МЕтодическая разработка Основные понятия тригонометрии

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа №531 Красногвардейского района

Санкт-Петербурга

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

Основные понятия тригонометрии

Подготовила

учитель математики

Смирнова Галина Васильевна

г. Санкт-Петербург
2015

Основные понятия тригонометрии

Расширение понятия угла

В тригонометрии мы рассматриваем угол как фигуру, полученную поворотом луча вокруг его начальной точки Луч может вращаться против часовой стрелки - тогда получаем положительные углы. Если луч вращается по часовой стрелке, то угол считается отрицательным. Таким образом мы можем получить углы любой величины. При этом разные по величине углы могут иметь одинаковые начальные и конечные стороны.

Радианная и градусная мера угла

Углы измеряются в градусах и радианах. Один градус ( обозначение 1° ) - это поворот луча на 1 / 360 часть одного полного оборота. Таким образом, полный оборот луча равен 360°. Один градус состоит из 60 минут ( их обозначение 1' ); одна минута - соответственно из 60 секунд ( обозначаются 1" ).

Угол в 1 радиан, это центральный угол, который опирается на дугу окружности, длина которой равна длине радиуса.

Чтобы найти радианную меру угла надо найти отношение длины дуги, проведенной произвольным радиусом и заключённой между сторонами этого угла, к радиусу дуги.

Справедливы формулы зависимости между радианной и градусной мерой.

Таблица значений наиболее часто встречающихся углов в градусах и радианах:

Углы в градусах

30º

45º

60º

90º

180º

270º

360º

Углы в радианах

Тригонометрический круг. Поворот точки вокруг начала координат

Для понимания тригонометрии необходимо освоить понятия, связанные с, так называемым, тригонометрическим кругом. Тригонометрический круг - построенная на плоскости с прямоугольными декартовыми координатами окружность, имеющая центр в точке начала координат и радиус, равный 1.

В этой окружности рассматривают два диаметра: горизонтальный AA' и вертикальный BB'. Они делят плоскость на четыре координатные четверти. У всех рассматриваемых углов начальная сторона будет совпадать с лучом ОА. Если конечная сторона угла лежит в какой-то четверти, то говорим, что это угол лежит в этой четверти.

Каждому углу на единичной окружности соответствует единственная точка, полученная поворотом точки на угол .

Если углы равны, то точки совпадают, но если точки совпали, то углы отличаются на , где k- некоторое целое число.

Каждому числу t на числовой прямой мы можем сопоставить точку на единичной окружности. Для этого необходимо повернуть точку на угол t радиан.

Синус, косинус, тангенс и котангенс

Рассмотрим на координатной плоскости окружность единичного радиуса с центром O в начале координат. Повернем точку(1;0) на угол . Получим точку.

Косинусом угла α называется абсцисса x точки .Синусом угла α называется ордината y точки .При этом тангенсом угла α называется отношение синуса этого угла к косинусу, а котангенсом угла α называется отношение косинуса этого угла к его синусу.

Вычисление значений тригонометрических функций.

Используя определения тригонометрических функций можно найти значения тригонометрических функций часто используемых в тригонометрии углов.

0

sin

0

1

0

1

0

cos

1

0

1

0

1

tg

0

1

Не определено

0

Не определено

0

сtg

Не определено

1

0

Не определено

0

Не определено

Знаки синуса, косинуса и тангенса.

Из определения тригонометрических функций следует, что синус положителен там, где положительна ордината, то есть в 1 и11 четверти. Косинус положителен в 111 и 1У четвертях, а тангенс в 1 и 111.

Синус, косинус и тангенс углов a и - a.

Из определения тригонометрических функций следует, что косинус -функция четная, а синус, тангенс и котангенс - нечетные, то есть

Задания с решением.

1. Найти значение выражения

Решение.

Находим в таблице значения тригонометрических функций нужных нам углов и подставляем их в данное выражение

Ответ5,5

2. Определить знак числа

Решение

Найдем все углы на окружности

- это угол в 1У четверти

это угол в 1 четверти

_{отрицательное число}

_{отрицательное число, значит отрицательное число.}

это угол 111четверти

это угол второй четверти

_{отрицательное число}

_{отрицательное число, значит отрицательное число.}

_{Произведение двух отрицательных чисел положительно, значит число положительное}

_{Ответ-число положительное}

3. Расположить в порядке возрастания

Решение

Найдем все углы на окружности

это угол второй четверти

это угол третьей четверти

это угол четвертой четверти

Ясно, что число положительное, а и отрицательны.

По рисунку видно, что больше чем

Ответ ,,

4. Вычислить

Решение

По свойству четности для косинуса и свойству нечетности для синуса получаем

Тогда

Ответ -12

5.Расположить в порядке возрастания

Решение

Найдем все углы на окружности

Вспомним, что 1 радиан Тогда

2 радиана - это примерно 114º -это угол второй четверти

4 радиана -это примерно 228º -это угол третьей четверти

По рисунку видно, что < <

Ответ ,,

Задания для самостоятельного решения

1. Определить знак числа

2. Расположить в порядке возрастанияSin 140^o, Sin 190^o, Sin 280^o.

3. Определить знак числа

4. Расположить в порядке возрастания

5. Определить знак числа

6. Расположить в порядке возрастания

7. Определить знак числа

8. Определить знак числа

9. Определить знак числа

10. Определить знак числа

11. Расположить в порядке возрастания

12. Определить знак числа

13. Расположить в порядке возрастания

14. Определить знак числа

15. Расположить в порядке возрастания

16. Определить знак числа

17. Расположить в порядке возрастания

18. Определить знак числа

19. Расположить в порядке возрастания

20. Определить знак числа

21. Определить знак числа

22. Определить знак числа

23. Определите знак числа

24. Определите знак числа

25. Определите знак числа

26. Найти значение выражения

27. Найти значение выражения

28. Найти значение выражения

29. Найти значение выражения при

30. Найти значение выражения при
    

31. Найти значение выражения при и

32. Найти значение выражения при и
    

Алгебраические соотношения между тригонометрическими функциями

одного и того же аргумента

sin ²x + cos ²x = 1

1 + tg ² x = 1 + ctg ² x =

tgx ctg x = 1

С помощью данной группы формул и знания знака тригонометрических функций можно находить значения всех тригонометрических функций угла по значению одной из них.

Задания с решением.

1.Найти значения синуса, тангенса и котангенса угла , если и <<

Решение

Рассмотрим основное тригонометрическое тождество для угла sin ²+ cos ² = 1 и подставим в него вместо его значение .

Получим sin ²+ = 1

Тогда sin ²= 1-; sin ²= 1 ; sin ²=

Будем извлекать квадратный корень с учетом того, что << ( то есть угол лежит в 1У четверти), а синус в этой четверти отрицателен. Получаем sin = =

Найдем теперь тангенс угла .Имеем , то есть .

Так как tg ctg = 1, то

Ответ sin = ;;

2. Найти значения синуса, косинуса и котангенса угла , если и <<

Решение

Так как tg ctg = 1, то

Рассмотрим тригонометрическое тождество для угла 1 + tg ² = и подставим в него вместо его значение .

Получим Тогда; ; .

Будем извлекать квадратный корень с учетом того, что << ( то есть угол лежит в 1У четверти), а косинус в этой четверти положителен. Получаем

Для того, чтобы найти синус угла рассмотрим основное тригонометрическое тождество для угла sin ²+ cos ² = 1 и подставим в него вместо его значение .

Получим sin ²+ = 1

Тогда sin ²= 1-; sin ²= ; sin ²=

Будем извлекать квадратный корень с учетом того, что << ( то есть угол лежит в 1У четверти), а синус в этой четверти отрицателен. Получаем sin = =

Ответ ; ;

Формулы сложения аргументов

sin ( х + у ) = sin х cos у + cos х sin у

sin ( х  у ) = sin х cos у  cos х sin у

cos ( х  у ) = cos х cos у + sin х sin у

cos ( х + у ) = cos х cos у  sin х sin у

Задания с решением.

1.Найти

Решение

Ответ

2.Вычислить

Решение

Ответ

3. Найти

Решение

Ответ

Формулы двойного аргумента

cos 2х = cos ²х  sin ²х

sin 2х = 2 sin х cos х

tg 2x =

Следствие из формул двойного аргумента

1 + cos 2х = 2 cos ²х

1  cos 2х = 2 sin ²х

Задания с решением.

1.Вычислить

Ответ 8

2. Вычислить

Ответ 48

ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ

Вы наверно замечали, что во всех справочных таблицах по тригонометрии указаны значения тригонометрических функций для углов от 0 до 90 градусов. Почему?

Потому что значения всех других углов могут быть приведены к значениям функций от углов от 0 до 90 градусов. Помогают в этом так называемые формулы приведения и периодичность тригонометрических функций.

Действительно, благодаря периодичности значение тригонометрических функций от любого угла равно значению той же функции от угла в пределах от 0 до . А любой угол из интервала от 0 до может быть представлен в одном их восьми видов:

, где некоторый острый угол

С помощью формул сложения можно вывести 32 формулы, которые и называются

формулами приведения.

В таблице даны формулы приведения для тригонометрических функций.

Подметим закономерности в этих формулах : всегда получается либо та же самая функция, либо кофункция от угла

В правой части формулы стоит либо знак « + » либо знак «»

Для того, чтобы не запоминать 32 формулы ,запомним правило

1.ПРАВИЛО ВЫБОРА НАЗВАНИЯ ФУНКЦИИ( правило лошади)

Если в формуле содержатся углы вида или , то есть угол отложен от «вертикального» диаметра, то название функции меняется, а если в формуле содержатся углы вида , или , то есть угол отложен от «горизонтального» диаметра, то название функции не меняется

2. ПРАВИЛО ВЫБОРА ЗНАКА

Для того чтобы определить знак в правой части формулы достаточно определить знак левой части формулы, считая угол острым.

Задания с решением.

1. Упростить выражение

Решение

Воспользуемся нечетностью синуса и его периодичностью6 =

Подставим все в исходное выражение

Ответ 1

2.Упростить выражение

Решение

Ответ -4

Задания для самостоятельного решения

1. Найти значение выражения.

2. Найти значение выражения. .

3. Вычислить .

4. Вычислить .

5. Вычислить .

6. Вычислить .

7. Вычислить . .

8. Вычислить .

9. Вычислить .

10. Вычислить .

11. Вычислить .

12. Вычислить .

13. Вычислить.

14. Вычислить .

15. Вычислить .

16. Вычислить .

17. Вычислить .

18. Найдите , если и .

19. Найдите , если и .

20. Найдите , если и .

21. Найдите , если и .

22. Найдите , если .

23. Вычислить , если

24. Вычислить , если
    
    

25. Вычислить , если

26. Упростить

27. Упростить

28. Упростить
    
    

29. Упростить
    
    

30. Упростить
    
    

31. Упростить

32. Вычислить

33. Упростить

34. Вычислить
    
    

35. Найти значение выражения

36. Найти значение выражения при

37. Найти значение выражения при

38. Найти значение выражения , если

39. .Найти значение выражения при .

40. Найти значение выражения при .
    
    

41. Найти значение выражения при .

42. Найти значение выражения , если .

43. Вычислить .

44. Вычислить:

45. Найти значение выражения , если и .

46. Найти значение выражения , если .

47. Найти значение выражения , если .

48. Найдите , если .

49. Найти, если .

50. Найдите , если и .

51. Найдите , если и .

52. Найдите , если .

53. Найдите , если .

54. Найдите , если .

55. Найдите , если .

56. Найдите , если .

57. Найдите , если .

58. Найдите , если .

59. Найдите , если .

60. Найдите , если .