Урок по алгебре с использованием интерактивной доски на тему: 'Решение иррациональных уравнений' (11 класс)

Урок алгебры в 11 классе с использованием интерактивной доски.

ТЕМА: «Решение иррациональных уравнений»

Где есть желание, найдется путь. Пойя Д.

Цели урока:

1. ОБУЧАЮЩИЕ. Продолжить отрабатывать навык решения иррациональных уравнений различными способами и применять их при решении тестовых заданий.

2. РАЗВИВАЮЩИЕ. Развивать логическое мышление, развивать навыки самоконтроля, уметь пользоваться интерактивной доской.

Этапы урока:

1. Организационный момент.

2. Устная работа.

3. Работа по вариантам.

4. Обобщение методов.

5. Закрепление.

6. Самостоятельная работа по классификации уравнений.

7. Решение этих уравнений.

8. Дополнительное задание- творческое.

9. Подведение итогов урока. Выставление оценок.

10. Домашнее задание.

1 этап. Здравствуйте, ребята, садитесь. Тема нашего урока: Решение иррациональных уравнений. Эпиграфом служат слова Пойя: «Где есть желание, найдется путь». Думаю, что желание необходимо в любом деле.

2 этап. Начнем. Задание: Выберите из данных уравнений иррациональные.

А) х + = 2,

Б) = 2 + х,

А, Г, Д, Ж

В) у² - 2у = 2,

Г) = 4,

Д) = -5,

Е) - 2х = х,

Ж) =

Сверили ответы (ответы закрашены, открываются ручкой), объяснили. Это была разминка.

Дайте определение иррациональных уравнений.

-Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком радикала, а также под знаком возведения в дробную степень.

Что значит решить иррациональное уравнение?

-Решить иррациональное уравнение- значит найти все такие значения переменной, при подстановке которых в уравнение получится верное числовое равенство, либо доказать, что таких значений переменных не существует.

3 этап. В листах самоконтроля подпишите фамилию, имя, класс, вариант. Посмотрите на критерий оценок. За дополнительный устный ответ: 0,5 б., за дополнительный письменный - 2б. Оценка зависит от количества набранных балов. Три задания.

Лист самоконтроля

Ф.И._________________________________________ кл.______________Вариант___________

№ задания

1

2

3

Доп.

Доп.

ИТОГО

ОЦЕНКА

Кол-во баллов

1 задание - по 1 б. (максимум - 4 б.)

2 задание - по 1 б. (максимум-3 б.)

3 задание - по 2; 2.5; 3б.(максимум - 6; 7.5; 9 б.)

15 баллов и выше- оценка «5»

13-14 баллов- оценка «4»

10-12 баллов- оценка «3»

Ниже 10 баллов- без оценки, доп.задание (карт.).

1 задание: Решить уравнения. Время выполнения 5-6 мин:

Вариант 1

№

Решить уравнение

Верный ответ

1

= -2

А)1; В)-7; С)нет; D)-1; E)5.

С

2

(х- 4) = 0

А)0; В)4; С)-4; Д)1; Е)4;1.

Д

3

= х

А)-1; В)-1;-2; С)2; Д)нет; Е)3.

С

4

= х-1

А)7; В)8; С)9; Д)4; Е)11.

С

Вариант 2.

№

Решить уравнение

Верный ответ

1

=2

А)0; В)-1; С); Д)нет; Е)5.

Д

2

(-9) = 0

А)3; В)3; 2; С)3; -3; 2; Д)-3; 2; Е)3; -2.

Д

3

=

А)2; -1; В)2; С)-2; 1; Д)-1; Е); 0.

В

4

=

А)4; В)2; С)1; Д)5; Е)6.

В

Вариант 3

№

Решить уравнение

Верный ответ

1

х + 3 - = 2

А)-2; В)1; С)1;2; Д)5; Е)-1;2.

В

2

=

А)1; В)4; С)5; Д)6; Е)0.

А

3

= 6

А)9;6; В)-6; 5; С)-4; 2; Д)-7; 3; Е)-10; 3.

Е

4

(х-5)(х+2) = 0

А)2; В)7;-2; С)5; Д)7; Е)5; -2; 7.

Д

Стоп. Сверили с ответами (ответы также открываются ручкой). Максимум 4 балла. Занесли результаты в лист самоконтроля. У кого меньше 3 б.? Разобрать ошибки.

4 этап. При решении данных уравнений вы использовали различные методы.

Назовите их. И в чем идея каждого метода?

-Возведение в степень (общий метод);

-Введение новой переменной (метод замены);

-Разложение на множители (правило расщепления).

ОТВЕТЫ:

1. Возведение в степень.

а) Сначала изолируют (уединяют) 1 радикал, затем обе части возводят в одну и ту же степень, чтобы получилось рациональное уравнение.

б) Если 2 или более радикала, то сначала изолируют 1 из радикалов, затем обе части уравнения возводят в одну и ту же степень, и повторяют операцию до тех пор, пока не получится рациональное уравнение.

Что важно помнить?

- При возведении в четную степень возможно появление постороннего корня, в нечетную степень - нет.

2) Введение новой переменной.

Если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины, принимают его за новую переменную и решают относительно новой переменной. Затем найти исходную величину.

3) Метод разложения на множители.

Пользуемся правилом: Произведение равно нулю, а остальные при этом имеют смысл.

Мы разбирали следующие СХЕМЫ РАВНОСИЛЬНОГО ПЕРЕХОДА, при котором выполнять проверку не нужно:

= g(x) ↔ = ↔

g(x) = 0 ↔

Но все же чаще решаем иррациональные уравнения путем замены уравнения его следствием. Пожалуйста, перечислите пункты АЛГОРИТМА решения иррациональных уравнений:

1. Найти ОДЗ переменной, содержащейся под знаком корня.

2. Перейти от уравнения к его следствию.

3. Найти корни полученного уравнения.

4. Проверить, являются найденные корни, корнями исходного. (Проверяются те корни, которые входят в ОДЗ!)

Выслушали ответы. За верные ответы по 0,5 б. дополнительно.

5 этап. К доске идут 2 ученика решать уравнения средней сложности. Остальные решают самостоятельно.

1) - = 2 - ученик решает у доски

2) = 2 - - ученик решает на доске

3) (х - 1) = 0 - самостоятельно у доски, под шторкой верное решение.

1 уравнение. (решение под шторкой, которая открывается ручкой)

ОДЗ: ↔ х -1 ОТВЕТ: 15, -1

2 уравнение. (решение под шторкой)

Введем замену: = t, t ОТВЕТ: 4.

3 уравнение. Решают у доски.

х-1 = 0 или = 0 ОТВЕТ: -1; 2

Проверить решения. Найти ошибки, если они есть.

6 этап. 2 задание: Итак, разобрали 3 метода, а теперь самостоятельно разбейте в 3 колонки по методам решения (на доске разбросаны уравнения). Только букву соответствующего уравнения.

1 метод 2 метод 3 метод

Возведение в степень Введение переменной Разложение на множители

И) (х² - 5х - 6) = 0 3) - 2 = 1 Д) + = 12

Ж) = - Г) = 1

Е) (х+1) = х +1,3 А) - 1=х

Б) х² +11+ = 42

В) (х²-9) = 0

Проверим. Уравнения перетягиваются ручкой по колонкам. Максимум-3б.

1 метод 2 метод 3 метод

Возведение в степень Введение переменной Разложение на множители

А) - 1 = х Б) х² +11+ = 42 В) (х²-9) = 0

Г) = 1 Д) + = 12 Е) (х+1) = х +1

Ж) = - З) -2 = 1 И) (х² - 5х - 6) = 0.

7 этап. 3 задание: Решите уравнения, выбрав уровень сложности. Ответы открываются.

1 уровень- по 2б. 2 уровень- по 2,5б 3 уровень- по 3б.

А) - 1 = х, Г) = 1, Ж) = -

2 1 4

Б) +11+ = 42, Д) + = 12, З)- 2 = 1

5 76 2,5

В) (-9) = 0, Е) (х+1) = х +1, И) ( - 5х - 6) = 0.

2; -3 -2;6

8 этап. Кто справился с заданием, получит дополнительное задание (творческое):

Самостоятельно разобрать метод анализа уравнения (пристального взгляда).

МЕТОД АНАЛИЗА УРАВНЕНИЯ

1) = -1,

2) ,

3) = 1.

4) = 1,

5) = 3,

6) = 2,

7)

8) + = 4,

9) = -2,

10) ,

11) - 2. Затем, учащиеся разобравшие новый метод, объясняют остальным.

9 этап. Подводится итог урока.

Подсчитываются баллы. Согласно критериям, выставляются оценки в листах ответов.

10 этап. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:

1) § 8 с.61, № 124,130 (п.34 с.208 авт. Колмогоров). Разбор нового метода «Метод исследования монотонности функции», который будет рассмотрен на прикладном курсе.

2) Домашнее задание, для кто не набрал баллы на «4» и «5». Решить уравнения:

1. Возведением в степень:

1) х + = 6

2)

3)

2. Введением новой переменной:

4) х + = 2

5) = 6

3. Разложением на множители:

6) (25-х²) = 0

7) (х² -9) = 0.

Для самостоятельного изучения.

МЕТОД ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИИ. Использование монотонности функции, входящих в уравнение, упрощает техническую часть решения.

Свойства монотонных функций и теорема о корне:

1. Сумма возрастающих функций- функция возрастающая на их общей области определения. Сумма

убывающих функций- функция убывающая.

2. Разность возрастающей и убывающей функций- функция возрастающая на из общей области определения. Соответственно, разность убывающей и возрастающей- убывающая.

3. Теорема о корне: Пусть у = f(x)- монотонная на некотором промежутке функция. Тогда при любом значении а уравнение f(x)=а имеет на этом промежутке не более одного корня. Наглядный смысл теоремы: горизонтальная прямая у=а может пересечь график монотонной функции у=f(x) не более чем в одной точке (т.е. либо вообще его не пересекает, либо пересекает в единственной точке).

а) - = 2. Первый радикал при увеличении х возрастает, а второй- убывает, но он вычитается из первого, поэтому их разность возрастает. Следовательно, уравнение имеет не более одного решения. Легко найти, что х = 1.

б) +=8. Левая часть- возрастающая функция. Поэтому существует не более одного решения данного уравнения. Подбором найдем этот корень х=10.

в) ++ = 6. Левая часть- возрастающая функция. Единственный корень х = 7.

МОНОТОННОСТЬ ФУНКЦИИ

1)

2) = 3,

3)

4)

Спасибо за урок! Все хорошо поработали!