Конспект урока на тему: «Симметрия в пространстве. Правильные многогранники».

Учитель математики

МБОУ СОШ №70 г. Липецка

Хохлова Наталья Александровна

Конспект урока на тему: «Симметрия в пространстве. Правильные многогранники».

Урок - лекция. (10 класс) - 1 час.

Учебная задача: совместно с учащимися «открыть»:

• понятия симметричных точек относительно точки, прямой и плоскости по аналогии с изученной ранее темой «Симметрия на плоскости»;

• понятием правильного многогранника, его виды и элементы симметрии;

• теорему о том, что «не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще n-угольники при n6».

Диагностируемые цели:

В результате ученик:

Знает определения точек симметричных относительно точки (прямой, плоскости), центра (оси, плоскости) симметрии, определение правильного многогранника, виды правильных многогранников, теорему о том, что «не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще n-угольники при n6».

Умеет выделять элементы симметрии правильных многогранников, решать простейшие задачи, связанные с элементами симметрии правильных многогранников.

Метод обучения: УДЕ, частично - поисковый.

Форма обучения: фронтальная, индивидуальная.

Средства обучения: канва - таблица, презентация, модели правильных многогранников.

Действия учителя

Действия учеников

Записи на доске

1. Мотивационно - ориентировочный этап

- Здравствуйте, ребята!

Посмотрите на рисунок и скажите, что за объемные фигуры изображены на рисунке?

-Дайте определение многогранника.

-Какие из изображенных многогранников вам известны?

-На какие две группы можно разделить эти многогранники?

Какие многогранники называют выпуклыми? Определим, какие многогранники будут выпуклыми, а какие невыпуклыми. Почему 3,6,7 невыпуклые?

- Что мы знаем о сумме всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника?

- Какая фигура лежит в основании данного многогранника?

-Чему равна сумма углов в многоугольнике?

- Давайте подсчитаем, чему равна сумма всех углов в правильном шестиугольнике? Каждого угла шестиугольника?

Это нам сегодня понадобиться для изучения новой темы.

- Однажды Л.Н. Толстой сказал: «Стоя перед чёрной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражён мыслью: почему симметрия приятна глазу? Что такое симметрия? Это врождённое чувство. На чём же оно основано?».

-С симметрией мы встречаемся в природе, архитектуре, технике, быту.

Мы часто видим симметричные творения природы (листья, цветы, птицы, животные) или творения человека (здания, техника) - все то, что окружает нас каждый день. В быту: молотки, рубанки, лопаты, трубы. Мы смотрим на себя в зеркало и видим, что части нашего лица симметричны друг другу. По улицам ездят автомобили, автобусы, правая и левая части которых симметричны. Таким образом, симметрия бывает не только на плоскости (кленовый лист), но и в пространстве (лицо).

Ребята, для начала вспомним такие понятия, как симметрия относительно точки, симметрия относительно прямой, которые мы изучили на плоскости.

-Какие же точки называются симметричными относительно точки?

При этом точку О называют центром симметрии.

- Сформулируйте определение точек симметричных относительно прямой.

При этом прямую а называют осью симметрии.

По аналогии с симметрией на плоскости определятся симметрия в пространстве. Симметрия тесно связана с многогранниками.

Цель нашего урока: расширить знания о симметрии и многогранниках.

Тему урока мы запишем в процессе заполнения таблиц.

На рисунке изображены многогранники.

Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, называют многогранником.

Правильная призма (1), наклонная призма(4), пирамида треугольная (2), пятиугольная (5).

На выпуклые и невыпуклые многогранники.

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.

Выпуклые:1,2,4,5, невыпуклые:3,6,7.

Сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше .

В основании данного многогранника лежит правильный шестиугольник.

Сумма углов в многоугольнике равна .

Сумма всех углов в правильном шестиугольнике равна . Каждый угол равен .

Точки и называются симметричными относительно точки О, если О - середина отрезка .

Точки называются симметричными относительно прямой а, если прямая а проходит через середину отрезка и перпендикулярна к этому отрезку.

(слайд 1)

(слайд 2)

(слайд 3)

(слайд 4)

(слайд 5)

(слайд 6)

(слайд 7 -11)

(слайд 12)

(слайд 13)

2. Содержательный этап

- Как было сказано выше, по аналогии с симметрией на плоскости определятся симметрия в пространстве. Поэтому в процессе работы заполним следующую канву - таблицу.

Мы вспомнили определение точек симметричных относительно точки. Попробуйте сформулировать такое определение только для симметричных точек в пространстве.

Чем будет точка О?

- А как формулируется определение точек симметричных относительно прямой в пространстве?

Чем будет являться прямая а?

- В пространстве существует понятие точек симметричных относительно плоскости. Попытайтесь дать определение.

Значит, плоскость- плоскость симметрии.

Итак, точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры.

Таким образом, в пространстве помимо центральной и осевой симметрии, которые есть на плоскости, добавляется зеркальная симметрия.

-Оказывается у некоторых многогранников тоже есть центр, ось и плоскость симметрии, которые называют элементами симметрии этого многогранника.

-Рассмотрим два многогранника: куб и параллелепипед. Куб называют правильным многогранником. Давайте выясним почему?

Давайте подсчитаем, сколько ребер сходиться в каждой вершине куба, параллелепипеда.

Чем являются грани этих многогранников?

Особо важно, что все грани куба равны между собой, а у параллелепипеда не все грани равны между собой.

Таким образом, куб будем относить к правильным многогранникам.

- Посмотри на следующий рисунок. Давайте попробуем определить является ли одна из этих пирамид правильным многогранником. Действуем по той же схеме (определяем число ребер сходящихся в каждой вершине, вид граней и их равенство).

Попробуйте дать определение правильного многогранника.

Определение. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходиться одно и тоже число ребер.

- Возникает вопрос, сколько граней, являющихся правильными многоугольниками, может сходиться в одной вершине, чтобы в результате получился правильный многогранник.

Давайте подсчитаем, а полученные результаты будет сравнивать с , так как по теореме, которую мы вспоминали в начале урока сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше .

1. Рассмотрим правильный треугольник. Сколько градусов равен каждый угол? Подсчитаем сумму плоских углов при вершине треугольника, если:

а) в каждой вершине сходится три грани;

Сумма меньше , значит, такой правильный многогранник может быть.

б) в каждой вершине сходится четыре грани;

Сумма меньше , значит, такой правильный многогранник может быть.

в) в каждой вершине сходится пять граней;

Сумма меньше , значит, такой правильный многогранник может быть.

г) в каждой вершине сходится шесть граней;

Сумма равна , противоречит теореме. Следовательно, такого многогранника не может быть.

2. Рассмотрим правильный четырехугольник - квадрат. Сколько градусов равен каждый угол? Подсчитаем сумму плоских углов при вершине квадрата, если:

а) в каждой вершине сходится три грани;

Сумма меньше , значит, такой правильный многогранник может быть.

б) в каждой вершине сходится четыре грани;

Сумма равна , противоречит теореме. Следовательно, такого многогранника не может быть.

3. Рассмотрим правильный пятиугольник. Сколько градусов равен каждый угол? Подсчитаем сумму плоских углов при вершине квадрата, если:

а) в каждой вершине сходится три грани;

Сумма меньше , значит, такой правильный многогранник может быть.

б) в каждой вершине сходится четыре грани, очевидно, что сумма равна , противоречит теореме. Следовательно, такого многогранника не может быть.

Если будем рассматривать правильный шестиугольник, то сумма плоских углов при каждой вершине, в которой сходится три грани, будет равна . Это тоже противоречит теореме.

Исходя из наших расчетов, можно сделать предположение, что не существует многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники. Верно ли это предположение?

-Ответ на этот вопрос дает следующая теорема. Сформулируем и докажем ее.

Теорема. Не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще n-угольники при n6.

Доказательство:

1. Угол правильного n-угольника при n6 не меньше . Почему? (обратить внимание учеников на подсчеты в начале урока).

2. При каждой вершине многогранника должно быть не менее трех плоских углов.

Поэтому если бы существовал правильный многогранник, у которого грани - правильные n-угольники при n6, то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не меньше чем . Это невозможно. Почему? (так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше .

Из этого условия сделаем следующий важный вывод: каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной либо трех, четырех или пяти равносторонних треугольников, либо трех квадратов, либо трех правильных пятиугольников. Других возможностей нет.

В соответствии с этим выводом получаем следующие виды правильных многогранников:

1. правильный тетраэдр;

2. правильный октаэдр;

3. правильный икосаэдр;

4. куб;

5. правильный додекаэдр;

Немного из истории.

Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в трактате Платона «Тимаус» (427 -347 до н.э.). Поэтому правильные многогранники также называют «платоновыми телами». Каждый из правильных многогранников, а их всего пять, Платон ассоциировал с четырьмя «земными» элементами: земля (куб), вода (икосаэдр), огонь (тетраэдр), воздух (октаэдр), а также с «неземным» элементом - небом (додекаэдр).

Рассмотрим виды правильных многогранников и их элементы симметрии, заполняя следующую канву-таблицу (см. приложение). Эту таблицу мы заполним не полностью, продолжим заполнение на уроке - семинаре.

Точки и называются симметричными относительно точки О, если О - середина отрезка .

Точка О - центр симметрии.

Точки называются симметричными относительно прямой а, если прямая а проходит через середину отрезка и перпендикулярна к этому отрезку.

Прямая а - ось симметрии.

Точки называются симметричными относительно плоскости , если плоскости проходит через середину отрезка и перпендикулярна к этому отрезку.

По три ребра в каждой вершине.

Грани куба - квадраты (правильные многоугольники), грани параллелепипеда - прямоугольники (неправильные многоугольники).

Обсуждение предложенных вариантов.

Каждый угол в правильном треугольнике равен .

Если в каждой вершине сходится три грани, то сумма плоских углов при вершине равна .

Если в каждой вершине сходится четыре грани, то сумма плоских углов при вершине равна .

Если в каждой вершине сходится пять граней, то сумма плоских углов при вершине равна .

Если в каждой вершине сходится шесть граней, то сумма плоских углов при вершине равна .

Каждый угол в квадрате равен .

Если в каждой вершине сходится три грани, то сумма плоских углов при вершине равна .

Если в каждой вершине сходится четыре грани, то сумма плоских углов при вершине равна .

Каждый угол в правильном пятиугольнике равен .

Если в каждой вершине сходится три грани, то сумма плоских углов при вершине равна .

Так как угол в правильном шестиугольнике равен , следовательно, меньше угол правильного n-угольника при n6 быть не может.

Сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше

Симметрия

На плоскости

В пространстве

(слайд 14)

Заполненная канва - таблица:

Симметрия

На плоскости

В пространстве

Две точки называются симметричными относительно данной точки (центра симметрии), если данная точка является серединой соединяющего их отрезка.

Точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а (оси симметрии), если прямая а проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему.

Точки А и А1 называются симметричными относительно плоскости α (плоскость симметрии), если плоскость α проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к этому отрезку.

(слайд 15)

(слайд 16)

(слайд 17)

(слайд 18)

(слайд 19)

(слайд 20)

3. Рефлексивно - оценочный этап

- Какова была цель урока?

- О каком новом виде симметрии вы узнали?

- Сколько видов правильных многогранников существует? Почему?

Домашнее задание: §3 (п.35-37) выучить определения и формулировки теорем, заполнить до конца канву - таблицу.

(слайд 21)

Теорема.

Доказательство:

Симметрия

рис.

рис.

рис.

Канва - таблица по теме: «Симметрия».

Канва таблица по теме: «Элементы симметрии правильных многогранников» (заполненная на уроке).

Правильный многогранник

Определение

Центр симметрии

Ось симметрии

Плоскость симметрии

Тетраэдр

Тетраэдр - правильный многогранник, составленный из 4 равносторонних треугольников. Каждая из вершин является вершиной трех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.

Правильный тетраэдр не имеет центра симметрии.

Тетраэдр имеет три оси симметрии, которые проходят через середины скрещивающихся рёбер.

Тетраэдр имеет 6 плоскостей симметрии, каждая из которых проходит через ребро тетраэдра перпендикулярно скрещивающемуся с ним ребру.

Октаэдр

Икосаэдр

Куб

Додекаэдр

Канва - таблица для учеников.

Правильный многогранник

Определение

Центр симметрии

Ось симметрии

Плоскость симметрии