- Учителю
- Урок по математике на тему 'Квадратное неравенство'
Урок по математике на тему 'Квадратное неравенство'
Квадратное неравенство. Решение квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции
Дата: ___________
Цели урока:
Коррекция и контроль знаний по теме «Квадратные неравенства».
Задачи урока:
Образовательные:
проконтролировать уровень усвоения способов решения квадратных неравенств.
Развивающие:
проверить уровень самостоятельности мышления по применению алгоритмов.
Воспитательные:
содействовать воспитанию у учащихся: трудолюбия и усидчивости; сознательной дисциплины на уроке.
Ход урока
1. Организационный момент.
2. Новый материал.
Квадратными называются неравенства вида
Причем важно, что старший коэффициент не может быть равен нулю: .
Решить неравенство:
Умножаем обе части неравенства на , чтобы старший коэффициент стал числом положительным. Получаем:
Так, мы видим, что любое квадратное неравенство можно преобразовать таким образом, чтобы старший коэффициент был положительным, поэтому будем рассматривать квадратные неравенства для случая .
Итак, решим заданное неравенство для положительного старшего коэффициента:
Рассмотрим функцию: , применяем теорему Виета,
Раскладываем на линейные множители:
Построим график функции (Рис. 1):
Рис. 1. График квадратичной функции
I способ решения неравенства
Произведение двух скобок - число отрицательное.
Произведение двух чисел отрицательное тогда, когда они разных знаков.
Если , тогда или , тогда
Исходное неравенство распалось на совокупность двух линейных систем.
или
Проиллюстрируем решение первой системы неравенств (рис. 2):
Рис. 2. Решение системы линейных неравенств
Красным показано множество решений первого неравенства. Зеленым - второго. Нас интересуют те значения, которые удовлетворят одновременно и первому неравенству, и второму. Очевидно, что это множество значений находится там, где присутствуют оба цвета. Так, решение первой системы:
Проиллюстрируем решение второй системы (Рис. 3):
Рис. 3. Решение системы линейных неравенств
Красным показано множество решений первого неравенства. Зеленым - второго. Аналогично первой системе, ищем решение второй системы там, где присутствуют оба цвета. Очевидно, что вторая система решений не имеет.
Ответ:
II способ решения неравенства. По графику функции получаем ответ. Очевидно, что вне корней функция положительна (график расположен над осью ), а внутри интервала корней функция отрицательна (график расположен под осью ). Так, заданное неравенство выполняется для всех , лежащих в интервале между корнями квадратного трехчлена:
Но корни квадратного трехчлена существуют не всегда, мы знаем, что два различных корня существуют тогда и только тогда, когда дискриминант его положителен.
Решить неравенства: 1) ; 2)
Построим график функции (Рис. 4):
Рис. 4. График квадратичной функции
Везде функция положительна, и только в одной точке она равна нулю (рис. 4).
1. или
2.
нет решений
Рассмотрим функцию: . Дискриминант этой функции равен нулю, значит, трехчлен раскладывается в полный квадрат.
Построим график функции (Рис. 5)
Рис. 5. График квадратичной функции
Функция везде положительная и только в одной точке при , она равна нулю.
Решить неравенства:
. Решением являются все значения , кроме . Ответ: или
Решение неравенства:
Нет решений. Квадрат числа не может быть отрицательным числом.
Решение неравенства
Рассмотрим функцию: . Дискриминант этой функции больше нуля..
Корнями здесь являются:
График этой функции - парабола (Рис. 6). Вне интервала корней парабола находится над осью , а значит, функция положительна. Внутри интервала корней парабола расположена под осью . Значит, функция при всех этих отрицательна. В точках функция равна нулю.
Рис. 6. График квадратичной функции
Рассмотрим все возможные неравенства, которые нам может предложить эта функция:
1.; искомые значения находятся вне интервала корней, причем границы входят в ответ, т. к. допускается равенство нулю квадратного трехчлена. Решение неравенства: или
2.; искомые значения находятся внутри интервала корней, причем границы не входят в ответ. Решение .
Рассмотрим функцию: . Дискриминант этой функции меньше нуля. . Функция не имеет корней
График функции:
График этой функции - парабола, ветви ее направлены вверх, она не соприкасается с осью Х, т. е. на всей оси, при всех значениях х функция - величина положительная (Рис. 7).
Рис. 7. График квадратичной функции
Выделим полный квадрат: . Если квадрат числа - величина неотрицательная, то при всех значениях
Рассмотрим все возможные неравенства, функции, где .
1. . Решение:
2. . Нет решений.
Рассмотрим решение неравенства, которое сводится к квадратному.
. Найти множество значений, при которых эта функция имеет смысл.
Решение неравенства:
Рассмотрим функцию: . Корни равны Изучим её свойства. Для этого схематически построим её график (Рис. 8).
Рис. 8. График квадратичной функции
Функция положительна вне интервала корней и отрицательна внутри интервала корней.
при или
Ответ: или
Подведение итога урока
На данном уроке была рассмотрена тема: «Решение квадратных неравенств». Вы узнали, что решение квадратных неравенств полностью базируется на решении квадратичных функций.
3.Закрепление. Решить на доске № _________________________________.
4. Итоги урока.
5. Домашнее задание. §____, № ___________.