Учителю
Конспект и презентация по алгебре для 9 класса 'Квадратичная функция, ее график и свойства'

Конспект и презентация по алгебре для 9 класса 'Квадратичная функция, ее график и свойства'

Автор публикации: Айбулатова Г.А.

Дата публикации: 14.08.2014

Краткое описание: Разработка урока по алгебре для 9 класса по теме "Квадратична функция, ее график и свойства" содержит подробный развернутый конспект урока с решением всех заданий и мультимедийную презентацию. Работа предназначена для урока ознакомления с новым материалом и первичного

предварительный просмотр материала

Разработала учитель математики

МОУ Большечирклейской СОШ

Айбулатова Гюзяль Алиевна

Конспект урока по алгебре.

Класс: 9

Учебник: Ю.Н.Макарычев «Алгебра 9 кл.»

Тема: Функция y=ax², ее график и свойства.

Тип урока: изучение нового материала.

Цели урока:

Ввести определение квадратичной функции.
Рассмотреть графики функций y=ax² (а>0, и а<0) и их свойства.
Повторить решение квадратных уравнений.

Оборудование: доска, мел, линейка, презентация (Приложение 1).

Место проведения: Кабинет математики.

Время: 45 минут.

План урока

Организационный момент (1 мин).
Актуализация знаний (10 мин).
Ознакомление с новым материалом (20 мин).
Первичное закрепление темы (12 мин).
Подведение итогов урока. Домашнее задание (2 мин).

Ход урок

Организационный момент. Приветствие. Проверка готовности учащихся к уроку, отметка отсутствующих. Сообщение темы урока и поставка целей урока. (Слайд № 1.)
Актуализация знаний.

Учитель: Ребята, сегодня мы будем изучать новую тему. Для этого вспомним ранее изученный материал, в частности повторим определение функции, некоторые понятия, связанные с функциями и вспомним известные нам функции и их некоторые свойства.

Далее задаем вопросы (Слайд № 2 - 5.):

Что называется функцией? Дайте определение функции?

Функцией называют такую зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y. Переменную x называют независимой переменной или аргументом, переменную y называют зависимой переменной.

Что называется областью определения и областью значений функции?

Все значения независимой переменной образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.

Что называется графиком функции?

Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции.

С какими функциями вы уже знакомы?

С линейной функцией, прямой и обратной пропорциональности, функциями, заданными формулами:

Что представляет собой график:

Линейной функции?

Прямую

Прямой пропорциональности?

Прямую

Обратной пропорциональности?

Гиперболу

Функции, заданной формулой

параболу

Дайте определение функции, возрастающей в промежутке; убывающей в промежутке?

Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции; функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Ознакомление с новым материалом.

Введение понятия квадратичной функции осуществляем, используя метод целесообразных задач. Для этого предлагаем учащимся последовательно решить две задачи. (Слайд № 6.).

Задача1.

Выразить площадь поверхности куба через его ребро x. Найти площадь S при x=2; 3; 5.

Решение.

S1=x², число граней равно 6,

S=6x² ,

x=2 S=24;

x=3 S=54;

x=5 S=150.

Задача2.

Тело движется с ускорением а=6 м/с² и к началу отсчета времени t прошло путь S₀=20 м, имея в этот момент скорость V₀=5 м/с. Найдите пройденный путь S при t=2, 4.

Решение.

Выразим зависимость пути S от времени t.

S=+V₀t+S₀ _, S=3t²+5t+20,

T₁=2 S₁=3*4+5*2+20=42;

T₂=4 S₂=3*16+5*4+20=88.

После решения предложенных задач, задаем учащимся следующие вопросы:

И в первой, и во второй задаче зависит ли значение переменной S от какой - либо другой переменной?

(Да. В первой задаче S зависит от x; во второй задаче S зависит от t)

Значит, S какая переменная? (зависимая переменная)
А переменные x и t? (независимые переменные)
А сколько значений зависимой переменной соответствует каждому значению независимой переменной в первой задаче? А во второй задаче?

(Каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной и в первой, и во второй задаче)

Значит, что мы получили? (Функции)

Теперь, запишем полученную функцию в общем виде. Для этого заменим переменную S на переменную y, переменную t на - x, а числа обозначим через a, b и c. Тогда полученная функция будет иметь следующий вид: y=ax²+bx+c. Ребята, функция вида y=ax²+bx+c называется квадратичной функцией.

В этой функции число а - коэффициент при x² может ли быть равным нулю? Тогда, что мы получаем?

(Число а может быть равным нулю, тогда функция примет вид: y=bx+c)

А с функцией y=bx+c мы знакомы? Какая это функция?

(Да. Это линейная функция)

Значит, на число а накладывается ограничение - оно не может быть равным нулю. Теперь, ребята, давайте попробуем дать определение квадратичной функции.

Учащиеся вместе с учителем формулируют определение квадратичной функции. (Слайд №7.)

Определение: Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=ax²+bx+c , где x - независимая переменная, a, b и c - некоторые числа, причем a≠0.

Как вы думаете, что является областью определения квадратичной функции?

(Множество всех чисел)

Правильно, областью определения квадратичной функции является множество всех чисел или вся числовая прямая.

Изучение квадратичной функции начнем с частного случая, а именно с функции y=ax², которая получается из функции y=ax²+bx+c при b=0 и c=0. Примером является функция S=6x², полученная в первой задаче.

При а=1 формула y=ax² принимает вид y=x². С этой функцией вы встречались, ее графиком является парабола.

Теперь давайте построим график функции y=2x². Для этого составим таблицу значений этой функции.

Учитель на доске составляет таблицу значений функции, а ученики ему помогают и пишут у себя в тетрадях.

-2

-1,5

-1

-0,5

0,5

1,5

4,5

0,5

4,5

Теперь, постройте точки, координаты которых указаны в таблице. Далее соедините их плавной линией. Получаем график функции y=2x².

Ученики строят график функции y=2x² в тетрадях, а у учителя на слайде появляется график функции y=2x², а потом график функции y=x². (Слайд №8.)

Далее задаем вопросы:

Сравнивая графики функций y=2x² и y=x², что мы видим?

(Они похожие, при любом x значение функции y=2x² больше соответствующего значения функции y=x² в 2 раза)

Правильно, при любом x ≠ 0 значение функции y=2x² больше соответствующего значения функции y=x² в 2 раза. Если переместить каждую точку графика функции y=x² вверх так, чтобы расстояние от этой точки до оси x увеличилось в 2 раза, то она перейдет в точку графика функции y=2x². При этом каждая точка графика функции y=2x² может быть получена из некоторой точки графика функции y=x².

Иными словами, график функции y=2x² можно получить из параболы y=x² растяжением от оси x в 2 раза.

Далее предлагаем ученикам построить график функции y=1/2x². Для этого составляем таблицу значений этой функции.

Учитель на доске составляет таблицу значений функции, а ученики ему помогают и пишут у себя в тетрадях.

-4

-3

-2

-1

4,5

0,5

4,5

Теперь, постройте точки, координаты которых указаны в таблице. Далее соедините их плавной линией. Получаем график функции y=1/2x².

Ученики строят график функции y=1/2x² в тетрадях, а у учителя на этом же слайде появляется график функции y=1/2x². На данном слайде также для более наглядного сравнения появляются графики всех трех функций на одной координатной плоскости. (Слайд №8.)

Далее задаем вопросы:

Сравнивая графики функций y=1/2x² и y=x², что мы видим?

(Они похожие, при любом x значение функции y=1/2x² меньше соответствующего значения функции y=x² в 2 раза)

Правильно, при любом x ≠ 0 значение функции y=1/2x² меньше соответствующего значения функции y=x² в 2 раза. Если переместить каждую точку графика функции y=x² вниз так, чтобы расстояние от этой точки до оси x уменьшилось в 2 раза, то она перейдет в точку графика функции y=1/2x², причем каждая точка графика функции y=1/2x² может быть получена из некоторой точки графика функции y=x².

Таким образом, график функции y=1/2x² можно получить из параболы y=x² сжатием к оси x в 2 раза.

Какой вывод из всего выше сказанного можно сделать? Как можно получить график функции y=аx² из параболы y=x²?

Ученики вместе с учителем делают краткий вывод:

В общем случае, график функции y=аx² можно получить из параболы y=x² растяжением от оси x в a раз, если а>1, и сжатием к оси x в 1/а раза, если 0<��

��^��

��
��
��
��
��

��^��

��

��^��

��^��^��^{��}��

��

��^��^{��}��

��

��^��^{��}��

��^{��}��^{��}��

��

��^��^{��}��

��^��

��
��
��
��
��

��

��ное закрепление темы.

Решаем примеры:

№ 90. Постройте график функции y=1/4x². Найдите:

А) значение y при x= -2,5; -1,5; 3,5

Б) значение x при y= 5, 3, 2

В) промежутки возрастания и промежутки убывания функции.

Решение:

-4

-3

2,25

-2

-1

0,25

2,25

А) x= -2,5 y=1,5 Б) y=5 x=4,5, x=-4,5 В) (0, ∞) - возрастает.

X= -1,5 y=0,6 y=3 x=3,5, x=-3,5 (-∞, 0) - убывает.

X= 3,5 y=3,1 y=2 x=2,8, x=-2,8

№ 94 (а). Покажите схематически, как расположен в координатной плоскости график функции

а) y=-1,5x². Перечислите свойства этой функции.

Решение:

y=-1,5x²

Свойства:

График функции проходит через начало координат.
График функции расположен в нижней полуплоскости.
График функции симметричен относительно оси y.
Функция возрастает в промежутке(-∞;0] и убывает в промежутке [0;+∞).
Наибольшее значение, равное нулю, функция принимает при x=0, наименьшего значения функция не имеет. Областью значений функции является промежуток [-∞;0).

№ 96 (а, б, в - устно). Пересекаются ли парабола y=2x² и прямые:

А) y=50, Б) y=100, В) y=-8, Г) y=14x-20. Если точка пересечения существует, то найти их координаты.

Решение:

А) Да. (5, 50), (-5, 50).

Б) Да. (5, 100), (-5, 100).

В) Нет.

Г) 2x²=14x-20

2x²-14x+20=0

x²-7x+10=0

x₁=5 x₂=2

y₁=50 y₂=8

(5, 50), (2,8).

Подведение итогов урока. Домашнее задание.

Что нового вы сегодня узнали на уроке?
С какой функцией мы сегодня познакомились?
Как она получается из функции y=x²?
Что является графиком квадратичной функции?
Какие преобразования функций мы сегодня рассмотрели?

Давайте в тетрадях запишем таблицу преобразований функций, на следующих уроках будем ее продолжать. (Слайд №12.)

Функция

Преобразование Y=f(x)

1) y=-f(x)

Симметрично относительно оси x

y=a f(x), a›0

y=a f(x), 0‹a‹1

Растяжение по оси x в а раз

Сжатие по оси x в 1/a раз

Теперь запишите в дневниках домашнее задание: п.5, № 91, № 94(б), № 92.

№ 91. Постройте график функции y=-2x². Найдите:

А) значение y при x= -1,5; 0,6; 1,5

Б) значение x при y= -1, -3, -4,5

В) промежутки возрастания и промежутки убывания функции.

-4

-32

-3

-18

-2

-8

-1

-2

-8

-18

-32

Решение:

А) x= -1,5 y=-4,5 Б) y=-1 x=0,3, x=-0,3 В) (0, ∞) - убывает.

X= 0,6 y=-0,8 y=-3 x=1,2, x=-1,2 (-∞, 0) - возрастает.

X= 1,5 y=-4,5 y=-4,5 x=1,5, x=-1,5

№ 94 (б). Покажите схематически, как расположен в координатной плоскости график функции

а) y=0,8x². Перечислите свойства этой функции.

Решение:

y=0,8x²

Свойства:

График функции проходит через начало координат.
График функции расположен в верхней полуплоскости.
График функции симметричен относительно оси y.
Функция убывает в промежутке(-∞;0] и возрастает в промежутке [0;+∞).
Наименьшее значение, равное нулю, функция принимает при x=0, наибольшего значения функция не имеет. Областью значений функции является промежуток [0;+∞).

№ 92. Постройте в одной координатной плоскости графики функций: y=x², y=1/8x², y=1/3x².

Решение:

y=x² y=1/8x²

-4

-3

-2

-1

-4

-3

1,125

-2

0,5

-1

0,125

0,5

1,125

y=1/3x²

-4

5,333333

-3

-2

1,333333

-1

0,333333

1,333333

5,333333

⇧

⇩

скачать материал