Презентация на тему 'Параметрически заданные кривые'. 11 класс профильный уровень

Параметрически заданные кривые.

Построение графиков параметрически заданных кривых.

(Слайд 1) План:

1. Вступление

   1. Представление работы

   2. Обоснование выбора темы

2. Основная часть

   1. Цели

   2. Основная часть

3. Завершение

   1. Подведение итогов

Тема работы выбрана не случайно, так как параметрически заданным кривым в настоящее время уделяется немало внимания.

(Слайд 2) Цели:

Рассмотреть различные виды кривых и их практическое применение.

Основная часть.

В курсе математического анализа мы знакомились с исследованием функций f:R-R и построением их графиков с помощью дифференциального исчисления. Однако, существуют и так называемые параметрически заданные кривые, описание которых задаётся системой x=Ф(t); y=Ш(t); tc[a,b], где Ф и Ш непрерывны на отрезке. Таким образом, параметрически заданная кривая - это отображение из отрезка в пространство.

Справедлива теорема о строении парамертически заданной кривой в окрестности её обыкновенной точки, то есть в точке tо, где Ф'(tо) и Ш'(tо) не равны нулю одновременно. А именно: существует окрестность точки Utо, образ которой при отображении x=Ф(t); y=Ш(t); tc[a,b] есть график непрерывно дифференцируемой функции h(x) или g(y) при этом h'(x)=Ш'(tо)/Ф'(tо) или g'(y)=Ф'(tо)/Ш'(tо). И для этих «кусков» параметрически заданных кривых можно применять методы исследования, как для f:R-R. Покажем это на примерах.

(Слайд 3) 1. X=tlnt; Y=lnt/t.

(слайд 4) 2. Архимедова спираль - (Слайд 5) , плоская , траектория точки M, которая равномерно движется вдоль OV с началом в O, (Слайд 6) в то время как сам луч OV равномерно вращается вокруг O. Уравнение Архимедовой спирали в записывается так: p=kф, где k - смещение точки M по лучу r, при повороте на угол равный одному радиану.

Параметрические уравнения:

x = t * Cos (t); y = t * Sin (t), где t oт 0 дo бесконечности.

(Слайд 7) 3. Гиперболическая спираль - (Слайд 8) плоская . Уравнение гиперболической спирали есть обратное для уравнения и записывается так: pф=a.

Параметрические уравнения:

X=a(cos(t))/t; Y=a(sin(t))/t

(Слайд 9) 4. Гипоциклоида - (Слайд 10) так называется кривая, описываемая произвольной точкой М окружности радиуса r, катящейся без скольжения изнутри по другой, неподвижной, окружности радиуса R = kr.

В зависимости от отношения радиусов окружностей получаются различные по форме кривые.

Параметрические уравнения:

(Слайд 11) 5. Астроида - (Слайд 12) плоская кривая, служащая траекторией точки, лежащей на окружности радиуса r, катящейся без трения изнутри по неподвижной окружности радиуса R = 4r. Является частным случаем .

Параметрические уравнения:

Отрезок касательной к астроиде, заключенный между осями координат, для любой точки астроиды имеет одну и ту же длину, равную R.

(Слайд 13) 6. «Лист Декарта» - (Слайд 14) плоская фигура, ограниченная петлёй кривой X^3+Y^3=3aXY (a>0). Симметрична относительно прямой Y=X.

Параметрические уравнения:

Из найденных точек пересечения кривой и биссектрисы (X=3a/2; Y=3a/2) следует, что кривая пересекает точку (0,0) дважды, образую тем самым петлю. Но при всем при этом кривая берёт своё начало в точке О при t стремящемся к минус бесконечности, затем при t стрем. к -1 происходит разрыв, после которого кривая пересекает точку О при t=0 и возвращается в неё при t стрем. к плюс бесконечности. При этом кривая только один раз проходит через точку O=(0,0). А начало и конец её самой кривой не принадлежат.

Но более подробно хотелось бы остановиться на такой кривой как циклоида.

(Слайд 15) 7. Циклоида - (Слайд 16) , фиксированной точки окружности радиуса , катящейся без скольжения по .

Параметрическое уравнение:

X=rt - rsin(t); Y=r - rcos(t)

«Перевёрнутая» циклоида является (брахистохроной).

, скользящей по перевёрнутой циклоиде, не зависит от , этот факт был использован для создания точных .

Детали машин, которые совершают одновременно равномерное вращательное и поступательное движение, описывают такие кривые как - циклоида, эпициклоида, гипоциклоида, трохоида, астроида.

(Слайд 17) Также хотелось бы рассмотреть и бобслейные трассы.

Какой из бобов приедет первым. Боб зелёного цвета, катившийся по циклоидальной горке, приходит первым! Как мы видим, циклоида является наиболее подходящей траекторией. Если даны две различные точки, то через эти две точки можно провести циклоиду, с учетом того, что в верхней её точке находится точка возврата.

(Слайд 18) Рассмотрим отдельно задачу о таутохронности циклоиды. Рассмотрим три горки циклоиды, и поставим три боба на разные высоты горок. Невероятно, но все три боба одновременно пересекут линию финиша. Было доказано, что единственной таутохроной является циклоида.

Без знания циклоиды не обошлось и изготовление особо точных часов. Галилео Галилей был первым кто предложил делать маятниковые часы, опираясь на строение циклоиды. Но к сожалению его планам не суждено было сбыться. Следующим кто продолжил создание точных часовых механизмов был Христиан Гюйгенс. Гюйгенс решает задачу о таутохронности, но вопрос как заставить двигаться груз по циклоиде остаётся открытым. (Слайд 19) Пытаясь практически применить полученные знания Гюйгенс делает «щёчки», на которые наматывается верёвка маятника. Получается, что «щечки» представляют собой не что иное, как профиль самой циклоиды. Также эта конструкция помогает посчитать и длину самой циклоиды, которая к слову равна восьми радиусам производящего круга.(Слайд 20)

Как видно из представленной работы, параметрически заданные кривые, в частности циклоида, находят обширное применение на практике, будь то изготовление часов или конструкция бобслейных трасс. Изучая параметрически заданные кривые на парах математического анализа я и не мог предположить, что спектр их применения на столько обширен. И хотя я и рассмотрел конкретно только циклоиду, это отнюдь не означает, что другие рассмотренные мной кривые имеют меньшее значение чем циклоида.

В завершении своего выступления хочу отметить, что изучив параметрически заданные кривые я не намерен останавливаться на достигнутом, а намерен идти дальше и узнать больше об этих интересных и замысловатых «закорючках».