Рабочая тетрадь по темеРешение тригонометрических уравнений

Уравнение sin x = a имеет решение при а _____________

Какой формулой выражается это решение? __________________________

Имеет ли решение уравнение sin x = a при 1. Ответ ______________

Значение а при решении уравнения sin x = a откладывается на оси ______

В каком промежутке находится arcsin a ? _______________________

Arcsin (- а) = ________________________________________

Решение уравнения sin x = 1 _______________________________________

Решение уравнения sin x = - 1 ________________________________________

Решение уравнения sin x = 0 _________________________________________

Обрати внимание на решение примеров:

• sin x = sin x = -

х = (- 1) arcsin + n, n Z х = (- 1) arcsin( - ) + n, n Z

т.к. arcsin = , то т.к. arcsin( - ) = - , то

х = (- 1) + n, n Z х = (- 1)( - )+ n, n Z

х = (- 1) + n, n Z

Попробуй решить сам:

sin x = sin x = - _______________________ __________________________

________________________ __________________________

________________________ __________________________

sin 2x = - 1 sin (x + ) = 0

ЗАПОМНИ!

Решение уравнений вида tg x = a

Уравнение tg x = a имеет решение при любом а, так как область значений тангенса - вся числовая ось.

Значит, уравнение tg x = a на этом интервале имеет единственный корень. Учитывая, что тангенс периодическая функция, то множества решений уравнения записывают так:

tg x - это ордината точки Т, пересечения прямой ОР₁ с линией тангенсов Р₀Т.

В каком промежутке находится arctg a? _________________________________

Общая формула для решения уравнения tg х = а _________________________

arctg (-а) = __________________________________________

Обрати внимание на решение примеров:

• Tg x = Tg x = -

X = arctg + n, n Z. X = arctg (-) + n, n Z.

Т.к. arctg = , то т.к. arctg (- )= - , то

x = + n, n Z. x = - + n, n Z.

Попробуй решить сам:

Tg x =

_________________________________

_________________________________

_______________________________

Tg x = -1

_______________________________

______________________________

ЗАПОМНИ!

ТЕБЕ ПРИГОДИТСЯ!!!

Справедливы соотношения:

• SIN= 1 - COS(1);

• COS= 1 - SIN (2).

Формулы корней уравнения:

• Sin x = a

(3)

• cos x = a

(4)

• tg x = a

(5)

• ах + bx + c =0

x = (6)

Решение тригонометрических уравнений, приводимых к квадратному.

Рассмотри решение следующих уравнений:

• 8 sin² x - 6 sin x - 5 = 0;

Введём обозначение Sin x = a, тогда данное уравнение можно записать в виде 8а- 6а - 5 = 0.

Решаем это квадратное уравнение относительно а.

а = ; а = - , а = .

Следовательно, Sin x = - или Sin x = .

1. Решим уравнение Sin x = -

х = (- 1) + n, n Z .

1. Решим уравнение Sin x = .

Это уравнение корней не имеет, так как Sin x не может быть больше единицы.

• 8cos² x + 6 sin x - 3 = 0;

Заменяя cos² x через 1 - SINх, получим 8(1 - SINх) + 6 sin x - 3 = 0;

8 sin² x - 6 sin x - 5 = 0

Пришли к уравнению, рассмотренному в первом примере.

Попробуй решить сам

3 sin² x - 5 sin x - 2 = 0;

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2 sin² x + 3 cos x = 0.

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6 sin² x - 5 cos x + 5 = 0;

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

cos² x + 2 sin x + 2 = 0;

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Решение однородных тригонометрических уравнений

. Уравнение называется однородным относительно sin и cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла.

• Уравнения вида asinx + bcosx = 0 называют однородными тригонометрическими уравнениями первой степени;

• Уравнения вида asin²х + bcosx sinx+ ccos²x = 0 называют однородными тригонометрическими уравнениями второй степени.

Ознакомься с решением примеров:

• 2sinx - 3cosx = 0

Поделив уравнение на cosx 0, получим 2 tgх - 3 = 0, решаем это уравнение:

Tgх =, х = arctg + n, n Z.

• Решить уравнение: 3sin ² x + 4 sin x · cos x + 5 cos ² x = 2.

3sin ² x + 4 sin x · cos x + 5 cos ² x = 2sin ² x + 2cos ² x,

sin ² x + 4 sin x · cos x + 3 cos ² x = 0 ,

tg ² x + 4 tg x + 3 = 0 , отсюда y ² + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y₁ = 1, y₂ = 3, отсюда

1) tg x = -1, 2) tg x = -3,

x = - + n, n Z . x = - arctg 3+ n, n Z

Попробуй решить сам:

• cos x + sin x = 0

_______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________

______________________________________________________________

• sin x = 2 cos x

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________ ______________________________________________________________

______________________________________________________________

• 3 sin² x - 4 sin x cos x + cos² x = 0;

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________

• 6 sin² x = 5 sin x cos x - cos² x

_______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ __________________________________________________________________

Запомни!

Алгоритм решения уравнения a sin²+ bcosxsinx+ ccos²x =0

1. Посмотреть, есть ли в уравнении член asin²х.

2. Если этот член содержится, то уравнение решается делением обеих его частей на cos²x и последующем введением новой переменной y =tgx.

3. Если asin²х не содержится, то уравнение решается методом вынесения общего множителя за скобки.

ПРОВЕРЬ СЕБЯ

1. Решите уравнение, упростив левую часть:

а) cos x - sinx = ; б) 2 sinx cos 2x = 1;

в) sin 3x cos (x + ) + cos 3x sin (x + ) = 0.

2. Решите уравнение, сделав подстановку:

а) 2sinx - 5sin x + 2 = 0; б) 2 cosx + 5 sin x - 4 = 0;

в) cos 2x + 5 sin x - 3 = 0; г) 2 tg x + 2 ctg x = 5.

3. Решите уравнение методом разложения на множители:

а) 5 sin x + 3 sin 2x = 0; б) sin 7x - sin x = 0;

4. Решите уравнение, используя однородность:

а) sin x - cos x = 0;

б) sinx - 3 sin x cosx + 2 cosx = 0;

в) sin x cos x - cos x = 0;

16