Конспект урока по алгебре и началам анализа на тему Построение графиков функций (10 класс)

Предмет: алгебра и начала анализа

Класс: 10 класс по программе Мордковича А.Г.

Тема: Построение графиков функций.

Цели урока:

1. Систематизировать знания, умения учащихся при построении графиков функций.

2. Развитие творческих способностей и логического мышления.

План урока:

1. Организационный момент.

2. Мотивация учения школьников, сообщение темы, целей урока.

3. Фронтальный опрос.

4. Математический диктант по теории.

5. Закрепление материала.

6. Итог урока. Домашнее задание.

Оборудование:

1. листы с теоретическими заданиями для математического диктанта;

2. бланки ответов с копировально бумагой;

3. изображение графика тригонометрической функции для проведения устного исследования по нему;

4. сообщения учащихся к уроку и приложения к ним.

Ход урока:

Девиз: В математике исследует помнить не формулы,

а процессы мышления.

В.П. Ермаков.

1. Организационный момент.

2. Мотивация учения школьников, сообщение темы и целей.

3. Фронтальный опрос.

Учитель: назовите этапы очередности при исследовании функции?

Ученики:

• Область определения и область значения функции

• Вид функции (четная, нечетная, периодическая)

• Точки пересечения с осями координат

• Асимптоты

• Промежутки возрастания и убывания функции, экстремумы.

4. Математический диктант.

Установить истинны или ложны данные высказывания?

Ответы записывать на двойных листах с копировальной бумагой, по оканчании работы верхний лист ответов и копировальную бумагу передать мне, а нижний лист оставить себе для проверки.

I вариант

1. Областью определения функции являются все значения переменной х.

2. Если выполняется f(-x)= f(х), то функция нечетная

3. Наименьший период функции y= tg x равен 2П

4. Если f`(х) 0, то функция убывает

5. Если в точке производная меняет знак с «+» на «-», то эта точка - точка максимума

II вариант

1. Областью значения функции является все значения переменной у.

2. Если выполняется f(-x)= -f(х), то функция нечетная

3. Наименьший период функции у= sin x равен 2П

4. Если f(х)  0, о функция убывает.

5. Если в точке производная меняет знак с «-» на «+», то это точка - точка максимума

Ответы:

Проводится публичное выяснение результатов проведенного диктанта. Кто получил «5»?, Кто получил «4»?

5.Закрепление материала.

Провести исследование функции у = 3 cos(1,5х - 60) по графику.

1) как построить график данной функции с помощью преобразований?

у = cosх

сжатие к оси ординат в 1,5 раза

у = cos1,5х

параллельный перенос на вектор ( ;0)

у = cos(1,5х - 60)

растяжение от оси абсцисс в 3 раза

у = 3 cos(1,5х - 60)

2) Исследовать функцию у = ¼ х⁴ - 3/2 х² по общей схеме исследования:

1) Областью определения функции является множество действительных чисел D = R

2) Определим вид функции:

- Область определения функции симметрична относительно нуля;

- f(-x)= f(х) = четная

3) Найдем точки пересечения графика с осями координат:

С осью абсцисс: 1/4х⁴ -3/2 х² =0

х² (1/4х²-3/2)= 0

х₁ = 0 или 1/4х2 = 3/2

х² = 6

х = + 6 2,45

(0,0); (6; 0); (-6 ;0) координаты точек пересечения графика с осями координат.

4) асимптот нет, так как нет точек разрыва.

5) Исследуем функцию на монотонность и экстремумы:

у` = х³ - 3х = х(х² -3)

- + - + y`

-3 0 3 у

т.min т.max т.min

у(3) = у(-3) = 1/4 *9-3/2 *3 = 9/4-9/2 = -2,25

6)у`` = 3х² - 3 = 3 (х²-1)

х =  1 - точки перегиба

+ - + у``

-1 1 у

у(-1) = у(1) = 1/4 -3/2 = -7/4 = 1,75

3) Другие способы построения графиков (сообщения учащихся):

А) Умножение и деление графиков.

Пусть требуется построить график функции у = f(х) g(х).

Для построения графика надо построить график функции f(х) и g(х) и перемножить значения ординат, соответствующие одним и тем же значениям аргумента.

Деление графиков можно привести к умножению.

Иногда произведение или частное двух функций можно упростить, и построение графика значительно облегчается.

Построим график функции у = х sin x. Для этого строим графики функций f(х) = х и f(х) = sin x. График функции у получаем перемножением значений ординат этих графиков, соответствующих одной и той же абсциссе х. Построение можно производить только при х  0, а затем отразить полученный график относительно оси ординат, так как функция у является четной. График заключен между прямыми у = х и у = -х,

причем в точках х = , в которых sin = - /2 + 2, где sin х = 1, у = х,

а в точках х = - /2 + 2, где sin х = -1, у = 1

На рис изображен график функции у = f (х).

В)Учащиеся 10- класса хорошо знают, как строить графики простейших функций y = ax² + bx + c, y = axⁿ, e = k/x, y = kx + b,

и помнят основные преобразования графиков. Сначала продемонстрируем суть метода. Исследуем функцию f(х) = 4х² - х⁴ и построим ее график. Представим f(х) в виде суммы 4х² и -х⁴. какое слагаемое вблизи нуля играет большую роль?

Модуль какого слагаемого больше при очень малых х? Сообща приходим к «открытию»: вблизи нуля график функции f(х) = 4х² - х⁴ похож на у = 4х² (второе гораздо меньше по модулю слагаемое, мы «отбросили»).

Как же будет вести себя функция на бесконечности, т.е. при очень больших по модулю х? В этом случае, «отбросив» незначительное уже первое слагаемое, получаем, что на бесконечности функция f(х) ведет себя как у = - х⁴. Рисуем эскиз на доске и в тетрадях, плавно соединяя «куски» графика и учитывая четность функции .

Решив уравнение 4х² - х⁴ = 0, найдем точки пересечения графика с осью абсцисс: х = 0, х = 2, х = - 2. Используя метод интервалов убедимся, что при переходе через точку х = 0 знак функции не изменится, а через точки х = 2 и х = - 2 изменяется.

Точки экстремума целесообразнее найти, выделив полный квадрат:

- х⁴ + 4х² = - (х⁴ -4х² + 4) + 4 = - (х2 - 2)2 + 4.

Отсюда видно, что наибольшее значение функции 4 достигается в двух точках: 2 и -2.

Следует обратить внимание на, то что построение графиков таким способом обобщает имеющиеся у учащихся представления о функциях, является отправным материалом для формирования графических навыков.

6. Итог урока. Домашнее задание по вариантам 922(а,б) и

у = х⁴ - 2х² - 8 (по аналогии).