Урок- лекция Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы п –го члена

МОУ Дровянинская СОШ

Разработка урока по алгебре в 9 классе

Тема : « Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы п -го члена.»

Разработал и провел: учитель математики Голубев А.А.

(1 квалификационная категория)

Дровяная, 2010 г.

Тип урока: урок - лекция.

Цели и задачи урока

Образовательные - ввести способы задания последовательностей; определения арифметической и геометрической прогрессий; вывести формулы п-го члена арифметической и геометрической прогрессий.

Развивающие - развивать логическое мышление, память, внимание, монологическую речь, умение выделять главное; расширить кругозор историческими сведениями;

Воспитательные - воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности; развивать эстетический вкус.

Оборудование

1. интерактивная доска; 2) обычная школьная доска; 3) компьютерные презентации; 4) карточки со справочным материалом; 5) диск с записью классической музыки

По ходу урока используются презентации по соответствующему блоку.

I этап. Вводно-мотивационный.

Это было в 1786 году. Шел урок математики. Ребятам было по 9 лет. Учитель, занятый проверкой работ другого класса, задал ребятам следующую задачу ( надеясь на неопределенное время их занять): «Сосчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 40 включительно».

Каково же было удивление учителя, когда через минуту мальчик по имени Карл воскликнул: « Я уже решил!». И ответ был верен. Этот мальчик Карл в дальнейшем стал великим математиком. Это был Карл Гаусс (1777 - 1885 г.г.) его решение было очень просто и оригинально. (Слайд с фотографией К. Гаусса)

Но, думаю, что через 1 - 2 урока вы сами найдете способ этого решения!

I I этап. Подведение под понятие.

1. Рассмотрим записанные в порядке возрастая натуральные числа. Говорят - это последовательность чисел или числовая последовательность. Каждый член этой последовательности имеет свой порядковый номер, указывающий на место числа в ряду чисел. Обозначим эту последовательность через (а_п). Тогда а₁ = 1, а₂ = 2 и т.д. чем замечательна эта последовательность? ( сам член равен номеру, т.е. а_п = п).

2. Рассмотрим еще одну последовательность - последовательность правильных дробей с числителем 1, записанных в порядке убывания: 1/2, 1/3, 1/4 ….

Как выразить любой член этой последовательности через его номер? ( Знаменатель на 1 больше его номера, т.е. а_п = 1/(п +1)).

Сейчас мы рассмотрели один из способов задания последовательностей - формулой п -го члена.

3. Рассмотрим последовательность, в которой первый член равен 3, а каждый следующий равен квадрату предыдущего, т.е. а₁ = 3, а_п+1 = (а_п)². с помощью этой формулы можно второй член найти по первому, третий - по второму и т.д. Формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие - называют реккурентной ( от латинского слова RECURRO - возвращаться).

III . Блок №1

Понятия арифметической и геометрической прогрессии.

1. Перед вами 5 последовательностей. Ваша задача - продолжить их, дописав еще по 3 члена (выяснив, конечно, по какому правилу (закону) каждая из них составлена).

1) 6; 8; 10; ………

2) 25; 214 17; …….

3) 3; 6; 12; ……

4) -12; -9; -6; …..

5) 4; 4 1/3; 4 2/3; …… (больше на 1/3)

- Назовите последовательность, которая коренным образом отличается от всех остальных! (№3)

- Постарайтесь сформулировать общий закон для всех 4 последовательностей.

- Последовательности такого вида называют арифметическими прогрессиями.

Определение. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенного с одним и тем же числом. Число, с которым слаживают, называют разностью.

Все понятно? Вопросов нет? Тогда у меня к вам будет несколько:

1)почему «прогрессия»? (прогресс - движение вперед)

2) почему «арифметическая»? (а попробуйте выразить а₂ через а₁ и а₃ и увидите, что он является средним арифметическим этих чисел).

3) почему «разность»? (находится как разность следующего и предыдущего).

- А по какому закону записана вторая последовательность? ( Каждый следующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.)

- Чего-то, по моему, не хватает в этом определении? ( Последовательность чисел, отличных от нуля).

- Последовательности такого типа называют геометрическими прогрессиями.

Попробуйте самостоятельно сформулировать определение геометрической прогрессии, используя в качестве образца определение арифметической прогрессии.

Физкультминутка

(Выключается интерактивная доска. Звучит негромкая классическая музыка. Проводится комплекс упражнений для глаз, кистей рук и т.д., согласно методических рекомендаций школьного фельдшера)

IV. Блок №2

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы п-го члена

Арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия

1. определение ( из учебника) 1. определение ( из учебника)

а_п+1 = а_п + d в_п+1 = в_п *q

отсюда,

d = а_п+1 - а_п q = в_{п+1 /} в_п

- Какой способ задания последовательностей описан в определениях? (реккурентный)

Задача: в арифметической прогрессии первый член равен -7,5, а разность равна 0,8. найти двадцатый член прогрессии.

- Возникла проблема: мы пока умеем находить член прогрессии через предыдущий!

Житейская мудрость гласит: безвыходных ситуаций не бывает! Существует формула п -го члена. Давайте ее выведем.

По определению арифметической прогрессии имеем: а₂ = а₁ + d ; а₃ = а₂ + d = а₁ + 2d ; тогда а₄ = ……. И т.д. а_п = а₁ + d(п - 1).

Тогда наша задача решается легко. (заполняем таблицу - левую часть, внося туда формулу).

Для вывода формулы п -го члена мы использовали метод математической индукции: на основе частных утверждений делают некоторое предположение ( гипотезу) о справедливости какого-либо общего утверждения. Иногда эти предположения оказываются верными, иногда - нет. Переход от частных утверждений к общим называют индукцией.

Аналогично выводится формула п-го члена геометрической прогрессии.

V. Обобщающий этап

Итак, мы с вами рассмотрели ……….

VI. этап подачи домашнего задания

Мы с вами не полностью заполнили правую часть таблицы. Это - ваше домашнее задание. ( кто сможет - без учебника.)

Спасибо за урок, дети!