Конспект урока по математике на тему 'Показательные и логарифмические уравнения и неравенства'

Урок-игра в 10 классе по теме:

«Показательные и логарифмические

уравнения и неравенства»

Тип урока: итоговое обобщение и систематизация знаний

Цели урока: обобщение знаний по теме «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства»; применение знаний в игровой ситуации; умение ориентироваться в ранее изученном материале, переключаться с одного действия на другое; развитие познавательной активности; воспитание взаимоуважения, взаимоподдержки.

Правила урока-игры.

Учитель заранее определяет литературу, с которой надо познакомиться ученикам. Например, те, которые захотят играть на «красной» дорожке (стол или ряд с более сложными заданиями), должны знать материал, с учетом которого составлены некоторые вопросы.

Если участник игры не может ответить на тот или иной вопрос, право ответа предоставляется зрителям. За каждый правильный ответ вручается «звезда». По количеству звезд в конце урока преподаватель выставляет оценки. Количество подобранных вопросов и заданий дает возможность «поиграть трем тройкам».

Ведущий проводит жеребьевку для участников и устанавливает, кто на какой дорожке будет работать. Зеленая дорожка допускает две ошибки, желтая - одну, красная - ни одной. Заранее нужно заготовить «звезды» в соответствии с цветом дорожек и количеством вопросов. Для зеленой дорожки предусмотрено 4 вопроса, для желтой - 3, для красной - 2 вопроса для каждого игрока.

Участники игры:

Ведущий: преподаватель математики.

Игроки: обучающиеся.

Вопросы и задания для зелёной дорожки:

1 . Сделать анализ решения простейшего показательного уравнения.

Ответ: Уравнение вида а^х = b - простейшее показательное уравнение. Пусть основание а > 0 и а ≠1. Так как функция у = а^х строго монотонна, то каждое свое значение она принимает ровно один раз. Это означает, что уравнение а^х = b при b > 0 имеет одно решение, которое по определению логарифма имеет вид: х = 1оg_аb. Если b < 0, то уравнение а^х = b корней не имеет, так как а^х > 0. Если b записано в виде а^с, т. е. а^х = а^с, то оно имеет один корень х = с.

2. Сформулируйте общий результат решения простейшего показательного уравнения.

Ответ: Пусть а > 0 и а ≠ 1 . Уравнение а ^f(х) = а ^g(х) равносильно уравнению f(х) = g(х). Обратно: если f(х) = g(х), то а^f(х)=а^g(х).

3. Решите уравнение .

Ответ: Решение: , по свойству а ^f(х) = а ^g(х), f(х) = g(х) имеем х² + х - 3 = З, х² - 2х - 3 = 0, х₁ = -1, х₂= 3. Проверка:

1) 2^1-1-3 = 2³, 2³ = 2³.

2) 2^9+3-3 = 2⁹ , 2⁹ = 2⁹.

Ответ: х₁ = - 1 ; х₂ = 3.

4. Решите уравнение: 3 ∙ 4^х = 2 ∙ З^2х.

Ответ: Решение: 3 ∙ 4^х = 2 ∙ З^2х . Ответ: х=.

5. Сделать анализ решения простейшего логарифмического уравнения.

Ответ: Уравнение вида log_ax=b называется простейшим логарифмическим уравнением. Оно имеет единственное решение x=a^b при любом b.

5. Сформулируйте общий результат решения простейшего логарифмического уравнения.

Ответ: Уравнение log_af(x)=log_ag(x) равносильно уравнению f(x)=g(x), при ограничениях f(x)>0, g(x)>0.

7. Решите уравнение log₂(x-1)= log₂(5-х).

Ответ: Решение: х-1=5-х; 2х=6; х=3; х-1>0, 5-x>0, следовательно х=3.

8. Решите уравнение: lg (x²-x-3) = lg x.

Ответ: Решение: х²-х-3=х, х>0; х₁=3, х₂=-1, х>0. Ответ: х=3.

9. Сделать анализ решения простейшего показательного неравенства. Ответ: Неравенства вида a^x>b или a^x( a^x ≥ b, a^x ≤ b ) называются простейшими показательными неравенствами. Рассмотрим два примера из возможных вариантов.

1. Пусть, а > 1 и b > 0. Решением неравенства а^x > b является промежуток [lоg_ab; ∞), т. е. все числа х ≥ lоg_а b

2. Пусть а > 1 и b ≤ 0. Решением неравенства a^х ≥ b является множество
   всех действительных чисел R.

10.Решите неравенство

Ответ: Решение:; Ответ: х≤-2.

11. Решите неравенство 5^х < 3 ∙ 2^х

Ответ: Решение: 5^х < 3 ∙ 2^х равносильно х·lg5Ответ: х < (в решении использовалось то, что lg5-lg2>0.)

12. Решите неравенство: 5^х ≤ -5

Ответ: Решений нет, так как 5^x > 0.

Вопросы и задания для желтой дорожки:

1. Решите неравенство:.

Ответ: Решение: ;Ответ: хє(1; 3].

2. Сформулируйте два правила, которые нужно знать при решении показательных неравенств.

Ответ: Можно сказать, что неравенство типа а^f(х) > b мы решаем логарифмированием. При логарифмировании неравенства надо помнить:

1. в обеих частях неравенства должны стоять положительные числа;

2. при логарифмировании по основанию а > 1 знак неравенства сохраняется, если же 0 < а < 1, то знак неравенства меняется на противоположный.

3. Решите неравенство:

Ответ: Решение: сначала учтем условия х²-1 > 0 и х+5>0 , т.е. х є (-5; -1) U (1; ∞). Потенцируем логарифмическое неравенство, получим: х² - 1 ≤ х + 5 ; х² - х - 6 ≤ 0; - 2 ≤ х ≤ 3. Соединяя решения вместе, получим ответ: -2 ≤ х < 1 и 1 < х ≤ 3. Ответ: х є [-2;-1) U (1; 3].

4. Объясните суть основного приема введения новой переменной при решении показательных и логарифмических уравнений.

Ответ: Выражение показательных функций друг через друга - это введение новой неизвестной. Рассмотрим выражения: у₁ = 2^х, у₂ = 2^2х, у₃ = 2^-х, у₄ = . Все они могут быть алгебраически выражены друг через друга. Например, у₂ = у₁², у₃ = , у₄ =и т.д.

5. Какое условие необходимо выполнять при решении показательных уравнений и неравенств?

Ответ: Если в уравнении и неравенстве встречается несколько показательных функций, то надо всех их выразить через одну. Обычно после этого показательное уравнение или неравенство превращается в алгебраическое.

6. Решите уравнение: 3 ∙ 4^х - 2^х+3 + 8 = 2^2х+1 - .

Ответ: Решение: пусть 2^х = у. Тогда 4^х = у², 2^{х + 3} = 8у, 2^2х+1 = 2у², . Уравнение можно записать так: 3у² - 8у + 8 = 2у² - 2у; у² - 6у + 8 = 0, у₁=4,у₂= 2. Возвращаясь к неизвестной х, получим 2^х = 4, х=2; 2^х = 2, х= 1. Ответ: х₁ = 2, х₂ = 1.

7. Решите неравенство: 2^х - .

Ответ: Решение: делаем замену 2^х = у. Неравенство перепишем таким образом: у - (мы умножили неравенство на у, что можно, так как у = 2^х > 0 <=> -1 < у < 2). Так как 2^х > -1 верно при всех х, то остается решить неравенство 2^х < 2 , х < 1. Ответ: х < 1 или

х є (- ∞; 1).

8. Решите уравнение: .

Ответ: Решение: Делаем замену lg х = у. Получаем уравнение относительно у:

Возвращаясь к неизвестной х, получим 1gх = 2, х₁ = 100; lgх = 3, х₂ = 1000.

Ответ: х₁ = 100,х₂= 1000.

9. Какое правило необходимо помнить при решении логарифмического уравнения или неравенства?

Ответ: Если в уравнении или неравенстве встречается несколько логарифмических функций, то надо (если не удается избавиться от логарифмов потенцированием) выразить их через одну и свести логарифмическое уравнение или неравенство к алгебраическому.

Вопросы и задания для красной дорожки:

1. Как используются свойства монотонности показательной функции при решении показательных уравнений?

Ответ: Монотонность функции часто позволяет определить число корней уравнения, а иногда и найти их значение.

2. Решите уравнение: 2^2х = 5 - х, используя свойство монотонности показательной функции.

Ответ: Решение: В левой части уравнения имеем возрастающую функцию, а в правой - убывающую. Следовательно, уравнение не может иметь более одного корня. Один корень можно угадать: х = 1. Это число является окончательным ответом.

2. Решите уравнение: 4^х - 3^х = 1 , используя свойство монотонности показательной функции.

Ответ: Решение: 4^х - 3^х = 1. Одно решение х = 1 легко найти подбором. Докажем, что других корней нет. Перепишем уравнение так: 1 = . В правой части последнего уравнения сумма убывающих функций, т. е. значение у = 1 эта сумма может принять только один раз. Ответ: х= 1.

4. Вы знаете одно решение уравнения. В каких случаях вы можете доказать, что других решений нет?

Ответ: Используя свойство монотонности функций можно:

1. изобразить графики схематически и наглядно убедиться в правильности предположения;

2. представить, если возможно, левую или правую части уравнения в виде суммы (разности) убывающих функций и сделать вывод.

5. Решите уравнение: .

Ответ: Решение: х₁ = 2, х₂ = 6. Учитывая неравенства х - 3>0 и х- 5>0, получим х = 6.

6. Решите неравенство: .

Ответ: Решение: Решением этого неравенства является множество [2; 6). Учитывая неравенства х-3>0, х-5>0 получим х є (5; 6]. Ответ: х є (5; 6].

В конце урока подводим итоги и выставляем оценки.