Конспект урока по теме 'Понятие производной'

План-конспект урока

Тема урока: «Понятие производной»

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Цели:

• Образовательные: изучить задачи, приводящие к понятию производной; определить новую математическую модель; добиться понимания геометрического и физического аспектов вопроса

• Воспитательные: продолжить воспитывать познавательную активность, самостоятельность, диалоговую культуру, интерес к предмету, поисково-познавательную деятельность.

• Развивающие: развивать умение интегрировать знания из курсов математики и физики и применять их на практике; продолжить развивать логическое мышление, коммуникативные навыки, математическую логику и речь, внимание и кругозор учащихся.

Оборудование: мультимедиа проектор, учебник под редакцией А.Г.Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» 10-11 класс (базовый уровень)

Методы обучения: частично - поисковый, объяснительно - иллюстративный.

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная.

Структура урока:

I. Организационный момент (1-2 мин.)

II. Актуализация и проверка усвоения изученного материала(5-6 мин.)

III. Устная работа класса (5-7 мин.)

IV. Изучение нового материала (20-25 мин.)

V. Подведение итогов урока (2-3 мин.)

VI. Домашнее задание (1-2 мин.)

Ход урока:

Деятельность учителя

Деятельность ученика

1. Организационный момент

Приветствие класса учителем;

отмечает с дежурными отсутствующих.

Приветствие классом учителя;
подготовка доски;
дежурные отмечают отсутствующих, вместе с учителем.

2. Актуализация и проверка усвоения изученного материала

Проверка домашнего задания.

Решение у доски задач, которые вызвали затруднения при работе дома.

3. Устная работа класса

1.Дайте определение предела функции на бесконечности. Геометрический смысл. (Графики на интерактивной доске Слайд №2)

2.Дайте определение предела функции в точке. Какая функция называется непрерывной в точке?

3.Дайте определение приращения аргумента и приращения функции.

1. Пусть дана функция , в области определения которой содержится луч [а; ), и пусть прямая у = b является горизонтальной асимптотой графика функции : . И говорят: предел функции при стремлении х к плюс бесконечности равен b) Если же дана функция , в области определения которой содержится луч (-; а], и прямая у = b является горизонтальной асимптотой графика функции , то в этом случае: . И говорят, что предел функции при стремлении х к минус бесконечности равен b)

2. Число b называют пределом функции при стремлении х к а, = b

Функцию называют непрерывной в точке х = а, если выполняется соотношение

3.Пусть функция определена в точках и . Разность называют приращением аргумента (при переходе от точки к ), а разность называют приращением функции.

4. Изучение нового материала

Понятие предела имеет большой философский смысл. Окружающий нас мир бесконечен, бесконечны пространство и время. Если какое-либо явление можно описать некоторым законом, т. е. функцией, то предел этой функции на бесконечности может нам многое «рассказать» о будущем этого явления.

С понятием предела непосредственно связано понятие производной. Различные задачи из различных областей знания приводят к одной и той же математической модели - пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремиться к нулю.

(Слайд 3) Впервые название этой модели и ее обозначение ввел немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц в 1675 году - основоположник дифференциального и интегрального исчисления. Лейбниц был философом и лингвистом, историком и биологом, дипломатом и политическим деятелем, математиком и изобретателем. Он в 1700 году организовал академию в Берлине, он же рекомендовал Петру I организовать академию в России. При организации Петербургской Академии наук в 1725 г. пользовались планами Лейбница.

Рассмотрим задачи, приводящие к понятию производной:

Задача о скорости движения. (Слайд 4)

Рассмотрим прямолинейное движение некоторого тела. Закон движения задан формулой S = S(t), т.е. каждому моменту времени t соответствует определённое значение пройденного пути S. Найти скорость движения тела в момент времени t.

Решение: Пусть в момент времени t тело находится в точке М.

Дадим аргументу t приращение Δt, за это время тело переместится в некоторую точку Р, т.е. пройдёт путь ΔS.

Итак, за время Δt тело прошло путь ΔS.

Что можно найти, зная эти два значения?

, т.е. среднюю скорость движения тела за промежуток времени .

Средней скоростью движения тела называется отношение пройденного пути ко времени, в течение которого этот путь пройден.

В физике часто идёт речь о скорости v(t), т.е. скорости в определённый момент времени t, часто её называют мгновенной скоростью.(Слайд 5)

Можно рассуждать так: мгновенную скорость получим если Δt, т.е. Δt выбирается всё меньше и меньше, т.е.

Физический смысл производной заключается в том, что мгновенная скорость - это производная пути по времени: v = S^′ (t)

Еще одна задача, приводящая к понятию производной, - задача о касательной к графику функции .

(Слайд 6)

Рассмотрим график непрерывной функции и проведем в точке А секущую и касательную к графику

(Слайд 7)

Прямая АВ - секущая, ee уравнение y = k_секх +b, где k_сек - угловой коэффициент секущей,

k_сек =∆y/∆x = tg α_сек, где α_сек - угол наклона секущей (отсчитывается от положительного направления оси Ох против часовой стрелки).

Пусть ∆х стремится к нулю, тогда секущая стремится к своему предельному положению - к касательной в точке А, т. е. угловой коэффициент касательной равен пределу углового коэффициента секущей: = k_кас, причем k_кас = tg α, где α - это угол наклона касательной, отсчитываемый от положительного направления оси Ох.

Значит, k_кас = tg α =

(Слайд 8)

Геометрический смысл производной заключается в том, что угловой коэффициент или тангенс угла наклона касательной к графику функции в данной точке с абсциссой равен производной функции в этой точке: k_кас = tg α = f ^′ ()

Итак, две различные задачи привели к одной и той же математической модели - пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Многие задачи физики, химии, экономики

и т. д. приводят в процессе решения к такой же модели. Значит, эту математическую модель надо специально изучить.

Итак, введем понятие производной: (Слайд 9)

Пусть функция определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку . Дадим аргументу приращение такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции (при переходе от точки к точке ) и составим отношение . Если существует предел этого отношения при , то указанный предел называют производной функции в точке и обозначают (). Итак, .

Обозначается или , где df - дифференциал функции, dx - дифференциал аргумента (дифференциал - бесконечно малое приращение).

Если функция имеет производную в точке х_о, то ее называют дифференцируемой в точке х_о. Процедуру нахождения производной функции называют дифференцированием функции.

Ученики слушают учителя

5. Подведение итогов

- Урок подходит к концу, давайте повторим, кто является основоположником дифференциального и интегрального исчисления?

- С помощью каких задач мы пришли к понятию производной?

- Что называется производной функции?

- Что называется дифференцированием функции?

Дети отвечают на вопрос учителя.

6. Домашнее задание

Запишите домашнее задание и можете быть свободны:

§26, № 26.20, 26.21, 26.22.

Дети записывают домашнее задание и прощаются с учителем