- Учителю
- Практическая работа Матричный способ решения систем линейных уравнений
Практическая работа Матричный способ решения систем линейных уравнений
</ Практическая работа № 5
" Решение систем линейных уравнений матричным способом "
Цель работы:
1. Познакомиться со способами решения матричных уравнений
2. На конкретных примерах научиться решать системы уравнения с помощью обратной матрицы
Содержание работы:
1. Рассмотрим матричное уравнение: A · X = B
Так как матрица A - невырожденная, то существует обратная матрица A−1 . Умножим обе части уравнения слева на матрицу A−1 . По определению обратной матрицы, получим
( A−1 · A ) · X = A−1 · B , E · X = A−1 · B, X = A−1 · B.
Таким образом, искомое решение матричного уравнения определяется формулой: X = A−1 · B
Обратите внимание на то, что количество строк матрицы B должно быть равно порядку матрицы A .
2. Рассмотрим матричное уравнение: X · A = B
Так как матрица A - невырожденная, то существует обратная матрица A−1 . Умножим обе части уравнения справа на матрицу A−1 . По определению обратной матрицы, получим
X · ( A · A−1 ) = B · A−1; X · E = B · A−1; X = B · A−1 .
Таким образом, искомое решение матричного уравнения: X = B · A−1
Обратите внимание на то, что количество столбцов матрицы B должно быть равно порядку матрицы A.
· X =
.
Решение.
1. Вычисляем обратную матрицу A−1 методом Гаусса:
.
Таким образом, обратная матрица имеет вид
.
2. Обе части уравнения умножаем слева на матрицу A−1 .
3. Находим решение уравнения:
·
=
.
Ответ:
.
Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.
Метод удобен для решения систем невысокого порядка.
Метод основан на применении свойств умножения матриц.
Систему уравнений можно записать: A×X = B.
Пример. Решить систему уравнений:
Х = , B = , A =
Найдем обратную матрицу А-1.
D = 5(4-9) + 1(2 - 12) - 1(3 - 8) = -25 - 10 +5 = -30.
M11 = = -5; M21 = = 1; M31 = = -1;
M12 = M22 = M32 =
M13 = M23 = M33 =
A-1 = ;
Находим матрицу Х.
Х = = А-1В = ×= .
Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.
Приложения: