Решение уравнений, систем уравнений и неравенств с двумя переменными

Задача 1. Какие геометрические фигуры задают следующие системы уравнений и неравенств:

а) б)

Решение

Выполним построение на координатной плоскости.

Для случая а) получим отрезок, принадлежащий прямой 2x_­+3y-12=0

Для б) треугольник

Задача 2. Не выполняя рисунка на координатной плоскости выясните пересекает ли прямую x+y-6=0 отрезок, соединяющий точки:

а) A(-1;-4) и B(-7;3)

б) C(5;2) и D(10;-7)

Решение.

а) координаты точек A и B удовлетворяют неравенству x+y-6<0, т.е. они обе лежат ниже прямой x+y-6=0. Следовательно, отрезок, соединяющий точки A и B, данную прямую не пересекает.

б) координаты точки С удовлетворяют неравенству x+y-6>0, т.е. она лежит выше прямой x+y-6=0. Координаты точки D удовлетворяют неравенству

x+y-6<0, т.е. она лежит ниже прямой x+y-6=0. Следовательно, отрезок CD будет пересекать прямую.

С целью закрепления указанного учебного материала могут быть использованы и такие задачи.

Задача 3. Укажите координаты каких-либо двух точек, если известно, что отрезок, их соединяющий не пересекает прямую 3x-5y=4.

Задача 4. Запишите уравнение какой-либо прямой, которая пересекает отрезок, соединяющий точки A(-2;1) и B(3;5).

В курсе алгебры при изучении графиков уравнений или неравенств с двумя переменными могут быть предложены задачи на определение осей симметрии тех или иных геометрических фигур.

Задача 1. Имеет ли ось симметрии график уравнения x-3y+1=0?

Решение

График уравнения x-3y+1=0 есть прямая линия, следовательно, он имеет оси симметрии и их бесконечное множество.

Задача 2. Сколько осей симметрии имеет график уравнения x²+y²=16?

Решение

Графиком уравнения x²+y²=16 является окружность, следовательно, он имеет бесконечное множество осей симметрии.

Задача 3. Запишите уравнение осей симметрии фигуры, задаваемой системой неравенств.

Решение

Данная система неравенств задает квадрат ABCD.

Всякий квадрат имеет 4 оси симметрии: KM; EF; AC; BD.

Прямая KM совпадает с ox, поэтому ее уравнение у=0.

Точка N имеет координаты (5;0), значит, x=5 - уравнение EF.

Прямая AC проходит через точки A(3;2) и C(7;-2), для определения коэффициентов k и b в общем уравнении прямой y=kx+b составим систему

Отсюда k=-1, b=5, y=-x+5

Аналогично уравнение прямой CD: y=x-5

Осуществлению взаимосвязи курсов алгебры и геометрии способствуют также использование в курсе математики задач на вычисление площадей геометрических фигур, заданных уравнениями или их системами.

Задача 1. Найдите площадь треугольника, заданного системой неравенств

Решение

На координатной плоскости изображен заданный треугольник.

Определив координаты точек A,B,C,

находим, что AC=6, OB=3.

Ответ: 9

Задача 2. Вычислите площадь треугольника, ограниченного прямыми

y-2x=-2, 3y=-4x+24 и осью абсцисс

Решение

Координаты A и C найдем как координаты точек пересечения прямых

y-2x=-2 и 3y=-4x+24 с осью абсцисс; получим A(1;0), C(6;0). Для отыскания координат точки B решим систему: ; B(3;4).

Итак, AC=5; BD=4,

Ответ: 10

Задача 3. . Из условий х² + у² = 9, у² + z² = 16 и у² = = хz для положительных x, у и z, не вычисляя их значений, указать значение выражения ху + уz.

Решение. Привычное задание решить систему уравнений

x²+y²=9

y² +z²=16

y²= xz

у учащихся затруднений не вызывает. Однако в данном случае нужно, не решая систему, ответить на вопрос, чему равно значение выражения ху + уz.. Учитель может обратить внимание учащихся, что х, у и z положительны по условию и, таким образом, дать им некоторую подсказку, что задачу можно решить геометрически.

По теореме, обратной теореме Пифагора, числа х, у и 3 являются соответственно длинами кате­тов и гипотенузы треугольника ABD с прямым углом D. А рассмотрев второе уравнение системы, можно сделать вывод, что у, z и 4 также есть соответственно длины катетов и гипотенузы тре­угольника BCD с прямым углом D

Третье уравнение системы разрешает утверждать, что число у есть среднее пропорциональное чисел х и z, и по теореме, обратной теореме о пропор­циональных отрезках в прямоугольном треугольни­ке, угол ABC - прямой.

Теперь рассмотрим выражение ху + уz.

ху + _Уz= (х + z.)*у = 2s_АВС =3*4=12.

Примечание. Для данной системы уравнений за­дания могут быть и другие. Например, найти зна­чение выражения х + у + z или в каком отноше­нии находятся числа х и у; z и у;х + z и у.