Урок по математике на тему 'Тригонометрические функции одного аргумента' (10 класс)

Урок по теме «Тригонометрические функции числового аргумента»

Предмет математика____________ Класс 10_____________________________

Тема урока Тригонометрические функции числового аргумента________________

Средства, обеспечивающий учебный процесс на уроке:

• Алгебра и начала математического анализа. Профильный уровень. Часть 1. Учебник. Часть 2. Задачник. А. Г. Мордкович и др.;

• Раздаточный материал._

• Учебная таблица.___________________________________

Образовательные результаты, на достижение которых направлено содержание урока:

Продолжить изучение основных формул тригонометрических функций одного аргумента. В результате чего ученики должны:

- личностные : убедиться в значимости ответственного отношения к учению, учиться преодолевать трудности, развивать коммуникативную компетентность в общении и сотрудничестве со сверстниками;

- метапредметные: уметь выбирать наиболее эффективные способы решения, оценивать правильность применения алгоритма; продолжить развитие навыков само - и взаимоконтроля.

- предметные : находить значения тригонометрических функций по заданному значению одной; узнавать выражения, которые преобразуются с помощью основных тригонометрических тождеств на базовом уровне и повышенной сложности и упрощать их, использовать формулы сокращенного умножения как инструмент для упрощения и вычисления значений тригонометрических выражений.

Тип урока:

Урок применения знаний и умений

Данный урок является 10 из 23 по теме раздела «Тригонометрические функции»

и 2 из 2 по теме «Тригонометрические функции числового аргумента».

Структура урока:

1. Организационный - 1 мин.

2. Проверка домашнего задания - 3 мин.

3. Мотивация учебной деятельности через осознание учащимися практической значимости применяемых знаний и умений, постановка темы, целей и задач урока - 2 мин.

4. Осмысление содержания и последовательности применения практических действий при выполнении предстоящих заданий - 5 мин.

5. Самостоятельное выполнение учащимися заданий под контролем учителя - 20 мин.

6. Обобщение и систематизация результатов выполненных заданий - 6 мин.

7. Подведение итогов урока и постановка домашнего задания - 3 мин.

1. Организационный - 1 мин.

Цель учащихся: полная готовность класса и оборудования к работе.

Цель учителя: организация внимания учащихся.

Деятельность учащихся

Деятельность учителя

Примечание

Дежурный сдает рапорт

Приветствует учащихся.

2. Проверка домашнего задания - 3 мин.

Цель учащихся: устранить в ходе проверки обнаруженные пробелы в знаниях.

Цель учителя: установить правильность и сознательность выполнения всем классом задания.

Деятельность учащихся

Деятельность учителя

Примечание

Перед началом урока на доске в демонстрационном варианте 3 учащихся выполняют домашнее задание.

Учащиеся сравнивают свои решения с решениями на доске.

Двое учащихся записывают на доске тригонометрические формулы одного аргумента

Один ученик рисует числовую окружность и расставляет знаки по четвертям числовой окружности тригонометрических функций, заполняет таблицу.

Учитель проходит по классу, просматривая работы в тетрадях учащихся и отмечая выполнение домашней работы.

Обращает внимание учащихся на правильность решения на доске.

В случае, если кто-то не выполнил домашнее задание, учитель приглашает его на консультацию после уроков.

№ 14.14(б)

= , 0 < t < . Найти : , , .

Решение: Из формулы + = 1 находим: = 1 - .

= 1 - ( ; = ; = - или = .

t принадлежит 1 четверти, т. е. , значит = .

= = ; = = =2,4.

Ответ: = , , 2,4

№ 14.15 (б)

, < t < . Найти : , , .

Решение: Из формулы + = 1 находим: = 1 - .

= 1 - (, = , = .

t принадлежит 2 четверти, т. е. , значит = .

= = - = - 2, 4; = =

Ответ: = , = - 2, 4, = .

№ 14.16 (б)

= 2,4, , < t < . Найти: , .

Решение: Из формулы = находим = .

Из формулы 1 + t = находим: = .

= ; = ; = - или = .

t принадлежит 3 четверти, т. е. , значит .

Из формулы tg t = находим: = tg t .

= 2,4 () = -

Ответ:= - , , = .

Формулы

1. + = 1 4. tg t ctg t = 1

2. tg t = 5. 1 + t =

3. ctg t = 6. 1 +ct =

3. Мотивация учебной деятельности через осознание учащимися практической значимости применяемых знаний и умений, постановка темы, целей и задач урока - 2 мин.

Цель учащихся: осознать значимость приобретаемых знаний и умений.

Цель учителя: организовать и целенаправить познавательную деятельность учащихся.

Деятельность учащихся

Деятельность учителя

Примечание

Записывают в тетради тему урока. Отвечают на вопросы учителя.

• Выбирая учебу в 10 классе школы, мы заранее знали, что нас ожидает ЕГЭ. Чтобы быть успешным в жизни, нужно получить хорошее образование, т.е. хорошо закончить школу , успешно сдать экзамены и поступить в ВУЗ. Если сейчас не думать об этом, то можно «опоздать на целую жизнь».

Организует учащихся для записи даты, темы урока.

Задает вопросы учащимся:

• Сегодня на уроке мы должны продолжить изучение темы программы. У вас на столе есть распечатка заданий ЕГЭ по этой теме. Все эти задания, наряду с другими, являются прототипами В10, т.е. обязательным результатом обучения. Понятно, что на одном уроке невозможно рассмотреть все задания, но сформулировать алгоритм решения, применить изученные формулы, решить некоторые примеры - многие из вас уже могут.

• Кто считает, что еще рано готовиться к ЕГЭ?

• Вы сегодня пересели с одного ряда на другой по собственным ощущениям понимания темы. Кто-то хочет пересесть, внимательно посмотрев на предлагаемые задания?

Если кто-то осознал, что самостоятельное решение будет даваться тяжело, то пересаживается на другой ряд.(1ряд - быстро двигаюсь вперед ; 3 ряд - иногда нуждаюсь в помощи; 2 ряд - нужна постоянная помощь)

3. Осмысление содержания и последовательности применения практических действий при выполнении предстоящих заданий - 5 мин.

Цель учащихся: сформулировать алгоритмы выполнения заданий, осмыслить связи и отношения между тригонометрическими функциями.

Цель учителя: выяснение уровня осознанности применения формул у большинства «средних» и «слабых» учащихся

Деятельность учащихся

Деятельность учителя

Примечание

Отвечают на вопросы:

• Мы можем считать независимую переменную t числовым аргументом, но можем считать эту переменную и мерой угла , т.е. угловым аргументом. Поэтому в заданиях ЕГЭ используется независимая переменная .

• При выполнении первого и второго заданий будем использовать основное тригонометрическое тождество.

• При выполнении 3 задания сначала используем тригонометрическую единицу, а затем определение тангенса.

• Если числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же выражение, не равное нулю, то значение дроби не изменится.

• Чтобы сумму разделить на не равное нулю выражение, можно каждое слагаемое разделить на это выражение.

• Произведение крайних членов верной пропорции равно произведению средних членов этой пропорции.

• Значение выражения не изменится, если его умножить на единицу.

Ставит перед учащимися вопросы:

• Почему в формулах, которые мы выучили, записана переменная t, а в предложенных нам заданиях - ?

• Какую формулу будем использовать при выполнении первого задания? Второго задания? Третьего задания? (на доске записывает алгоритмы выполнения первых трех заданий ).

• Сформулируйте основное свойство дроби.

• Как разделить сумму на не равное нулю выражение?

• Сформулируйте основное свойство пропорции.

• Изменится ли значение выражения, если его умножить на единицу?

Организует обсуждение норм оценок:

«3» - 2 - 3 задания;

«4» - 4 - 5заданий;

«5» - 6 заданий.

Организует устный счет.

Учитель корректирует ответы учащихся, помогает правильно сформулировать правило. Учащиеся, которые уже уверены в своих знаниях («сильные»), начинают выполнять работу, не дожидаясь остальных.

Для слабых учащихся еще раз проговариваются основные этапы решения работы.

Задания для устного счета:

1. какие знаки имеют синус и косинус по четвертям числовой окружности?

четверть

1 (0; 0,5)

2 (0,5π; π)

3 (π; 1,5π)

4 (1,5π; 2π)

cos t

+

-

-

+

sin t

+

+

-

-

tg t

+

-

+

-

2. возвести в квадрат: , , .

3. выполнить вычитание: 1 - , 1 - , 1 - , 1 - .

3. Самостоятельное выполнение учащимися заданий под контролем учителя - 20 мин.

Цель учащихся: активно включиться в практическое выполнение заданий, продемонстрировать умения применять тригонометрические формулы и вычислительные навыки.

Цель учителя: организовать помощь тем, кто затрудняется выполнять задания.

Деятельность учащихся

Деятельность учителя

Примечание

Отвечает на вопросы, проходит по рядам и контролирует работу учеников, организует пары взаимопомощи.

Если учащиеся затрудняются выполнить 1 -3 задания, то ему оказывается помощь учителем или более успешным учеником.

Для выполнения 4 - 6 заданий вызываются к доске учащиеся.

Тем, кто выполнил все задания самостоятельной работы дается дополнительное задание №14.20 (б)

№14.20 (б) Известно, что sin t - cos t = . Вычислить 9 sin t cos t.

Решение : возведем обе части верного равенства в квадрат. Получим :

= ;

1 - = ; = ; 9 sin t cos t = 4.

Ответ : 4

3. Обобщение и систематизация результатов выполненных заданий - 7 мин.

Цель учащихся: систематизировать и сформировать конкретное представление об алгоритме нахождения значений тригонометрических функций.

Цель учителя: добиться осмысления, обобщения и систематизации знаний и навыков, способов их применения.

Деятельность учащихся

Деятельность учителя

Примечание

Задают вопросы.

( Возможные вопросы)

1. Почему в одних случаях значения синуса и косинуса положительны, а в других - отрицательны?

2. Почему на месте числа 5 мы можем написать + ?

3. Почему обе части верного равенства мы делили на или ?

Организует ответы на вопросы, которые задают ученики или отвечает на них сам.

Задает вопрос учащимся:

• Над чем необходимо поработать на следующих уроках?

Если ученики не могут сформулировать вопросы, то учитель задает вопросы.

Т.к. + = 1, то синус и косинус не могут одновременно равняться 0.

В выражениях, содержащих одновременно и синус, и косинус с ненулевыми коэффициентами и значением, не равным нулю, косинус не может равняться 0.

3. Подведение итогов урока и постановка домашнего задания - 3 мин.

Цель учащихся: оценить качество своей работы и своих одноклассников, записать домашнее задание и понять способы его выполнения.

Цель учителя: установить, как работал класс, кто из учащихся работал особенно старательно, сообщить о о домашнем задании, разъяснить методику его выполнения.

Деятельность учащихся

Деятельность учителя

Примечание

Учащиеся называют наиболее активных одноклассников, сообщают о своих успехах.

Записывают домашнее задание.

Сдают тетради на проверку.

Выставляет оценки за работу у доски и активную помощь одноклассникам.

Сообщает о домашнем задании:

Стр. 117 - 119, 115 - 116 (формулы); №14.20 (а), №14.18 (а)

Собирают тетради на проверку.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1.

Вариант 1

1. Найдите , если и .

2. Найдите , если и

3. Найдите , если и .

4. Найдите , если .

5. Найдите , если .

6. Найдите , если .

Вариант 2

1. Найдите , если и .

2. Найдите , если и .

3. Найдите , если и .

4. Найдите , если .

5. Найдите , если .

6. Найдите , если .

Таблица ответов

6 вариантов по теме «Тригонометрические функции одного аргумента»

В10

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6

Задание 1

0,1

- 0,7

- 0,5

- 0,25

0,4

0,1

Задание 2

- 0,2

0,9

0,3

0, 1

0,9

- 0,25

Задание 3

0.6

- 0,2

- 2,5

- 0,6

- 1,5

- 0,5

Задание 4

- 6

- 1

- 0,5

- 1,75

- 0,1

- 1,5

Задание 5

3

0,75

3

1,5

0,2

7

Задание 6

0,6

6

2,9

18

0,5

2