Конспект урока по геометрии на тему 'Движения' (9 класс)

Основная цель данной темы - познакомить учащихся с понятием движения на плоскости: осевой и центральной симметриями, параллельным переносом, поворотом. Здесь вводятся понятия отображения плоскости на себя, движения, наложения.

Понятие отображения плоскости на себя как основы для введения понятия движения рассматривается на интуитивном уровне с привлечением уже известных учащимся понятий осевой и центральной симметрий. Изучение понятия движения и его свойств дается в ознакомительном плане.

Наложение, одно из основных понятий изучаемого курса геометрии, есть отображение плоскости на себя.

Особое внимание следует уделить выработке навыков построения образов точек, отрезков, треугольников при симметриях, параллельном переносе, повороте.

Изучение темы приходится на последние полтора месяца учебного года. Надо ли говорить, что в преддверии последнего звонка и выпускных экзаменов времени катастрофически не хватает.

Поэтому идея провести, в качестве первого вводного урока, урок в компьютерном классе при поддержке компьютерной программой «Живая математика» кажется нам обоснованной.

Цели урока.

1. Ввести понятие отображения плоскости на себя.

2. Рассмотреть осевую и центральную симметрии.

3. Рассмотреть свойства движений.

4. Научить учащихся применять свойства движений при решении задач.

5. Познакомить учащихся с параллельным переносом и доказать, что параллельный перенос есть движение.

6. Показать применение параллельного переноса при решении задач.

7. Познакомить учащихся с поворотом.

8. Доказать, что поворот есть движение.

9. Научить учащихся осуществлять поворот фигуры.

С первого взгляда урок может показаться перегруженным, а его задачи невыполнимыми. Но не будем забывать, что цели данного курса предполагают изучать движения в ознакомительном плане и на интуитивном уровне. Кроме того, возможность построений и решения задач с помощью компьютера значительно экономит время на уроке, позволяя осуществить всё, что было запланировано. А такие задачи, как закрепление знаний учащихся по теме «Движения», развитие и совершенствование навыков решения задач на движение, будут реализованы на следующих уроках.

Возможно так же проведение сдвоенного урока.

Этапы урока:

1. Повторение темы «Центральная и осевая симметрия», подготовка к изучению нового материала (происходит параллельно со знакомством с программой «Живая математика»)

2. Изучение нового материала. Понятие движения.

а) Введение понятия «отображение плоскости на себя».

б) Введение понятия «движение».

в) Введение понятия «параллельный перенос».

г) Введение понятия «поворот»

3. Закрепление изученного материала. Разноуровневая самостоятельная работа.

Оборудование:

1. Компьютерная программа «Живая математика», с помощью которой проходит изучение новой темы.

2. Проектор.

3. Экран.

4. Карточки с самостоятельной работой (2 уровня сложности).

Ход урока.

1. Повторение темы «Центральная и осевая симметрия». Подготовка к изучению нового материала.

• На координатной плоскости заданы точки: A(2;3), B(-4;6), C(2;0), D(0;-5). Отметьте точки:

• симметричные A и D относительно оси OY

• симметричные B и C относительно оси OX

• симметричные A и B относительно начала координат.

Строка меню ГрафикиЗадать систему координат. Воспользуемся инструментом «точка», чтобы отметить точки, заданные по условию задачи. Щелчок правой кнопкой мыши на точке раскрывает контекстное меню. Теперь вы можете Показать имя. Активизируем инструмент «стрелка». Выделите с помощью инструмента «стрелка» одним щелчком интересующую вас точку и двумя щелчками нужную ось. Через меню ПреобразованияОтразить получаете точку симметричную данной.

• Какие условия должны выполняться, чтобы точка считалась симметричной данной точке относительно:

  • прямой;

• • • • • • • точки?

Щёлкнув правой кнопкой на вновь полученной точке, выполняем команду Показать имя.

Для того, чтобы правильно построить фигуру, симметричную

относительно начала координат, надо, выделив объекты как описано выше, выполнить команду ПреобразованияГомотетия, выставив предварительно в поле Заданное отношение отношение 1/-1. (Почему мы будем пользоваться этой командой, выполняя построение фигур симметричных относительно точки, вы узнаете позже.)

• Постройте фигуру симметричную:

• • относительно прямой.

Выполните команду ФайлНовый чертёж. С помощью инструмента «отрезок» постройте произвольный треугольник. Присвойте имя данной фигуре, так как вы это делали на прошлом чертеже. Выделив инструментом «стрелка» треугольник, вы можете через меню Вид задать желаемый Цвет и Толщину линий. Инструмент отрезок один из составных частей инструмента «линейка», которая содержит так же инструменты «луч» и «прямая». Воспользуемся инструментом «прямая», чтобы начертить ось симметрии. Для того чтобы построить фигуру симметричную данной относительно прямой в данной компьютерной программе «живая математика», выполним команду ПреобразованияОтразить, как вы это уже делали. На виртуальном чертеже появился ещё один треугольник.

• Как можно назвать эти фигуры? (Симметричными относительно прямой)

• Дайте определение фигур, симметричных относительно прямой.

Проверим, являются ли соответственные вершины двух треугольников симметричными относительно прямой a:

• Принадлежат ли вершины данных треугольников одной и той же прямой перпендикулярной прямой а?

Выделите инструментом «стрелка» одну из вершин исходного треугольника и прямую а. Выполните команду ПостроенияПерпендикуляр.

Вы получили прямую, проходящую через вершину треугольника перпендикулярно к оси симметрии. Обратите внимание: эта прямая проходит так же и через соответствующую вершину второго треугольника. Щёлкнув на перпендикуляре к прямой а правой кнопкой, в контекстном меню выберите Пунктирная. Теперь нам удобно зрительно различать основные и вспомогательные линии.

• На одинаковом ли расстоянии от точки пересечения перпендикулярных прямых расположены данные вершины?

Выделите инструментом стрелка концы интересующего вас отрезка. Команда ИзмеренияРасстояние позволит увидеть длину данного отрезка в сантиметрах. Аналогичные действия выполните и по отношению к другому отрезку.

Проверьте, симметричны ли другие соответственные вершины треугольников?

Мы получили фигуру идентичную исходной, т. е. фигуру для которой расстояния между точками были сохранены такими же как у первой фигуры.

• • относительно точки.

Откройте Новый чертёж. Постройте произвольный четырёхугольник. Покажите имя. Постройте произвольную точку. Переименуйте её, воспользовавшись контекстным меню, в точку О. Выделите четырёхугольник и двойным щелчком - точку О. Выполните команду ПреобразованияГомотетия. В поле Заданное отношение выставьте отношение 1/-1.

• Как можно назвать эти фигуры? (Симметричными относительно точки)

• • • Дайте определение фигур, симметричных относительно точки.

Проверьте, являются ли соответственные вершины двух четырехугольников симметричными относительно центра О.

Соедините соответствующие вершины отрезками. Команда: ПостроенияОтрезок. Измерьте длины отрезков.

Вы видите, что и при центральной симметрии мы получили фигуру, для которой расстояния между точками оказались сохранены, а значит мы можем совместить эти фигуры наложением.

Учащиеся познакомились с интерфейсом программы, воскресили в памяти понятия осевой и центральной симметрий. Теперь они готовы усваивать новую информацию.

2. Изучение нового материала. Понятие движения.

1. Ввести понятие отображения плоскости на себя.

Определение: Пусть каждой точке плоскости ставится в соответствие какая-то точка этой же плоскости, причем любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке. В таком случае говорят, что дано отображение плоскости на себя.

• Приведите примеры из курса геометрии, когда мы встречаемся с отображением плоскости на себя. (Осевая симметрия, центральная симметрия.)

Откройте на рабочем столе чертежи № 2 и № 3.

Мы с вами практически доказали, что осевая и центральная симметрии есть отображение плоскости на себя.

Вывод: Осевая и центральная симметрии являются отображением плоскости на себя.

2. Ввести понятие движения.

• Каким общим свойством обладают осевая и центральная симметрии? (При центральной и осевой симметрии сохраняется форма и размеры фигуры.)

Определение: Отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния, называют движением.

• • Постройте произвольный треугольник и его образ при симметрии относительно точки пересечения его медиан.

Для построения медианы треугольника вам, как и всегда в таких случаях, необходимо будет найти середину стороны. Воспользуйтесь командой ПостроенияСередина, предварительно выделив инструментом «стрелка» сторону треугольника, к которой будете проводить медиану.

• Сколько медиан достаточно провести, чтобы определить точку их пересечения? Почему?

• Как построить фигуру симметричную относительно точки?

• Как мы теперь будем называть преобразования, сохраняющие расстояния между точками при отображении плоскости на себя?

• В какую фигуру отображается при движении отрезок? Прямая? Луч? Угол? Треугольник?

Вывод: при движении отрезок отображается на отрезок, треугольник - на равный ему треугольник, угол - на равный ему угол.

• • Найти на окружностях точки, симметричные относительно прямой а.

Для построения окружностей воспользуйтесь инструментом «циркуль».

Необходимо построить окружности, симметричные данным относительно этой прямой. Точки их пересечения и будут точками окружностей, симметричными относительно данной прямой.

Ответ: симметричны относительно прямой а точки D и B; C и A

• • Дана равнобокая трапеция ABCD. Постройте фигуру, симметричную данной относительно биссектрисы угла А.

Постройте произвольным образом одну из боковых граней и одно из оснований трапеции. Для того чтобы построить второе основание трапеции, выделим инструментом «стрелка» основание и точку, через которую пройдёт прямая, параллельная данной. Выполните команду ПостроенияПараллельная прямая.

• • • Как построить боковую сторону равную уже имеющейся на реальном чертеже? (С помощью циркуля.)

Выделите центр будущей окружности и отрезок, длину которого вы хотите взять в качестве радиуса. Меню ПостроенияОкружность по центру и радиусу. Отметьте точку пересечения окружности и прямой, содержащей основание трапеции. Дайте ей имя. Вызовите правой кнопкой контекстное меню для окружности и скройте её. Инструментом «отрезок» постройте боковую сторону CD и обозначьте основание трапеции AD. Теперь скройте прямую.

Для того чтобы построить биссектрису заданного угла, надо последовательно выделить три точки так, чтобы точка, являющаяся вершиной оказалась второй по счёту.

Выполните команду ПостроенияБиссектриса. Постройте фигуру, симметричную данной относительно биссектрисы угла А.

• • • Дайте определение ДВИЖЕНИЯ.

    • Проверьте, сохранены ли расстояния между точками в исходной и построенной с помощью осевой симметрии фигурах.

• • Дан тупоугольный треугольник ABC. Построить фигуру, симметричную данной относительно центра описанной около него окружности.

Постройте треугольник.

• Где лежит центр описанной около треугольника окружности?

• Как построить середину отрезка?

• Как построить перпендикуляр? (Выделить прямую и точку, через которую будет проходить перпендикуляр. Меню: ПостроенияПерпендикуляр.)

• Сколько серединных перпендикуляров достаточно построить, чтобы определить точку их пересечения? Почему?

Мы с вами тренировались в построении фигур при осевой и центральной симметриях, которые являются частными случаями движения. Сейчас мы познакомимся с другими видами движения.

3. Параллельный перенос.

Определение: Параллельным переносом на вектор

называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка отображается в такую точку , что .

Рассмотрим задачу.

• • Дан четырёхугольник ABDC.

A(2;5), B(-3;7), C(-1;-1), D(-6;1). Укажите координаты вершин четырёхугольника , полученного путём параллельного переноса на вектор из четырёхугольника ABCD.

Постройте четырёхугольник, воспользовавшись командами ГрафикиЗадать систему координат и

ГрафикиПостроить точку с координатами. В открывшемся окне Нанести точи задайте координаты точки.

Отметим вектор переноса. Для этого выделим последовательно две точки: начало и конец вектора. Теперь нам доступна команда ПреобразованияОтметить вектор.

Выделите четырёхугольник ABCD. Меню ПреобразованияПеренос Вызовет окно Перенос, в котором вы имеете возможность задать способ переноса. В данном случае переключатель стоит на позиции Отмеченный, т.к. вы уже отметили вектор переноса.

Мы выполнили параллельный перенос на вектор .

Ответ:

Что называется параллельным переносом на вектор ?

• Постройте образ треугольника АВС при параллельном переносе на

4. Поворот.

Определение: Поворотом плоскости вокруг точки О на угол называется отображение плоскости на себя, при котором точка отображается в такую точку , что , .

• Постройте образ отрезка ВC при повороте вокруг точки О на 60° против часовой стрелки.

Воспользуемся определением поворота плоскости. Выполните операцию поворота для каждого из концов отрезка в отдельности.

Выделите точку В одним щелчком, а центр поворота - двумя. Выполните команду ПреобразованияПовернуть. В отобразившемся окне диалога команды повернуть задайте требуемый угол. Программа строит новую точку В' в качестве образа точки В. Покажите пунктирной линией отрезки ВО и ОВ'. Измерьте величину угла ВОВ', для этого последовательно выделите точки В, О, В'. Выполните команду Угол меню Измерения. Выполните те же операции по отношению к точке С.

• Постройте образ треугольника АВС при повороте вокруг точки А на 45° по часовой стрелке.

• • Какое отображение плоскости называется поворотом?

    3. Закрепление изученного материала. Самостоятельная работа.

1 УРОВЕНЬ:

Начертите разностороннюю трапецию ABCD. Постройте её образ:

1. при симметрии относительно точки А;

2. при симметрии относительно ВС;

3. при параллельном переносе на вектор (О - точка пересечения диагоналей трапеции;

4. при повороте вокруг точки D на 90° по часовой стрелке.

2 УРОВЕНЬ:

Дан параллелограмм ABCD. Постройте его образ:

1. при симметрии относительно АК (К - середина стороны CD);

2. при симметрии относительно точки О (О - центр вписанной в треугольник ABC окружности);

3. при параллельном переносе на вектор (О - точка пересечения диагоналей параллелограмма);

4. при повороте вокруг вершины D на 120° против часовой стрелки.