- Учителю
- Урок математики 7 класс по теме «Тождества»
Урок математики 7 класс по теме «Тождества»
Тема: Тождества
Класс: 7
Вид урока по форме проведения: комбинированный, с использованием компьютерной презентации и тестов
Цели и задачи:
образовательные - ввести понятие «тождество»; обеспечить в ходе урока усвоение данного понятия и закрепить специальные умения преобразования выражений способами внесения общего множителя и сокращения дроби, группировки, использования формул сокращенного умножения, правила раскрытия скобок и действий с числами;
воспитательные - содействовать воспитанию нравственных качеств школьников: коллективизма, активной жизненной позиции, этических норм;
развивающие - развивать: мышление, познавательный интерес;
продолжить формирование обще учебных умений и навыков: осуществление самоконтроля и самооценки своей деятельности;
План урока:
-
Орг. момент
-
Актуализация знаний
-
Изучение нового материала
-
Физ. минутка
-
Из истории тождеств…
-
Закрепление материала
-
Самостоятельная работа (с самопроверкой), компьютерный тест
-
Рефлексия
-
Домашнее задание
Ход урока:
-
Орг. момент
Здравствуйте, ребята! Начнем наш урок с эпиграфа: «Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед». (Слайд 1)
Думаю, что сегодня мы будем активными участниками всего того, что будет происходит на уроке, и такими же дружными, вдумчивыми и настойчивыми.
Желаю нам с вами успеха!
Записываем число, классная работа и тему сегодняшнего нашего урока «Тождества»(Слайд 2) и прежде, чем мы начнем знакомиться с этим понятием, предлагаю вспомнить материал предыдущих уроков…
-
Актуализация знаний (Слайд 3)
Устная работа
-
Выполните действия:
-
(12x + 7y) + (3y - 2x)=
-
(2a - 3b) - (a - 2b)=
-
2(с + d) - (c - d)=
-
-
Разложите на множители:
-
6m + 2n=
-
3(a - b) + c(a - b)=
-
9d2 - 16k2 =
-
9a2 - 6ab + b2 =
-
-
Сократите дробь:
-
-
Изучение нового материала
Перед вами выражение (х + 1)(х + 4) = х2 + 5х + 4 и задание: докажите, что равенство верно при любых значениях х
С чего бы вы начали выполнение этого задания? (раскрыли скобки в левой части)
(х + 1)(х + 4) = х2 + 4х + х + 4= х2 + 5х + 4
Какие преобразования были выполнены? (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых)
Что получили в результате? (выражение, равное выражению в правой части)
-
Так как выражения в обеих частях равны, то какое бы значение х мы не взяли, при подстановке получили бы равные результаты.
Поэтому в математике равенство, верное при любых значениях переменной называют ТОЖДЕСТВОМ, а алгебраические преобразования выражений, которые использовали при доказательстве ТОЖДЕСТВЕННЫМИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ.
И из этого следует, что формулировка условия может быть следующей : «Докажите, что равенство (х + 1)(х + 4) = х2 + 5х + 4 является тождеством»
Теперь проведите самостоятельное доказательство тождества
2а3х(с - у) + 1 = 2а3хс - 2а3ух + 1, но преобразовав выражение, стоящее справа, к выражению, стоящему слева.
Каким свойством вы воспользовались? (сочетательным и распределительным!!! или вынесение общего множителя за скобки)
Итак, в первом тождестве мы преобразовали левую часть и получили правую, а во втором наоборот из правой левую.
Теперь, я вам предлагаю обсудить доказательство вот таких тождеств:
3(а + 1)2 + 2 = а2 + (а + 1)2 + (а + 2)2 (с - 8)(с + 3) - (с2 - 5с - 24) = 0
Какие тождественные преобразо - Как будем работать с этим тождеством?
вания можно выполнить здесь? (раскроем скобки в левой части, приведем
(сначала левую часть упростить, подобные слагаемые и в результате
а потом правую или раскрыть должны получить 0)
скобки и перенести все влево,
упростить и получить 0)
К доске пойдут________________и ________________, попробуют доказать эти тождества. Остальные работают вместе с _______________и доказывают первое тождество, обсуждая и исправляя ошибки.
Вывод: следует обратить внимание на тот факт, что одно и то же равенство может рассматриваться как тождество и как уравнение. Это зависит от условия к заданной работе: если требуется установить при каком значении переменной имеет место равенство, то это - уравнение. А если требуется доказать, что равенство имеет место при любых значениях переменных - тождество.
-
Физ. Минутка
Физ. минутка у нас необычная, мы не будем прыгать и потягиваться, а просто закройте глаза и … представьте, что ваш нос стал длинным….попробуйте написать им свое имя
Отвлеклись немножко? …продолжим…нам _________________подготовила выступление из истории тождеств, давайте послушаем…
Из истории
Уже в древности формулировались и доказывались тождества в терминах отрезков и прямоугольников.
О тождестве (a + b)2 = a2 +2ab + b2 в «Началах» Евклида было написано так «Если отрезок АВ разделен точкой С на два отрезка, то квадрат, построенный на АВ, равен двум квадратам, на отрезках АС и СВ вместе с удвоенным прямоугольником на АС и СВ»
Пусть отрезок АВ разделен точкой С на два отрезка. «Построим на отрезке АВ квадрат АВЕD с диагональю ВD. Проведем через точку С прямую СТ, параллельную АD, и через точку N прямую МР, параллельную АВ. Ясно, что АМ = CN = BP = CB = NP = TE. Аналогично AC = MN = DT = MD = NT = PE. Прямоугольник ACNM равновелик прямоугольнику NPET. Следовательно, квадрат на АВ равен квадрату на АС (MNTD), сложенному с квадратом на СВ и удвоенным прямоугольником на АС и СВ, что и требовалось доказать»
Тождество (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 у Евклида не доказывается. Доказательство впервые появилось у комментатора Евклида А. Мархетиса в 1709 г.
А тождество a2 - b2 = (a - b)(a + b) доказал китайский математик Чжао-Цзюнь-цин в III в. н. э.
Ну а теперь попробуем практически применить доказательство тождеств
-
Закрепление материала
Двое учащихся у доски
Докажите тождество: Преобразуйте выражение в тождественно равное:
а) (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2) б)
Рассмотрим выполнение второго выражения:….мы говорили о том, что равенство является тождеством, если оно выполняется при любых значениях переменной, а здесь? (т.к. выражение представлено в виде дроби, значит знаменатель не должен равняться нулю) Когда знаменатель будет нуль? (при х = ±3).Значит равенство выполняется при любых значениях х, кроме ±3.
Попробуем поверить себя…..с.р.
-
Самостоятельная работа
-
Двое учащихся работают с ноутбуками;
-
Пять человек (слабоуспевающих) работают с карточками - подсказками;
Карточка - подсказка:
Докажите тождества:
-
а2 + 7а + 10 = (а + 2) · (а + 5)
(а + 2) · (а + 5) =
-
а · (а - в) + 2ав = а · (а + в)
а · (а - в) + 2ав =
а · (а + в) =
сравни левую и правую часть равенства
-
m · (h - k) = -m · (k - h)
m · (h - k) = -m · (k - h) сравни результат
-
Остальные сам. раб.
-
Укажите выражение, которое НЕ является тождеством:
а) 14a - b = b - 14a; а) х + 5у = 5у + х;
б) 4ab + 4ac = 4a(b + c); б) 3bk - 3b = 3b(k - 1);
в) а2 - 9 = (а - 3)(3 + а); в) (n + k)(k - n)= k2 - n2;
-
Докажите тождество:
-
Является ли выражение тождеством?
Самопроверка(оценивание себя)
-
Рефлексия (итог урока)
В каком случае выражение преобразовано в тождественно равное?
-
(х - 2)у = х - 2у;
-
(х + у)(у - х) = х2 - у2;
-
(2 - х)2 = 4 - 4х + х2;
-
(х + у)2 = х2 + у2;
-
(а - 2р)2 = а2 + 2ар + 4р2;
сегодня я узнал…
я научился…
было трудно…
У вас на столах лежат карточки оценивания собственной деятельности:
Красный - не удалось разобраться в теме,
Желтый - кое-что не понятно, остались вопросы;
Зеленый - все получилось, все понятно
О тождествах можно говорить бесконечно долго, но никогда нельзя сказать всего, поэтому свои знания о тождествах мы будем пополнять постепенно…
-
Домашнее задание: №36.8(а,б); №36.9(а,б)
Дополнительное задание* (-1 )n · (-1 )n · (-1 )n · (-1 )n = 1