Тригонометрические уравнения 10 класс

Обобщающее повторение:

Тригонометрические уравнения

Цели урока: повторить основные понятия по решению тригонометрических уравнений, знать общий вид решений простейших тригонометрических уравнений и частные случаи, уметь решать различные тригонометрические уравнения.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Устная работа.

Предложить учащимся ответить на вопросы, можно для этого использовать учебник (стр. 64 - 81)

1. Что называется арксинусом, арккосинусом, арктангенсом числа?

2. Какова формула корней уравнения ?

3. Перечислить частные случаи решения уравнения ?

4. Какова формула корней уравнения ?

5. Перечислить частные случаи решения уравнения ?

6. При каком значении уравнения и имеют решения?

7. Какова формула корней уравнения ?

8. При каком значении уравнение имеет решение?

3. Решение задач.

Разобрать решение уравнений

1) 2) 3)

Данные уравнения необходимы для закрепления навыков работы с усложненными аргументами.

4) 5) 6)

Эти уравнения позволяют научиться исключать из одной серии корней другую - постороннюю.

7)

Это уравнение позволяет отработать навыки объединения двух серий корней и записывать их в виде одной серии.

8)

Это уравнение позволяет научиться видеть, что одна серия решений содержится в другой, и выбирать в этом случае для записи правильного ответа нужную серию.

4. Проверочная работа.

Учащиеся решают подобные уравнения с использованием копирки, у всех одинаковое задание.

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

Листочки с копиями работ собираются и проверяются учителем, а оригинал работы остается у ученика в тетради.

Далее учащиеся меняются тетрадями в парах, проверяют эту самостоятельную работу с помощью кодоскопа. На оценку «3» - должно быть правильно решено 5 уравнений, на «4» - 6 уравнений, на «5» - 7 уравнений.

5. Рассмотрение примеров.

Вспоминаем три способа решения тригонометрических уравнений:

1) Метод сведения к квадратному, который состоит в том, что пользуясь формулами уравнение преобразовывается к такому виду, чтобы какую-то функцию обозначить через , получив при этом квадратное уравнение относительно .

2) Метод разложения на множители (вынесение за скобки общего множителя, группировка, применение формул сокращенного умножения).

3) Однородные уравнения вида - второй степени и так далее, где - числа, решаются делением на подходящую степень или . Но предварительно нужно доказать, что делитель не обращается в нуль.

Примеры.

1)

Ответ: .

2)

Ответ: .

3)

Ответ: .

6. Задание из ЕГЭ.

Задание 1В:

Сколько корней имеет уравнение ?

Ответ: 4.

Задание 2В:

Сколько корней имеет уравнение ?

Ответ: 5.

Задание 3В:

Сколько корней имеет уравнение ?

Ответ: 2.

7. Итоги урока.

8. Домашнее задание.

Решить № 164 (стр. 333).

Урок 89.

Обобщающее повторение:

Тригонометрическое уравнения.

Цели урока: систематизировать знания по данной теме, закрепить навыки решения различных тригонометрических уравнений.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Устная работа.

Предлагается сыграть в «домино» (не более 10 минут). Используется магнитная доска.

Начальная карточка

3. Решение уравнений.

Класс делится на 4 варианта.

Сначала выдаются карточки с заданиями на оценку «3» (базовый уровень).

1) Решите уравнения методом сведения к квадратному уравнению (10 мин).

Вариант 1.

Вариант 2.

Вариант 3.

Вариант 4.

2) Решите уравнения методом разложения на множители (8 мин).

Вариант 1.

Вариант 2.

Вариант 3.

Вариант 4.

3) Решите однородные тригонометрические уравнения (6 мин).

Вариант 1.

Вариант 2.

Вариант 3.

Вариант 4.

Затем выдаются карточки с заданиями на оценки «4», «5» (для тех, кто справился с базовым уровнем).

Указания учителя.

Вы прошли первый уровень усвоения материала. Теперь вам самостоятельно придется выбирать метод решения уравнений. Перед вами на плакате основные тригонометрические формулы и рекомендации по решению тригонометрических уравнений.

Решить уравнения (20 мин).

Самостоятельная работа оценивается следующим образом:

1) если ученик набрал 0, 1, 2 баллов, то оценка остается «3»;

2) если набрано 3, 4 балла, то оценка ставится «4»;

3) если набрано 5 баллов и более, то оценка ставится «5».

4. Итоги урока.

5. Домашнее задание.

Решить № 152 (стр. 298).

Урок 90.

Обобщающее повторение:

Логарифмические неравенства.

Цели урока: повторить свойства логарифмической функции, алгоритм решения логарифмических неравенств.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Устная работа.

Решить задачи:

1) По графику некоторой функции укажите формулу, которой она задана.

а) б)

в) г)

2) По графику функции найдите .

а) б) в) г)

3) Найдите область определения функции .

а) б)

в) г)

4) Решить неравенства.

а) б) в)

г) д) е) ж)

3. Решение задач.

Решить неравенства.

1) 2)

3) 4)

5)

6)

7) 8)

4. Задание из ЕГЭ.

Задание 1А:

Решите неравенство .

1) 2) 3) 4)

Ответ: 3.

Задание 2А:

Найдите число целых отрицательных решений неравенства .

1) 5; 2) 4; 3) 10; 4) ни одного.

Ответ: 2.

Задание 3С:

Решите неравенство .

Ответ: .

5. Итоги урока.

6. Домашнее задание.

Решить № 176 (стр. 300).

Урок 91.

Обобщающее повторение:

Иррациональные уравнения и неравенства.

Цели урока: повторить алгоритм решения иррациональных уравнений и неравенств, закрепить навыки решений иррациональных уравнений и неравенств.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Устная работа.

1) Решить уравнения.

2) Решить неравенства.

3. Решение задач.

Предложить учащимся решать уравнения и неравенства блоками, по несколько штук.

Блок 1.

Решить неравенства.

1) 2) 3)

Иногда учащиеся не учитывают, что последнее неравенство равносильно системе .

Блок 2.

Решить уравнения.

1) 2)

3) 4)

В последнем уравнении надо учесть, что его область определения - промежуток , поэтому - 3,5 не является корнем рассматриваемого уравнения.

Блок 3.

Решить уравнения.

1) 2)

3)

Два первых уравнения требуют стандартных приемов решения иррациональных уравнений. Для третьего уравнения более иррациональным представляется следующий подход: рассматриваемое уравнение не имеет корней, так как при любом допустимом его левая часть принимает отрицательные значения, тогда как правая - положительное число.

4. Задание из ЕГЭ.

Задание 1А:

Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения .

1) 2) 3) 4)

Ответ: 2.

Задание 2В:

Сколько корней имеет уравнение .

Ответ: 2.

Задание 3С:

Решите уравнение

Ответ: .

5. Итоги урока.

6. Домашнее задание.

Решить № 146 (стр. 297).

Урок 92.

Обобщающее повторение:

Исследование функции с помощью производной.

Цели урока: повторить теоретические знания по данной теме, задачи на исследование функций с помощью производной, построение графиков.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Устная работа.

Повторить все известные свойства функций (план исследования стр. 151), как они находятся.

3. Решение задач.

Выполнить следующее задание (записывается на доске и в тетрадях, каждую часть задания объясняет новый учащийся).

Дана функция , где .

а) Исследуйте функцию с помощью производной и запишите все ее свойства.

б) Постройте график функции.

в) Решите уравнение .

г) Решите неравенство .

д) При каких значениях уравнение имеет четыре корня?

4. Самостоятельная работа.

Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график.

Вариант 1 - .

Вариант 2 - .

Определите значения , при которых уравнение имеет два решения.

5. Итоги урока.

6. Домашнее задание.

Решить № 301 (г).

Урок 93 - 94.

Контрольная работа № 6.

Цели урока: проконтролировать знания учащихся.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Контрольная работа.

Вариант 1.

1) Найдите область определения функции

2) Решите уравнение

3) Решите неравенство

4) а) Исследуйте при помощи производной и постройте график функции

б) Определите значения , при которых уравнение имеет два решения.

5) Дана функция . Найдите:

а)

б) первообразную функцию , график которой проходит через точку .

Вариант 2.

1) Найдите область определения функции

2) Решите уравнение

3) Решите неравенство

4) а) Исследуйте при помощи производной и постройте график функции

б) Определите значения , при которых уравнение имеет два решения.

5) Дана функция . Найдите:

а)

б) первообразную функцию , график которой проходит через точку .

РЕШЕНИЕ.

Вариант 1.

1)

Находим решение системы

1. 2. 3.

Ответ:

2)

1.

2.

Ответ:

3)

- возрастающая функция, так как , значит

Решаем методом интервалов. Найдем нули функции и значения , в которых эта функция не существует:

Решение неравенства - интервал . Определим область допустимых значений исходного неравенства .

Решаем аналогично, методом интервалов.

Значит, решением неравенства является интервал .

Ответ: .

4) а)

Функция ни четная, ни нечетная, ни периодическая.

- критические точки.

- точка максимума, - точка минимума.

Функция возрастает при , убывает при .

б)

или

При или уравнение имеет два решения.

5)

а)

б)

Вариант 2.

1)

Находим решение системы

1. 2. 3.

Ответ:

2)

1.

2.

Ответ:

3)

- убывающая функция, так как , значит

Решаем методом интервалов. Найдем нули функции и значения , в которых эта функция не существует:

Решение неравенства - интервал . Определим область допустимых значений исходного неравенства .

Решаем аналогично, методом интервалов.

Значит, решением неравенства является интервал .

Ответ: .

4) а)

Функция ни четная, ни нечетная, ни периодическая.

- критические точки.

- точка минимума, - точка максимума.

Функция возрастает при , убывает при .

б)

или

При или уравнение имеет два решения.

5)

а)

б)

Урок 95.

Работа над ошибками.

Цели урока: провести анализ контрольной работы, закрепить знания, навыки и умения по темам, используемым в контрольной работе.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Итоги контрольной работы.

Разобрать ошибки контрольной работы, решить задания, в которых допущено наибольшее количество ошибок.

3. Самостоятельная работа.

Вместо работы над ошибками учащимся предлагается контрольная работа, рассчитанная на 2 часа. Ученики начинают ее выполнять в классе, а заканчивают дома.

Вариант 1.

1) Найдите область определения функции .

2) Решите уравнение . Найдите наименьший положительный его корень.

3) Решите систему уравнений:

4) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями .

5) Найдите на графике функций точки ближайшие к началу координат.

Вариант 2.

1) Найдите область определения функции .

2) Решите уравнение . Найдите наибольший отрицательный его корень.

3) Решите систему уравнений:

4) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями .

5) Найдите на графике функций точки ближайшие к точке .

4. Итоги урока.