Тема урока: «Целые и рациональные числа» (6 класс)

Рассмотрим записанные числа.

Сначала записаны примеры целых чисел. 2 - это целое положительное число. - это целое отрицательное число. Число ноль - целое число, которое не является ни положительным, ни отрицательным.

Далее записаны примеры положительных и отрицательных дробных чисел, а затем примеры смешанных чисел.

Попробуем все эти числа записать в виде отношения:

Любое целое число можно записать в виде такой обыкновенной дроби, взяв за знаменатель единицу, а за числитель - само это число.

Рассмотрим обыкновенные дроби. Число уже представляет собой искомую дробь.

Дробь можно записать как . Отметим удобный технический прием. Знак минус, который стоит перед дробью, можно при необходимости записать или в числитель, или в знаменатель.

Представим рассматриваемые десятичные дроби как обыкновенные.

Итак, любую десятичную дробь можно записать в подобном виде. Для этого нужно:

Любое смешанное число можно представить в виде неправильной дроби.

Итак, мы смогли записать все данные числа в виде отношения . Более того, мы поняли, как найти для любого известного нам числа. Значит, мы получили признак, который объединяет их в одно множество. Это множество называется множеством рациональных чисел.

Сформулируем определение.

Оказывается, есть числа, которые не являются рациональными. Примером такого числа является число π. Как мы помним, число π - это отношение длины окружности к ее диаметру. Подробнее с подобными числами вы познакомитесь в курсе математики старшей школы.

Рассмотрим примеры.

Переведем обыкновенную дробь в десятичную. Дробную черту можно заменить знаком деления. Значит, . Выполнив деление в столбик, получим 0,4. Заметим, что это можно было сделать иначе. Число 10 кратно 5. Поэтому дробь можно привести к знаменателю 10, умножив ее числитель и знаменатель на 2.

Попробуем, рассуждая аналогично, перевести обыкновенную дробь в десятичную. Будем делить 1 на 3 в столбик. Получим сначала ноль целых, потом 3 десятых. Далее при делении все время будут повторяться остаток 1, а в частном - цифра 3. Деление никогда не кончится. Эту дробь нельзя представить в виде десятичной дроби. Для записи числа нужна бесконечная десятичная дробь.

Сделаем вывод.

Например, дроби можно перевести в десятичную дробь, а вот дробь перевести нельзя.

Рассмотрим дробь . Разделим 5 на 11. Получим в частном 0 целых, 4 десятых, 5 сотых. Далее при делении все время будут чередоваться остаток 5 и 6, а в частном - цифры 4 и 5. Такую запись называют периодической дробью.

Сделаем замечание.

Любое рациональное число можно записать не только в виде обыкновенной дроби, но и в виде либо десятичной, либо периодической дроби.

Рассмотрим, как записывают и читают периодические дроби:

Мы видим, что в этих записях одна или несколько цифр повторяются бесконечно много раз. Повторяющуюся часть называют периодом дроби. Данные числа можно прочесть так: ноль целых и три в периоде; ноль целых и сорок пять в периоде; ноль целых, ноль десятых и шесть в периоде.