Урок математики 7 класс по теме «Тождества»

Тема: Тождества

Класс: 7

Вид урока по форме проведения: комбинированный, с использованием компьютерной презентации и тестов

Цели и задачи:

образовательные - ввести понятие «тождество»; обеспечить в ходе урока усвоение данного понятия и закрепить специальные умения преобразования выражений способами внесения общего множителя и сокращения дроби, группировки, использования формул сокращенного умножения, правила раскрытия скобок и действий с числами;

воспитательные - содействовать воспитанию нравственных качеств школьников: коллективизма, активной жизненной позиции, этических норм;

развивающие - развивать: мышление, познавательный интерес;
продолжить формирование обще учебных умений и навыков: осуществление самоконтроля и самооценки своей деятельности;

План урока:

1. Орг. момент

2. Актуализация знаний

3. Изучение нового материала

4. Физ. минутка

5. Из истории тождеств…

6. Закрепление материала

7. Самостоятельная работа (с самопроверкой), компьютерный тест

8. Рефлексия

9. Домашнее задание

Ход урока:

1. Орг. момент

Здравствуйте, ребята! Начнем наш урок с эпиграфа: «Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед». (Слайд 1)
Думаю, что сегодня мы будем активными участниками всего того, что будет происходит на уроке, и такими же дружными, вдумчивыми и настойчивыми.

Желаю нам с вами успеха!

Записываем число, классная работа и тему сегодняшнего нашего урока «Тождества»(Слайд 2) и прежде, чем мы начнем знакомиться с этим понятием, предлагаю вспомнить материал предыдущих уроков…

2. Актуализация знаний (Слайд 3)

Устная работа

1. Выполните действия:

   1. (12x + 7y) + (3y - 2x)=

   2. (2a - 3b) - (a - 2b)=

   3. 2(с + d) - (c - d)=

2. Разложите на множители:

   1. 6m + 2n=

   2. 3(a - b) + c(a - b)=

   3. 9d² - 16k² =

   4. 9a² - 6ab + b² =

3. Сократите дробь:

   1. 

   2. 

3. Изучение нового материала

Перед вами выражение (х + 1)(х + 4) = х² + 5х + 4 и задание: докажите, что равенство верно при любых значениях х

С чего бы вы начали выполнение этого задания? (раскрыли скобки в левой части)

(х + 1)(х + 4) = х² + 4х + х + 4= х² + 5х + 4

Какие преобразования были выполнены? (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых)

Что получили в результате? (выражение, равное выражению в правой части)

• Так как выражения в обеих частях равны, то какое бы значение х мы не взяли, при подстановке получили бы равные результаты.

Поэтому в математике равенство, верное при любых значениях переменной называют ТОЖДЕСТВОМ, а алгебраические преобразования выражений, которые использовали при доказательстве ТОЖДЕСТВЕННЫМИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ.

И из этого следует, что формулировка условия может быть следующей : «Докажите, что равенство (х + 1)(х + 4) = х² + 5х + 4 является тождеством»

Теперь проведите самостоятельное доказательство тождества

2а³х(с - у) + 1 = 2а³хс - 2а³ух + 1, но преобразовав выражение, стоящее справа, к выражению, стоящему слева.

Каким свойством вы воспользовались? (сочетательным и распределительным!!! или вынесение общего множителя за скобки)

Итак, в первом тождестве мы преобразовали левую часть и получили правую, а во втором наоборот из правой левую.

Теперь, я вам предлагаю обсудить доказательство вот таких тождеств:

3(а + 1)² + 2 = а² + (а + 1)² + (а + 2)² (с - 8)(с + 3) - (с² - 5с - 24) = 0

Какие тождественные преобразо - Как будем работать с этим тождеством?

вания можно выполнить здесь? (раскроем скобки в левой части, приведем

(сначала левую часть упростить, подобные слагаемые и в результате

а потом правую или раскрыть должны получить 0)

скобки и перенести все влево,

упростить и получить 0)

К доске пойдут________________и ________________, попробуют доказать эти тождества. Остальные работают вместе с _______________и доказывают первое тождество, обсуждая и исправляя ошибки.

Вывод: следует обратить внимание на тот факт, что одно и то же равенство может рассматриваться как тождество и как уравнение. Это зависит от условия к заданной работе: если требуется установить при каком значении переменной имеет место равенство, то это - уравнение. А если требуется доказать, что равенство имеет место при любых значениях переменных - тождество.

4. Физ. Минутка

Физ. минутка у нас необычная, мы не будем прыгать и потягиваться, а просто закройте глаза и … представьте, что ваш нос стал длинным….попробуйте написать им свое имя

Отвлеклись немножко? …продолжим…нам _________________подготовила выступление из истории тождеств, давайте послушаем…

Из истории

Уже в древности формулировались и доказывались тождества в терминах отрезков и прямоугольников.

О тождестве (a + b)² = a² +2ab + b² в «Началах» Евклида было написано так «Если отрезок АВ разделен точкой С на два отрезка, то квадрат, построенный на АВ, равен двум квадратам, на отрезках АС и СВ вместе с удвоенным прямоугольником на АС и СВ»

Пусть отрезок АВ разделен точкой С на два отрезка. «Построим на отрезке АВ квадрат АВЕD с диагональю ВD. Проведем через точку С прямую СТ, параллельную АD, и через точку N прямую МР, параллельную АВ. Ясно, что АМ = CN = BP = CB = NP = TE. Аналогично AC = MN = DT = MD = NT = PE. Прямоугольник ACNM равновелик прямоугольнику NPET. Следовательно, квадрат на АВ равен квадрату на АС (MNTD), сложенному с квадратом на СВ и удвоенным прямоугольником на АС и СВ, что и требовалось доказать»

Тождество (a - b)² = a² - 2ab + b² у Евклида не доказывается. Доказательство впервые появилось у комментатора Евклида А. Мархетиса в 1709 г.

А тождество a² - b² = (a - b)(a + b) доказал китайский математик Чжао-Цзюнь-цин в III в. н. э.

Ну а теперь попробуем практически применить доказательство тождеств

5. Закрепление материала

Двое учащихся у доски

Докажите тождество: Преобразуйте выражение в тождественно равное:

а) (a + b)² + (a - b)² = 2(a² + b²) б)

Рассмотрим выполнение второго выражения:….мы говорили о том, что равенство является тождеством, если оно выполняется при любых значениях переменной, а здесь? (т.к. выражение представлено в виде дроби, значит знаменатель не должен равняться нулю) Когда знаменатель будет нуль? (при х = ±3).Значит равенство выполняется при любых значениях х, кроме ±3.

Попробуем поверить себя…..с.р.

6. Самостоятельная работа

1. Двое учащихся работают с ноутбуками;

2. Пять человек (слабоуспевающих) работают с карточками - подсказками;

Карточка - подсказка:

Докажите тождества:

1. а² + 7а + 10 = (а + 2) · (а + 5)

(а + 2) · (а + 5) =

2. а · (а - в) + 2ав = а · (а + в)

а · (а - в) + 2ав =

а · (а + в) =

сравни левую и правую часть равенства

3. m · (h - k) = -m · (k - h)

m · (h - k) = -m · (k - h) сравни результат

3. Остальные сам. раб.

1. Укажите выражение, которое НЕ является тождеством:

а) 14a - b = b - 14a; а) х + 5у = 5у + х;

б) 4ab + 4ac = 4a(b + c); б) 3bk - 3b = 3b(k - 1);

в) а² - 9 = (а - 3)(3 + а); в) (n + k)(k - n)= k² - n²;

2. Докажите тождество:

3. Является ли выражение тождеством?

Самопроверка(оценивание себя)

7. Рефлексия (итог урока)

В каком случае выражение преобразовано в тождественно равное?

1. (х - 2)у = х - 2у;

2. (х + у)(у - х) = х² - у²;

3. (2 - х)² = 4 - 4х + х²;

4. (х + у)² = х² + у²;

5. (а - 2р)² = а² + 2ар + 4р²;

сегодня я узнал…

я научился…

было трудно…

У вас на столах лежат карточки оценивания собственной деятельности:

Красный - не удалось разобраться в теме,

Желтый - кое-что не понятно, остались вопросы;

Зеленый - все получилось, все понятно

О тождествах можно говорить бесконечно долго, но никогда нельзя сказать всего, поэтому свои знания о тождествах мы будем пополнять постепенно…

8. Домашнее задание: №36.8(а,б); №36.9(а,б)

Дополнительное задание* (-1 )ⁿ · (-1 )ⁿ · (-1 )ⁿ · (-1 )ⁿ = 1