл .

A) ; B) - ; C) ; D) ; E) -

23. Вычислите интеграл

A) B) C) D) E)

24. Вычислить интеграл

A) B) C) - D) - E)

25. Вычислите интеграл

A) B) C) D) E) 3

26.Вычислите интеграл

1
-1

С. 2

D) -2

Е) 4

27.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у= и у=

А) ; В) ; С) D) Е)

Найдите первообразную функции f(x)=

А) -3tgx+C; В) tgx+C; С)3tgx+C D) ctgx+C Е) tgx+C

Найдите площадь фигуры, ограниченной кривым: у=х, х=1, х=3, у=0.

А) В) 26; С) 9; D) 11; Е) 8

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: у=, у=1, х=4

А) В) 3; С) 4 Е) 7

Ключ

ИНТЕГРАЛ.

(2006)

1. Вычислите:

A) ; B) ; C) 4; D) 1; E)

2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² - 5x + 3, y = 3 - x

A) ; B) ; C) 10; D) 12; E)

3. Найдите первообразную функции f(x) = 2(2x + 5)⁴

A) 4(2x + 5)³ + C; B) 8(2x + 5)³ + C; C) ; D)

4. Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = x + 2, x = 0, x = 2, y = 0

A) ; B) ; C) ; D) ; E)

5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = , х = 1, х = е, у = 0

A) 4; B) 2; C) 0; D) 3; E) 1

6. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = x² - x и осью абсцисс

A) ; B) 1; C) ; D) ; E)

7. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функции f(x) = (x - 1)² и у = 3 - х

A) 1; B) 3; C) 4; D) ; E)

8. Найдите первообразную функции f(x) = cos x + cos(-x)

A) 2sin x + C; B) -2sin x + C; С) C; D) -2cos x + C; E) x + C

9. Найти площадь четырехугольника, ограниченного прямыми , и осями координат

A) 35; B) 10; C) 15; D) 30; E) 20

10. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 4x - x², y = 5, x = 0, x = 3

A) 6; B) 4; C) 5; D) 0; E) 3

11. Вычислите интеграл

A) ; B) ; C) ; D) ; E) 0

12. Вычислите интеграл

A) ; B) ; C) ; D) ; E) 0

13. Найдите первообразную функции f(x) = 3е^3х

A) ; B) ; C) ; D) ; E)

14. Вычислите интеграл:

A) -34; B) 24; C) -22; D) 26; E) -24

15. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х² - 4х + 9, касательной к графику этой функции в точке с абсциссой х₀ = 3 и осью ординат

A) 8; B) 12; C) 4; D) 9; E) 7

16. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х - х², у = х² - х

A) ; B) 1; C) ; D) ; E) 2

17. Найдите первообразную для функции f(x) =

A) ; B)

C) ; D)

18. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = , у = 6 - х и у = 0.

A) ; B) ; C) ; D) ; E)

19. Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямыми у = 4 - х, у = 3х и осью Ох

A) 3; B) 4; C) 5; D) 6; E) 7

20. При каких значениях а верно неравенство:

A) ; B)

C) ; D)

21. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х(4 - х) и осью абсцисс

A) B) C) D) 2 E)

22. Найдите первообразную функции f(x) = 3e³^x

A) 27e^3x + C B) C) e^3x + C D) E) 9e^3x + C

23. Найдите общий вид первообразных F(x) для функции f(x) = на промежутке (0,5; +)

A) F(x) = B) F(x) = C) F(x) =

D) F(x) = E) F(x) =

24. Найдите объем фигуры, полученной вращением криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = х², х = 0 и х = 1, у = 0 вокруг оси абсцисс.

A) B) C) D) E)

25. Вычислите интеграл: ∫ (4х - 3)⁴ dx.

^0,5

A) 0 B) C) D) E)

26. Вычислите:

A) 4; B); C) ; D); E) 1

27. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х²-5х + 3, у = 3-х

А); B) 10; C) ; D)12; Е)

28. Найдите первообразную для функции

A) ; B) ; C)

D) ; E)

29. Найдите первообразную функции f(x) = 2(2х + 5)⁴.

А) 8(2х + 5)³ + С; B) (2х + 5)⁵ + С; C) (2x + 5)⁵ + C.

D) 4(2х + 5)³ + С; Е) (2х + 5)⁵ + С

30. Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = х+2, х = 0, х = 2, у = 0

A) 22; B) 22; C) 18; D) 24; E) 21

31. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у =, х=1, х= е, у=0

A) 0; B) 4; C) 2 ; D) 3 ; Е) 1

32. Найдите общий вид первообразной для функции f(x)=

A) ; B) -; C) ; D)

33. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х² - х и осью абсцисс.

A) ; B) ; C) 1; D) ; E)

34. Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = 1-х²,у = 0

A) ; B) ; C) ; D) ; E)

Интеграл.

Интеграл

(2007)

1. Найдите первообразную функции f(x) = соsx + cos(-x)

A) 2sinx + C B) -2cosx + C C) x + C D) C E) -2sinx + C

2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х² - 5х + 3, у = 3 - х

A) 10 B) 12 C) 10 D) 10 E) 8

3. Вычислите интеграл

A) B) C) 0 D) π E)

4. Вычислите интеграл

A) B) C) D) E) -

5. Найдите площадь фигуры, ограниченной кривыми у = 1 - х² и у = 0

A) B) 2,5 C) D) E)

6. При каких а верно равенство:

A) иной ответ B) а = πn, nZ C) a = +2πn, nZ D)a = πn, nZ; a = +2πn,nZ

E) a = -+2πn, nZ

7. Вычислите:

A) -4 B) 4 С) 1 D) E) 4

8. Вычислите:

A) - B) С) 1 D) E) 0

9. Найдите общий вид первообразной для функции f(x) = 1 + tg²4x

A) x+ln cosx + C B) tg4x + C С) tg4x + C D) x+ ln sinx + C E) tgx + C

10. При каких а > 0 справедливо равенство

A) B) С) D) E)

11. Вычислите интеграл:

A) -22 B) 24 C) 26 D) -34 E) -24

12. F(x) = является первообразной для f(x) = 1 на промежутке:

A) (2; - 3) B) (3; 7) C) (0; 3) D) (-1; 5) E) (0; 7)

13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х³, у = 8, х = 1

A) 7 B) 4 C) 12 D) 4 E) 3

14. Вычислите интеграл:

A) 8 B) 2 C) 4 D) 6 E) 19

15. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=x(4-x) и осью абсцисс.

A) B) 2 C) D) E)

16. При каких а верно равенство

А) В) Иной ответ С)

D) ; E)

17. Найдите первообразную функции f(x) = е^2х

А) -2е^2х + С В) 2е^2х + С С) - е^2х + С D) е^2х + С E) е^2х + С

18. Найдите первообразную функции: f(x) = 2(2x + 5)⁴.

A) (2x + 5)⁵ + C B) (2x + 5)⁵ + C C) 8(2x + 5)³ + C

D) (2x + 5)⁵ + C E) 4(2x + 5)³ + C

19. При каких значениях а верно равенство

A) -2; 2 B) C) 2 D) E)

20. Найдите общий вид первообразных для функции f(x) = sin⁴x

А) -x + - + C; В) x - + + C ;

С) x - - + C ; D) x + + + C;

Е) .

21. Вычислите интеграл:

A) 54 B) 54 C) 45 D) 0 E) 8

22. Вычислить интеграл: .

А) 32; В) 26; С) 34; D) 30; Е) 28.

23. Вычислите интеграл: .

А) ; В) - 0,5; С) 1; D) -; Е) 0,5.

24. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: у = , у = 1, х = 4.

А) 7; В) 4; С) 3; D) ; Е) 1.

25. Вычислить интеграл .

А) ; В) ; С) -; D) ; Е) -.

26. Найдите общий вид первообразных F(x) для функции f(x) = на промежутке (0,5; +∞).

А) F(x) = + C; В) F(x) = + C; С) F(x) = + C; D) F(x) = + C; Е) F(x) = + C.

27. F(x) = │3x+5│ является первообразной для f(x) = - 3 на промежутке:

А) х (-5; -1); В) х (-2; 7); С) х (-5; -2); D) х (-3; 1); Е) х (-4; 0).

28. При каких значениях а площадь фигуры, ограниченной линиями у = х³, у = 0, х = а, а > 0, равна 4?

А) 4; В) 0; С) 2; D) 3; Е) 1.

29. При каких а верно неравенство: > 0.

А) а ≠ π/2 + nπ, n € Z; В) а ≠ ± π + 2nπ, n € Z; С) а ≠ ± π/2 + nπ, n € Z;

30. Площадь фигуры ограниченной линиями у = , у = - х - 2, х = - 2 равна:

А) 1,5; В) 2; С) 1; D) 0,5; Е) 2,5.

Ключи.

Первообразная функции и её применение.

Интеграл и его применение.

(2008г.)

1. При каких значениях параметра а значение интеграла не превосходит 3

А) а В) а С) а

Д) а Е) а

2. Найдите общий вид первообразной для функций f(x)=sin⁴ x

A). B).

C) Д) -

3. Вычислите интеграл: ⁴

A) B) 0. C) . D) E) .

4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x-x2,y = x2-x

A) 2. В) . С) 1. Д) . Е).

5. При каких значениях параметра а значениях интеграла максимально

А) а =. В) а = С) а = - Д) а = . Е) а =

6. Найдите объём фигуры, полученной вращением криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = x², х= 0 и х = 1, у = 0 вокруг оси абсцисс.

А) . В) С) Д) Е)

7. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: у = ³ и у =

А) 2 В) 3 С) 1 Д) 2 Е) 1

8. Площадь фигуры ограниченной линиями у = , у = -х-2 х = -2:

А) 2 В) 0,5 С) 2,5 Д) 1,5 Е) 1

9. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у= , отрезком оси ОХ и прямой х = -1

А) 9 В) 8 С)7 Д) 10 Е) 6

10. Найдите площадь, ограниченной линиями; y = , y = 6-x и y = 0

А) 14. В) 8. С) 7 Д) 7. Е) 3

11. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями; у = , у = 1, х = 4

А) 3 В) С)7 Д) 1 Е) 4

12. Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями у = x = у = х

А) В) С) Д) Е)

13. При каких значениях а площадь фигуры, ограниченной линиями , равна 9?

А) 3 В) 0 С) 4 Д) 5 Е) 2

14. Найдите общий вид первообразной для функции

А) В) С)

Д) Е)

15. Найдите площадь фигуры, заключенной между линиями , x=3.

А) 5 В) ln7 С) ln3 Д) 1 Е) ln4

16. Найдите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями и , вокруг оси OX

А) В) С) Д) Е)

17. Найдите общий вид первообразной для функции

А)

В)

С)

Д)

Е)

18. При каких a>0 справедливо равенство

А) В) С) Д) Е)

19. При каких значениях a площадь фигуры, ограниченной линиями равна 4?

А) 2 В) 3 С) 4 Д) 0 Е) 1

20. Функция F(x) является первообразной для функции . Решите уравнение: F(x)=0, если F(-2)=5.

А) В) С) Д) Е)

Ключ

Интеграл

(2011)

1.Д

2.А

3.В

4.С

5.Д

6.А

7.В

8.А

9.Е

10.В

11.Д

12.Д

13.А

14.Е

15.Д

16.С

17.В

18.Е

19.В

20.С

21.Е

22.А

23.В

24.Д

25.С

Ключ

⇧

⇩