Конспект урока по теме: Геометрическая прогрессия в банковских расчётах

Урок в 9 классе

Учитель: Ювкина Г.В.

Тема урока:

«Применение геометрической прогрессии в экономике.»

Цели урока:

Образовательные:

систематизировать знания уч-ся по теме «Геометрическая прогрессия».

Объединить элементы двух наук математики и экономики. Познакомить с

работой банков.

Развивающие:

развитие мыслительной деятельности, кругозора, творческих способностей,

логического мышления, речи, внимания и памяти.

Воспитательные:

воспитание интереса к математике и её приложениям, активности, умения

общаться, общей культуры

Структура урока

1.Организационный этап.

2.Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению нового

материала: сообщение темы урока. формулировка целей и задач, постановка

перед учащимися учебной проблемы.

3.Этап усвоения новых знаний: вводная лекция учителя, просмотр

мультимедийного объекта.

4. Этап закрепления новых знаний: решение задач, самостоятельная работа.

5. Этап информации учащихся о домашнем задании.

Ход урока

1.Организационный этап.

2.Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению нового

материала: сообщение темы урока. формулировка целей и задач, постановка

перед учащимися учебной проблемы

3.Вводная лекция учителя.

Геометрическая прогpессия играет большую роль при построении математических моде­лей экономики. Она используется при рас­четах бaнка c вкладчиком, заемщика c бан­ком, при определении суммарной способ­ности кредитования системы банков, при вычислении завтрашней стоимости сегод­няшних денег и во многих других вопросах. Рассмотpим некоторые из таких приложе­ний геометрической прогрессии.

Коммерческие банки обеспечивают связь между теми, кто накапливает деньги,

теми, кто берет их в долг, т. e. банк является посредником в любых экономичес­ких делах.

Деловые люди обращаются в коммерчес­кий банк всякий раз, когда хотят сохранить, накопить, вложить деньги в какое-либо дело или взять их в долг. Тех, кто помещает деньги в банк, финансисты называют в к л а д ч и к а м и, а сами вклады называют д е п о з и т а м и. Вкладчики получают в бан­ке прибыль в виде процентов, начисляемых на вклaд.

Банки не просто хрaнят деньги, как хра­нит чемодан кaмера хpанения на вокзaле. Банки дают деньги взаймы тем, кто в них нуждается. Те, кто одалживают деньги у банка, называются з а е м щ и к а м и. Деньги, предоставляемые банком заемщику, называ­ются кредитом (от латинскот credit - «он верит») на условиях возвратности и с обяза­тельной выплатой заемщиком процентов за пользование кредитом. За счет этих процен­тов банк оплачивает доходы вкладчикам и существует сам. Граждане хранят в банках свои сбережения, ведут расчеты по различ­ным платежам, берут ссуды на строительст­во и т. д. Предприятия хранят в банках прибыль и через банки расплачиваются с партнерами. Государство через банки опла­чивает свои закупки и т. д.

Коммерческие банки вьпголняют две ос­новные функции:

1. Они накапливают бессрочные вклады, т. е, открывают текущие счета (владелец вклада может как снимать с него деньги, так и увеличивать вклад, делая новые вло­жения), оплачивают чеки, выписанные на имя своих вкладчиков, хранят различные срочные вклады населения и т. д.

2. Банки предоставляют кредиты пред­принимателям, фермерам, торговцам и т. д.

Рассмотрим теперь схематически, что про­исходит с деньгами внутри самой системы банков, каким образом «банки создают день­ги».

Работу коммерческих банков контролирует один или несколько центральных банков. В России этот кон­троль осуществляет Центральный банк Рос­сии.

Центральным банком устанавливается, что определенная доля вкладов в банк должна быть обязательно в резерве банка в виде наличных денег. Они обычно хранятся в Центральном банке России, который ими и распоряжается. Их называют обязательными резервами банка. Остальные деньги можно давать в кредит под определенные процен­ты. Из этих доходов вкладчикам выплачива­ются проценты за пользование их деньгами. Доля резервов обычно колеблется от 5% до 20-25 %.

Итак, обязательную, или резервную часть вклздов коммерческие банки переводят в Центральный банк России, а остальные день­ги идут на ссуды и инвестиции. Их называ­ют избыточными, или свободными резерва­ми. Так, если в коммерческий банк положе­на сумма в 100 000 р., а обязательные резер­вы составляют 15 %, то сумма обязатель­ных резервов банка составляет 15 000 р., а свободные резервы составляют 85 000 р. _ =100 000 р. - 15 000 р. Эту сумму коммер­ческий банк может дать в кредит, вложить в какое-либо дело и т. д. Таким образом, каждый отдельно взятый коммерческий банк может выдать кредитов только на величину избыточных резервов.

Замечательное свойство современной сис­темы коммерческих банков состоит в том, что способность к кредитованию у всех коммерческих банков, вместе взятых, гораз­до больше, чем у каждого банка в отдель­ности. Так группа людей может справиться с работой, которая непосильна любому от­дельно взятому человеку!

Выясним, как это происходит. Сделаем два упрощающих предположения.

1. Будем считать, что доля обязательных резервов составляет 20 %, т. е. любой банк обязан хранить в Центральном банке Рос­сии наличными 20 % поступившего в него вклада. Остальные 80 %о вклада составляют свободные резервы банка, на которые он может выдзть кредиты.

2. Как только у банка появляются свобод­ные резервы, он отдает их в кредит только одному заемгцику, который лриобретает то­вары на всю сумму кредита и оплачивает их чеком. Продавец, получив деньги за товары, полностью переводит их на свой счет в другом банке.

Проследим теперь за продвижением де­нег внутри системы коммерческих банков.

Пусть клиент А заработал 100 000 р. и поместил их в банк Альфа; 20 % этой Сум­МЫ, т. е. 20 000 р. банк Альфа оставляет наличными деньгами в резерве и переводит их в Центральный банк, а остальные деньги в размере 80 000 р. образуют свободные резервы, на которые банк открывает кредит заемщику Х. Заемщик Х приобретает у про­дзвца В нужные ему товары нз всю сумму - 80 000 р. - и расплачивается чеком. Прода­вец В полученные за товар деньги перево­дит на свой текущий счет в банк Бета. Таким образом, в результате этой опера­ции банк Бета получил новый вклад разме­ром в 80 000 р. Теперь он производит те же операции, которые проделал банк Альфа - 20 %о полученного вклада, т. е. 16 000 р. он оставляет наличными деньгами в резерве и переводит их в Центральный банк, а сво­бодные резервы в размере 64 000 р. дает в кредит заемщику У, открыв на его имя текущий счет на 64 000 р. Заемщик Уприоб­ретает нужные ему товары у продавца С и расплачивается чеком. Продавец С получил деньги за товар и полностью перевел их на свой текущий счет в банке Гамма.

Остановимся и подсчитаем.

Банк Альфа получил вклад в 100 000 р. и мог выдать кредитов только на сумму 80 000 р., но вместе с банком Бета они выдали креди­тов на общую сумму

80 000 р. + 64 000 р. =144 000 р.

Благодаря тому, что банк обязан хранить не весь вклад, а только 20 % вклада, банки смогли выдать кредитов на сумму 144 000 р., в то время, как первоначальный вклад со­ставлял только 100 000 р.!

В этом и состоит главная особенность банковской системы: эта система может сделать то, что не в состоянии сделать никакой отдельно взятый банк.

Продолжим дальше.

Мы остановились на том, что банк Гамма получил от банка Бета 64 000 р. В свою очередь, он должен перевести в Централь­ный банк обязательные резервы в размере 12 800 р., а свободные резервы в размере 64 000 р. - 12 800 р. = 51 200 р. может дать в кредит.

Пусть банк Гaммa дает эти деньги в кредит заемщику Z, нз имя которого банк от­крывает текущий счет на сумму 51 200 р. За­емщик Z обратился к продавцу D, закупил нужные ему товары и расплатился за эти товары чеком на сумму 51 200 р. Продавец D получил деньги за товар и полностью перевел их на свой текущий счет в банке Омега. Банк Омега, поlучив вклад на сумму51 200 р., поступает так же, как и все пре­дыдущие банки: 20 %е, т. е. 10 240 р. отправ­ляет в свои обязательные резервы, а на сво­бодные деньги 40 960 р. = 51 200 р.- 10 240 р. открывает кредит. После операций, аналогич­ных описанным выше, 40 960 р., предло­женные в кредит банком Омега, попадут в банк Орион, который оставит в резерве 20 %, т. е. 8 192 р., а свободные резервы в размере 32 768 р. = 40 960 р. - 8 192 р, дает в кредит. Сумма 32 768 р., которую готов предоста­вить в кредит банк Орион, в конце концов попадет в банк Персей, который поступит так же, как поступали все лредыдущие банки.

Этот процесс продолжается до тех пор, пока деньги не попадут в последний из банков рас­сматриваемой системы.

Подведем итог и сведем в табл. 1 все полученные выше результаты, касающиеся рассмотренных шести банков. Напомним, что у каждого банка, кроме первого, вели­чина вклада совпадает с величиной свобод­ных резервов предыдущего банка. Свобод­ные резерны первого банка определяются величиной вклада в этот банк.

Таблица 1Наименование

банка

Величина

нового вклада

(в рублях)

Обязательные

Резервы

(в рублях)

Свободные

Резервы

(в рублях)

Альфа

100 000

20 000

80 000

Бета

80 000

16 000

64 000

Гамма

64 000

12 800

51 200

Омега

51 200

10 240

40 960

Орион

40 960

8 192

32 768

Персей

32 768

6 553,6

26 214,4

Вычислим суммарный объем кредитов, выданных этими шестью банками. Обозна­чим его s₆. Прежде всего заметим, что кредиты банков образуют геометрическую прогрессию с первым членом а=80000 и

знаменателем q=1-p, где р=, а р_о равно

числу процентов, отчисляемых в обязатель­ный резерв. В данном елучае

р_о=20 %, т. е. р_о = 0,2, q=1-0,2=0,8

Тогда

S₆=80000+80000 • 0,8+80000. (0,8)²+80000. (0,8у+80000. (0,8)+80000. (0,8)⁵.

Используем формулу для нахождения сум­мы п членов геометрической прогрессии

S_п = а

при п=6, а=80000, q=0,8. Тогда

S₆ = 80000 = 295142,4 р.

/

Таким образом, если первый из банков, банк Альфа, мог предоставить кредитов только на сумму 80 000 р., то система из шести банков сумела выдать кредитов на сумму 295 142,4 р., т. е. примерно в 3,7 раза больше, чем один банк Альфа.

Пусть п- число банков, выдающих кре­диты по описанной выше схеме.

Если число п будет очень большим, то сумма S с ростом числа банков п будет неограниченно приближать­ся к числу S = сумме членов беско­нечно убывающей геометрической прогрес­сии.

Таким образом, число S показывает предельную величину суммарного кредита системы банков при неограниченном коли­честве банков

Опишем в общем случае эту ситуацию для п-банков.

Таблица 2Банк

Величина

вклада

Величина

обязательных

резервов

Величина

свободных

резервы

А₁

p

А₂

p

²

А₃

²

² p

³

-

-

-

-

А_п

^п-2

^п-2 p

^п-1

А_п-1

^п-1

^п-1 p

^п

Суммарную величину кредитов S_п будем вычислять по формуле

S_{п =}S₀

Предельную сумму кредитования будем вычислять по формуле

S = S₀

Описанную ситуацию экономисты называют многодипозитным расширением.

4.Попробуем порешать задачи на нахождение выше названных величин. Используем калькулятор и результат округляем до сотых.

1.Имеется система, состоящая из 5 банков В₁, В₂, В₃ , В₄ , В₅. Норма обязательных резервов, установленная Центральным банком, составляет p = 10%. В банк В₁ внесён вклад в размере 500000р. Вычислите:

а) обязательные и свободные резервы каждого банка;

б) величину кредитов, которые вместе могут предоставить банки В₁, В₂, В₃ , В₄ , В₅;

в) предельную величину кредитования для достаточно большой системы банков.

Решение.

а)S₀ = 500000р., р_о=10%, p= р_о/100 =10/100 =0,1.Банк

Величина

вклада

(в рублях)

Обязательные

Резервы

(в рублях)

Свободные

Резервы

(в рублях)

В₁

500 000

50 000

450 000

В₂

450 000

45 000

405 000

В₃

405 000

40 500

364 500

В₄

364 500

36 450

328 050

В₅

328 050

32 805

295 245

б) S₅=1842795р.

в)S=4500000р.

2. В первый банк системы банков В₁, В₂, В₃ , В₄ внесен вклад размером 12 000 р. Какой процент составляют обязательные резервы, если второй и четвертый банки способны вы.дать совместно кредитов на сумму 13 000 р.? (Результаты округлите до сотых долей.)

3.В первый банк системы банков В₁, В₂, ..., В₆ внесен вклад размером s₀. Норма обязательных резервов р_о составляет 12%. Можно ли изменить p₀ так, чтобы:

а) величина свободных резервов банка В₄ увеличилась в полтора раза;

б) величина свободных резервов банка В₄ увеличилась вдвое;

в) величина свободных резервов банка В₄ уменьшилась на 30 %о?

В случае а) сравните (в процентах) воз­можности суммарното кредитования всей системой банков при исходной и новой норме обязательных резервов.

Самостоятельная работа

I вариант

1. В первый банк системы, состоящей из десяти банков В₁, В₂, ..., В₁₀, внесен вклад 50 000 р. при норме обязательных резервов равной 12 %. Найдите:

а) величину обязательных резервов банка В₄;

б) величину свободных резервов банка В₇;

в) величину суммарных кредитов, которые могут предоставить все банки этой системы;

г) предельные возможности кредитования .

2. Найдите величину первоначального вклада s₀ в первый банк системы банков В₁,B_Z, В_з, В₄, В₅ так, чтобы при норме обязат­ельных резервов 10 % свободные резервы банка В_З составляли

656 100 р.

II вариант

1. В первый банк системы, состоящей из шести банков: В₁, B_z, В_З, В₄, В₅, В_б, внесен вклад 120 000 р. при норме обязательных резервов, равной 8 %. Найдите:

а) величину обязательных резервов банка В₅;

6) величину свободных резервов банка В₄;

в) величину суммарных кредитов, которые могут совместно предоставить все банки этой системы;

г) предельные возможности кредитования.

2. Найдите величину первоначального вклада s₀ в первый банк системы банков В₁, В₂, В_з, В₄, В₅, если при ставке обязательных резервов 20 °/о свободные резервы банка В, составляют 122 880 р.

5.Итог урока. Домашнее задание.