Фрагмент урока на тему 'Изучение формул тригонометрических функций двойного и тройного аргумента'.

Продолжение табл.1.

А как вы думаете, можно ли решить с помощью единичной окружности уравнения вида ? Что нам для этого нужно знать?

Наверное, можно. Для того чтобы решить уравнения вида , нужно знать геометрическую интерпретацию тангенса и котангенса.

Из треугольника , а из треугольника , так как это единичная окружность, то радиус окружности и равен 1, тогда получаем что равен ординате точки .

Прямая является касательной к единичной окружности, проведенной в точку .

Прямая является линией тангенсов. Чем является эта прямая для нашей единичной окружности? Тогда что же такое линия тангенса?

Линия тангенса - касательная к тригонометрической (единичной) окружности, проведенная в точке с координатами .

Проверим, справедлива ли данная интерпретация тангенса для любого угла Как это можно сделать?

Мы рассмотрели уже тот случай, когда угол лежит в первой координатной четверти. Чтобы проверить достоверность данной геометрической интерпретации, нужно рассмотреть и случаи, когда угол находится во второй, в третьей и в четвертой координатной четверти.

Пусть точка единичной окружности, соответствующая некоторому углу . Проведем прямую через точку и начало координат. Пусть эта прямая пересекает линию тангенсов в точке .

Продолжение табл.1.

Какой можно сделать вывод из рассмотренных нами случаев? На каком основании был сделан это вывод?

Из рассмотренных случаев можно сделать вывод, что изображение тангенса с помощью линии тангенсов, справедливо для любого угла. Действительно, с учетом знаков и из того, что легко установить, что отношение в каждом рассмотренном нами случае оказывается равно ординате точки .

Мы рассмотрели геометрическую интерпретацию тангенса. Как вы думаете, для котангенса есть геометрическое представление? Предположите каким оно может быть? Чему тогда равен котангенс? Продемонстрируйте свою идею на чертеже.

Для котангенса тоже должна быть геометрическая интерпретация.

Так как котангенс угла, это отношение косинуса угла к его синусу, то есть отношение абсциссы точки к ординате этой точки, и учитывая то, что линия тангенса проходит параллельно оси , то можно предположить, что для котангенса существует линия котангенса - касательная к окружности, проведенная в точке (0;1) и параллельная оси . .

Верно, котангенс угла равен абсциссе точки Т. Так как же наглядно представить котангенс на линии котангенсов?

Пусть точка единичной окружности, соответствующая некоторому углу . Проведем прямую через точку и начало координат. Пусть эта прямая пересекает линию котангенсов в точке .

Продолжение табл.1.

Тогда котангенс угла равен абсциссе точки Т.

Сделайте геометрическую интерпретацию котангенса угла, лежащего во второй, в третьей и в четвертой координатной плоскости.

Рассмотрим последовательно случаи, когда угол лежит во второй, в третьей и в четвертой координатной плоскостях. Будем действовать по уже известному нам алгоритму (описанному выше).

Верна ли наша идея представления котангенса таким образом или есть какие-то исключения?

Получаем, что данная интерпретация справедлива для любого угла .