Урок алгебры в 7 классе Тема урока: Решение уравнений способами разложения многочлена на множители

Рычкова Ирина Владимировна

МБОУ СОШ №23 г. Симферополь,

Республика Крым, Россия

Учитель высшей категории

Урок алгебры в 7 классе

Тема урока: Решение уравнений способами разложения многочлена на множители

Цели

Обучающие:

систематизировать и обобщить изученные способы, попытаться сделать новые открытия;

найти интересное применение разнообразных способов разложения на множители к решению порой одинаковых по смыслу уравнений.

Развивающие:

формирование алгоритмического мышления;

формирование у учащихся навыков умственного труда - планирование своей работы, поиск рациональных путей ее выполнения, критическую оценку результатов;

способствовать формированию умения обобщать изучаемые факты; продолжать учить чётко и ясно излагать свои мысли.

Воспитательные:

эстетическое воспитание учащихся;

формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры.

Методы обучения: проблемный, частично-поисковый.

Ход урока:

I. Организационный момент.

II. Устная работа:

1. Какие способы разложения многочлена на множители вы знаете?

2.Решить уравнения: х² = 0; х² = 1; х² = -1; х² = 9; (х - 2)² = 0; (х + 4)² = 0;

х² - 49 = 0; х² + 49 = 0;

(х - 5)(х + 8) = 0; х(х + 4)(2х - 1) = 0.

II. Закрепление умений и навыков.

На доске записаны уравнения, содержащие многочлен второй степени:

Нам предстоит решить эти уравнения, подбирая непохожие способы решения, несмотря на схожесть этих уравнений.

1) Решить эти уравнения, применяя формулы сокращённого умножения - квадрата суммы и разности:

Этот способ решения - выделение полного квадрата суммы или разности.

2) Можно ли решить эти уравнения выделением полного квадрата суммы?

(затруднительно, так как, число 3 и 21 не являются квадратом никакого рационального числа)

И всё-таки попробуем выделить полный квадрат суммы: дополним сумму первых двух слагаемых до квадрата суммы:

3) Можно ли решить уравнение х² + 5х - 6 = 0 таким же способом? (затруднительно, так как, число 5 не раскладывается на множители с числом 2 и третье слагаемое имеет знак минус -6) И все-таки, попробуем строго следовать формуле квадрата суммы при выделении полного квадрата:

Ответ:-6;1.

4) Вновь обратимся к уравнению х² + 6х + 9 = 0. Можно ли решить это уравнение без выделения полного квадрата суммы?

Решим это уравнение разбиением одночлена 6х на сумму двух одночленов 3х+3х:

Аналогично: (вызвать ученика)

(показать самой)

5) Решим уравнение х² - 3х + 2 = 0 разбиением одночлена -3х на сумму двух одночленов (-2х -х) и число 2 на 1+1

:

6) Вновь обратимся к уравнению х² + 4х + 3 = 0. Решим это уравнение методом неопределённых коэффициентов:

Ответ:-1;-3.

Сравните значения найденных корней со значениями переменных b и d. (Они противоположны)

Найденные корни подтверждают мысль о том, что независимо от способа решения корни не меняются.

Чем уравнение х² - 5х + 6 = 0 похоже на предыдущее? (Коэффициент при х² равен 1)

Попробуем решить это уравнение принимая во внимание некоторые рассуждения в предыдущем случае:

Запишите разложение многочлена х² + 5х + 6 в виде произведения двучленов:

х² + 5х + 6 = (х + b)(х + c)

Тогда, b + c = 5 и b∙c = 6. Легко догадаться, что b = 2, c = 3 или наоборот. Значит корни уравнения будут равны х = -2 или х = -3.

х² - 5х + 6 = 0;

b + c = 5; b = 2; x₁ = -2;

b ∙ c = 6; c = 3; x₂ = -3.

Вывод: метод неопределённых коэффициентов для решения уравнений, содержащие многочлен второй степени, если коэффициент при х² равен 1? (Чтобы найти корни, надо сначала найти два таких числа b и с, чтобы их сумма была равна второму коэффициенту, а произведение - третьему слагаемому. А корни будут равны числам, противоположным числам b и c.

Аналогично: х² - 7х + 10 = 0

b + c = -7; b = -2; x₁ = 2;

b ∙ c = 10; c = -5; x₂ = 5.

III. Подведение итогов

Вы познакомились с новыми способами решения уравнений, содержащие многочлен второй степени: выделение полного квадрата суммы или разности, разбиение одночлена на сумму двух одночленов, метод неопределённых коэффициентов.

В 8 классе вы познакомитесь с ещё одним способом решения квадратных уравнений - по формулам. Узнаете, кто такой Франсуа Виет и какое отношение он имеет к нашему открытию.

IV. Домашнее задание.

Решить уравнения:

1) х² + 26х + 169 = 0;

2) х² - 16х + 64 = 0;

3) х² + 3х - 16 = 0;

4) х² + 3х + 2 = 0;

5) х² - 9х + 20 = 0.