• Учителю
  • Математика
  • План конспект урока + презентация 'Разложение квадратного трехчлена' 9 класс

План конспект урока + презентация 'Разложение квадратного трехчлена' 9 класс

Автор публикации:
Дата публикации:
Краткое описание:
предварительный просмотр материала

Алгебра 9 класс. Разложение квадратного трехчлена на множители

Цель урока:

  • способствовать развитию навыков нахождения корней квадратного трехчлена;

  • организовать деятельность учащихся по восприятию, осмысливанию и первичному запоминанию новых знаний;

  • разобрать и доказать теорему о разложении на множители квадратного трехчлена, имеющего корни, при решении проблемной ситуации: можно ли разложить квадратный трехчлен на множители;

  • рассмотреть использование теоремы о разложении на множители квадратного трехчлена, имеющего корни, для сокращения дробей;

  • содействовать развитию логического мышления, внимания, речи и умения работать самостоятельно.


Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.


Оборудование: мультимедиа проектор, презентация к уроку.


«Задача, которую вы решаете, может быть очень скромной, но если она бросает вызов вашей любознательности, и если вы решаете ее собственными силами, то вы сможете испытать ведущее к открытию напряжение ума и насладиться радостью победы».

Двердь Пойа.


Ход урока


I. Организационный момент


Сегодня на уроке в совместной деятельности мы подтвердим слова Пойа (Слайд 1).

Сообщение о Пойа (Слайд 2)


II. Актуализация опорных знаний


а) Сначала проверим домашнее задание № 60 и № 75.

На доске решают 2 ученика:

  1. № 60(а). Найти корни квадратного трехчлена: 10х2 + 5х - 5. (Ответ: х1 = -1; х2 =0,5). Дополнительный вопрос: сколько корней может иметь квадратный трехчлен?

  2. № 75. Разложите на множители многочлен: а) ab + 3b - 5a - 15; б) 2xy - y + 8x - 4. Ответ: а) (а + 3)(b - 5); б) (2х - 1)(у + 4). Дополнительный вопрос: какие способы разложения на множители использовали?



Практическое задание за компьютером:

Предложить двум учащимся-экспериментаторам построить график функции
. С помощью электронных таблиц OpenOffice.org Calc и программы графопостроитель.

б) Для остальных учащихся фронтальный опрос. (Слайд 3 и 4). По щелчку мыши появляются ответы).

Проверь свои знания:

Дайте определение квадратного трехчлена. Многочлен вида ах2 + bх + c, где х - переменная, а, b, с - некоторые числа, причем а ≠ 0.

Как найти корни квадратного трехчлена? Приравнять к нулю и решить квадратное уравнение.

Сформулируйте теорему Виета для полного квадратного уравнения.

Если х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + c = 0, х1 + х2 = , х1 х2 =.

Что называют разложением многочлена на множители? Представление многочлена в виде произведения многочленов.

Какие способы разложения многочлена на множители вам известны?

  1. Вынесение множителя за скобку;

  2. Способ группировки;

  3. Использование формул сокращенного умножения.


в) Проверим работу у доски. Ваши вопросы и выводы. (Оценить ответы).


III. Этап «закрытого» решения проблемы - использование известных способов решения


(Слайд 5) Решите уравнение х3 - 6х2 - 4х + 24 = 0. (ГИА 2012).

Но мы не умеем решать уравнения 3 степени. Как поступить? (Разложить на множители левую часть, а затем каждый множитель приравнять к нулю).

Каким способом будем разлагать на множители? (Способом группировки).

Все решают в тетради, один ученик решает у доски. Ответ: -2; 2; 6. Проверяем на слайде.

IV. Этап «открытого» решения проблемы - возникновение проблемной ситуации, расширение области поиска новых решений



Рассмотрим задание № 11 из ГИА (2013 г.). Постройте график функции .



Давайте посмотрим, что получили наши экспериментаторы. (Слайды 6 и 7). Не кажется ли вам странным, что у них получилась прямая линия. Отчего же это?


(Слайд 8). Возникает проблема: Мы понимаем, что было бы удобно разложить на множители числитель х2 - 5х + 6 и попробовать сократить дробь. Для этого надо разложить квадратный трехчлен на множители.

Но как? Можно ли сгруппировать или вынести общий множитель за скобку в нашем случае? (Нет).

Так как же разложить на множители квадратный трехчлен х2 - 5х + 6? Возможно ли это?

Какие будут предложения? ( А что, если сгруппировать?)

Но с чем? Должно быть, хотя бы 4 слагаемых.

А давайте трехчлен преобразуем в четырехчлен.

Пробуем: х2 - х - 4х + 6 = 0. А разве можно здесь сгруппировать и разложить на множители?

Еще попытки: х2 - 2х - 3х + 6 = (х2 - 2х) - (3х - 6) =х (х - 2) - 3(х - 2) = (х - 2)(х - 3).

Ура! Получилось!

Ребята, теперь можно сократить дробь. =

Получили у = 3 - х , где х ≠ 2. Какая линия будет графиком? (Прямая, с выколотой точкой). Постройте график. (Слайд 9).


Вернемся к трехчлену х2 - 5х + 6 = (х - 2)(х - 3). При каких значениях х он обращается в нуль? А что называют корнем трехчлена? (Значение переменной, при котором трехчлен обращается в нуль).

Вывод: значит 2 и 3 корни этого трехчлена (х1 = 2 и х2 = 3).

Посмотрите внимательно, что представляют из себя, множители? (Первый из них представляет разность между переменной х и первым корнем трехчлена, а второй - разность между переменной х и вторым корнем).

Назовите старший коэффициент трехчлена? (а = 1). Давайте допишем множитель, равный а, т. е. 1, получаем х2 - 5х + 6 = 1(х - 2)(х - 3).

Рассмотрим еще один пример с учебника (стр. 24).

(Слайд 10). Разложить на множители 3х2 - 21х + 30 = 3(х2 - 7х + 10) = 3(х2 - 2х - 5х + 10) = = 3((х2 - 2х) - (5х - 10)) = 3(х(х - 2) - 5(х - 2)) = 3(х - 2)(х - 5).


V. Этап реализации найденного принципа - выдвижение гипотезы



Как вы думаете, можно ли разложить трехчлен ах2 + bx + c на множители? Что для этого надо сделать?

Найти корни квадратного трехчлена, если они есть,

и составить произведение а(х - х1)(х - х2).

Получим ах2 + bx + c = а(х - х1)(х - х2). Это и есть наша гипотеза. Необходимо ее проверить. Для этого рассмотрим теорему о разложении квадратного трехчлена, имеющего корни, на множители.



VI. Этап проверки правильности полученного решения - доказательство гипотезы



Теорема

Если х1 и х2 - корни квадратного трехчлена ах2 + bx + c, то ах2 + bx + c = а(х - х1)(х - х2).



Доказательство (ученики делают самостоятельно под руководством учителя) (Слад 11).

ах2 + bx + c = Так как корни квадратного трехчлена ах2 + bx + c являются корнями квадратного уравнения ах2 + bx + c = 0, то по теореме Виета

.

Отсюда

Поэтому



ах2 + bx + c ==a(x2 - (x1+ x2 )x +x1 x2 ) = a(x2 - x1 x - x2 x + x1 x2 ) =

=a(x(x - x1 ) - x2 (x - x1 )) = a((x - x1 ) (x - x2 ), ч.т.д.



VII. Возникновение новой проблемной ситуации



А как поступить, если квадратный трехчлен не имеет корней? Можно ли его разложить на множители? Ваше мнение?

Попробуем в этом разобраться.

А что если пойти от противного? То есть предположить, что квадратный трехчлен можно представить в виде произведения многочленов первой степени:

ах2 + bx + c = (kx + m)(px + q), где k, m, p, q - некоторые числа, причем k 0 и p 0.

Найдите, при каких х произведение (kx + m)(px + q)= 0?

При и

Следовательно, при этих значениях х обращается в нуль и трехчлен ах2 + bx + c, то есть числа и являются его корнями.

Мы пришли к противоречию, так как по условию этот трехчлен корней не имеет.



Вывод: если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители.


VIII. Усвоение и применение изученного


Выполнить задания № 76(а), 84(б), № 86 по учебнику.

№ 76(а). Разложите на множители квадратный трехчлен: 3х2 - 24х + 21.


84(а). Сократите дробь: .


№ 86. Чем различаются графики функций y = x - 4 и Чем различаются графики функций y = x - 4 и ??


IX. Домашнее задание:

Пункт 4 (прочитать примеры 1, 2, 3). Решить № 77(а, б) и № 84 (а).


X. Итог:


Итак, что дает нам теорема о разложении на множители квадратного трехчлена, имеющего корни?

Она дает возможность, найдя корни трехчлена, разложить этот трехчлен на множители, и это используется при сокращении дробей.


Вернуться по ссылке на слайд 1.

Удалось ли вам убедиться в справедливости слов Пойа? Как вы их поняли для себя? (Высказывания учеников:

«Это действительно так, иногда задача бывает такой трудной, что я начинаю злиться, что мне не хватает способностей ее решить, но потом я нахожу решение, и радость победы над собой ни с чем несравнима».

«Только самостоятельное решение помогает что-то понять и сделать открытие»,

«Без самостоятельного решения и размышления ум не развивается, потому что это будет шаблонное мышление, которое никому неинтересно»).


Литература:

  1. Алгебра. 9 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. А. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова] ; под редакцией С. А. Теляковского. - 16 изд. - М.: Просвещение, 2009.

  2. ГИА-2012. Математика : типовые экзаменационные варианты :30 вариантов / под редакцией И. В. Ященко. - М. : Национальное образование, 2001.

  3. Биографический словарь деятелей в области математики. А. И. Бородин, А. С. Бугай. Пер. с укр. - К.: Радянська школа.

  4. Демо версия ГИА математика. 2013 г.







если материал вам не подходит, воспользуйтесь поиском
X

Чтобы скачать данный файл, порекомендуйте его своим друзьям в любой соц. сети.

После этого кнопка ЗАГРУЗКИ станет активной!

Кнопки рекомендации:

загрузить материал