Решение уравнений и неравенств с модулями

Решение уравнений и неравенств с модулями

| |f(x)|=a

|f(x)|=|g(x)|

|f(x)|>a

|f(x)|</</font>

|

Обобщение

5. |f(x)|=g(x)<=>

6. |f(x)|>g(x)<=>f(x)>g(x) или f(x)>-g(x)

7. |f(x)|-g(x)

Метод координат

Пусть даны точки A(x₁) и B(x₂); расстояние между точками есть модуль разности их координат: d(A;B)=|x₁-x₂|

Это понятие позволяет дать наглядное решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля.

Пример 1: Найти множество точек числовой прямой, координаты которых удовлетворяют условиям: а) |x-2|=3, б) |x-2|>3, в) |x-2|<3

Решение

Произвольную искомую точку обозначим X(x). Тогда расстояние от точки A(2) будет: а) d(X,A)=3, б) d(x,A)>3; в) d(X,A)<3.

Отложив от точки А вправо и влево по 3 единицы получили искомое множество:

Пример 2:Решить неравенство |2x+3|>5.

Решение

Разделив обе части неравенства на 2, получили: |x+1,5|>2,5. Решение видно из рисунка:

Ответ: ,

Пример 3: Решить уравнения:

а) |x+3|+|x-1|=4;

б) |x+3|+|x-1|=8;

в) |x+3|+|x-1|=2.

Решение

Левую часть уравнения можно рассматривать как сумму расстояний произвольной точки оси X(x) до двух данных точек A(-3) и B(1).

Заметим, что если точка X лежит на отрезке AB или совпадает с одной из данных точек, то d(A,X)+d(B,X)=d(A,B)=4.

Если точка X₁(x) лежит вне AB, то сумма ее расстояний до двух данных точек больше 4.

Поэтому уравнению а) удовлетворяют координаты любой точки [-3;1], т.е. -3≤x≤1

в) решений не имеет.

Для решения б) обозначим расстояние до ближайшей точки через a

Отложив от данных точек по 2 единицы (на продолжении отрезка AB), найдем корни уравнения: x₁=3, x₂=-5.

Пример 4. Решить уравнение |х + 5| = 1.

Решение. |х + 5| - это расстояние от точки х до точки -5. Таким образом, нужно найти на координатной оси такие точки, расстояние от которых до точки -5 равно 1. Таких точек две - это -4 и -6.

Замечание. Чтобы облегчить школьникам решение подобных уравнений, целесообразно сначала добиться безошибочных ответов на такие, например, вопросы: «Чему равно расстояние от точки -2 до 4?», «Какие точки находятся на расстоянии 2 отточки 0? отточки 1?», «Когда расстояние между точками равно нулю?», «Может ли расстояние между двумя точками выражаться числом - 1?»

Пример 5. Решить уравнение |х - 2| = -4.

Решение. В задаче требуется найти такие х, расстояние от которых до точки 2 равно -4. Так как расстояние не может быть отрицательным, то данное уравнение не имеет решений.

Пример 6. Решить неравенство |х - 2| > 3.

Решение. |х - 2| - расстояние от точки х до точки 2. Таким образом, нужно найти на координатной оси такие точки, расстояние от которых до точки 2 больше 3. Найдем сначала точки, находящиеся от точки 2 на расстоянии, равном 3. Их две - это - 1 и 5. Чтобы расстояние было больше 3, точка х должна быть расположена дальше, т.е. левее -1 или правее 5. Это точки, принадлежащие множеству: (-∞; -1) U (5; +∞).

Пример 7. Решить уравнение |х + 1| + |х - 3| = 6.

Решение. На языке расстояний требуется найти все такие точки х на координатной оси, чтобы сумма расстояний от X до точек -1 и 3 была равна 6. Изобразим эти точки на оси. Если х лежит на отрезке [-1; 3], то при любом ее расположении сумма расстояний от нее до точек -1 и 3 равна длине отрезка АВ, т.е. 4

Таким образом, точка X не может быть расположена между точками А и В, а лежит либо левее А, либо правее В. Пусть X лежит левее А, тогда сумма расстояний АХ + ВХ = 2АХ + АВ = 6. А так как АВ = 4, то АХ= 1. Следовательно, координата точки X равна -2.

Проводя аналогичные рассуждения для точки X, лежащей правее В, получаем, что X может иметь координату 4. (В этом случае 2ВХ + АВ = 6 и расстояние ВХ= 1.) Таким образом, получаем два корня х = -2, x = 4.

Пример 8. Решить уравнение |х + 1| + |х - 3| = 4.

Решение. Пользуясь решением предыдущей задачи, можно увидеть, что если точка X лежит вне отрезка [-1; 3], то искомая сумма расстояний больше 4, а для любой точки внутри отрезка она равна 4, т.е. корни уравнения составляют числовой промежуток: [-1; 3].

Замечание. Таким образом, используя расстояние, можно доказать, что уравнение вида |х - а| + |х -b| = с, где а, Ь, с - произвольные действительные числа (можно считать, что а < b), имеет:

1) два решения х₁ и х₂, если с > |а - b|, причем

x₁= a -( x₂₌ b+ ( ;

2) множество решений [ a;b], если c = |a - b| ;

3) не имеет решений, если c < |a - b|.

Пример 9. Решить неравенство |х + 2| - |x- 5| > 5.

Решение. Переформулировав задачу на языке расстояний, установим, что нужно найти такую точку х, расстояние от которой до точки -2 на 5 больше, чем расстояние от нее до точки 5. Подумаем, где может находиться такая точка.

Если х лежит левее -2, то понятно, что расстояние |х + 2| меньше, чем расстояние |х + 5|, так как точка х ближе к -2, чем к 5. Если х лежит правее 5, то искомая разность расстояний равна длине отрезка [-2; 5], т.е. 7, следовательно, все точки из промежутка (5;+∞) удовлетворяют условию.

Пусть теперь х лежит на отрезке [-2; 5].

Тогда АХ + ВХ = 7 . Если к тому же АХ-ВХ=5, то АХ=6, ВХ=1 и х = 4. Чтобы разность АХ- ВХ была больше 5, точка X должна располагаться ближе к В, чем точка с координатой 4. Таким образом, неравенству удовлетворяют все числа промежутка (4; +∞).