Научно - исследовательская работа

Муниципальное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 9 г. Ртищево Саратовской области»

Районная учебно-исследовательская конференция «Надежда Губернии»

Секция: «Физико-математические науки»

предмет: Математика

Учебно-исследовательская работа

«Планиметрические задачи в заданиях ЕГЭ»

Автор: Дружинин Вадим

обучающийся 10 класса,

Руководитель: Кузьмина Галина Вячеславовна,

учитель математики

г. Ртищево

2014 - 2015 учебный год

Содержание:

1. Введение_______________________________________________стр. 3

2. Основная часть

а) Историческая справка.________________________________стр. 4

б). Анализ геометрических задач ЕГЭ__________ __________стр. 5

в). Справочный материал по планиметрии_________________стр 6

г). Решение заданий В₇ ЕГЭ_____________________________стр.8

д). Задания № 18 ЕГЭ._________________________________стр. 10

3. Заключение._____________________________________________стр.12

4.Литература.______________________________________________стр.13

5. Приложения._____________________________________________стр.14

Введение

Я являюсь учеником 10 класса и в следующем учебном году мне предстоит сдача ЕГЭ. Поэтому это меня волнует и вызывает интерес. На уроках математики мы уже начали подготовку к сдаче единого экзамена. А общаясь с выпускниками прошлых лет, я выяснил, что самыми трудными заданиями по математике на экзамене являются геометрические задачи. Из официальных источников я выяснил, что при подготовке к ЕГЭ очень ярко видны пробелы изучения геометрии в школе Анализ результатов ЕГЭ в последние годы показал, что с задачами по геометрии справляются очень малое количество выпускников. При этом высветился ряд существенных недостатков в подготовке выпускников: теоретическое содержание курса геометрии усваивается формально, поэтому ученики не могут использовать изученный материал в ситуации, которая даже незначительно отличается от стандартной. В КИМах по математике встречаются планиметрические и стереометрические задачи. При этом следует обратить внимание, что планиметрические задачи из года в год оставались наиболее неразрешимыми для выпускников. А так как еще не весь материал пройден по стереометрии, я решил обратить особое внимание на решение планиметрических задач. Мною были рассмотрены варианты ЕГЭ последних трех лет. Результаты моей работы я представляю в данном проекте.

Актуальность: Планиметрия-основа всей геометрии. И именно с неё

начинаются азы геометрии в средней школе. И отлично выучив этот материал, научившись грамотно им оперировать, можно блестяще сдать ЕГЭ, который открывает мне путь в будущую жизнь.

Перед собой я поставил цель: вспомнить материал предыдущих классов по

планиметрии. И сравнив задачи из вариантов экзамена понять, какие знания

из планиметрии наиболее важны при сдаче ЕГЭ.

А современная жизнь делает задачи по геометрии актуальными, так как

сфера их практического приложения расширяется. Вопросы инновационных

технологий в строительстве, космонавтике, технике невозможны без умения

производить необходимые чертежи и вычисления, которые требуют знания

важных и интереснейших свойств треугольника.

Объект исследования: варианты ЕГЭ по математике

Предмет исследования: планиметрические задачи

Цели проекта:

1. Обобщить и систематизировать знания, умения и навыки по теме "Решение планиметрических задач".

2. Развить умение применять полученные знания при решении задач.

3. Подготовиться к ЕГЭ.

Задачи: изучить геометрический материал в рамках подготовки ЕГЭ, проанализировать геометрические задачи ЕГЭ, научиться решать планиметрические задачи.

Историческая справка

Первые прообразы ЕГЭ стали появляться в России в 1997 году. В отдельных школах начали проводить эксперименты по добровольному тестированию выпускников (в основном по математике).

Автором идеи Единого государственного экзамена в России стал Владимир Филиппов, возглавлявший Министерство образования с 1998 по 2004 год. Именно он начал масштабную реформу отечественного образования: присоединение России к Болонскому процессу с разделением высшего образования на бакалавриат и магистратуру, создание новых образовательных стандартов. Одним их необходимых условий этого процесса стало введение новых способов оценки знаний школьников.

ЕГЭ должен был уничтожить коррупцию в школах и вузах и обеспечить эффективную проверку знаний выпускников (стандартная пятибалльная шкала с этой задачей давно уже не справлялась). Именно поэтому была выбрана тестовая форма, с которой работает беспристрастная машина. Кроме того, госэкзамен должен был сделать высшее образование по-настоящему доступным для детей из регионов.

«Во все элитарные и в большинство других вузов можно поступить только либо через репетиторство при данном вузе, либо через платные курсы при нем, либо через целевой прием, который они реализуют, либо через «договорные» школы, которые есть у московских и питерских вузов», - утверждал Филиппов.

В 1999 году создан Федеральный центр тестирования Минобрнауки. Задача: развитие в стране системы тестирования, а также осуществление мониторинга качества знаний обучающихся в российских образовательных учреждениях.

Владимир Путин, президент РФ:

«Что касается ЕГЭ, то здесь есть минусы, мы об этом уже несколько лет говорим, но есть и плюсы, которые заключаются в борьбе с той же самой коррупцией, и количество молодых людей, которые поступают в лучшие вузы страны за счет сдачи ЕГЭ, кратно увеличилось».

Анализ геометрических задач ЕГЭ

Проанализировав задачи в ЕГЭ, я выяснил, что в КИМах встречаются следующие типы заданий: треугольник, четырехугольники, центральные и вписанные углы, вписанная и описанная окружности, площади многоугольников, площадь круга и кругового сектора, координаты и векторы. Но, к сожалению, не в каждом учебнике есть необходимый теоретический материал, много изучается как бы вскользь, чуть затрагивая свойство или даже теорему. К таким моментам можно отнести, например, свойство биссектрисы угла в треугольнике. Биссектриса угла в треугольнике делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные сторонам угла, из которого проведена данная биссектриса. Это одно из свойств, которое в учебнике Атанасяна не доказывается, а встречается только при решении одной задачи. Однако на экзаменах в форме ЕГЭ в заданиях по геометрии дается задача именно на данное свойство. Например: В прямоугольном треугольнике АВЕ с прямым углом Е проведена биссектриса ВТ, причем АТ = 15, ТЕ = 12. Найдите площадь треугольника АВТ. Данная задача именно на свойство биссектрисы. Ещё пример таких задач из вариантов ЕГЭ: В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена биссектриса ВК. Найдите площадь треугольника АВК, если площадь треугольника АВС равна 21, а синус угла А равна 0,4. Данная задача также на свойство биссектрисы. Кроме данного свойства, такая же судьба у некоторых других свойств и признаков. Например: свойство четырехугольника, описанного окружностью, и четырехугольника с вписанной окружностью. У четырехугольника, в который вписана окружность, суммы противоположных сторон равны. У четырехугольника, около которого описана окружность, сумма противоположных углов равна 180 градусам. И есть огромное количество таких примеров. При решении заданий №18 очень часто приходится сталкиваться с понятием вневписанной окружности, которого также нет в школьных учебниках

Справочный материал по планиметрии.

При работе над проектом, мною также было установлено, что для успешного выполнения заданий В₇ и В₄ ЕГЭ нужна определённая система знаний по теме «Треугольник».

Треугольник - фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.

С

А

В

1. Сумма углов треугольника равна 180º. А+  В+  С=180º

2. В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон. АВ<BC+AC , BC<AB+AC, AC<AB+BC.

3. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, против большего угла - большая сторона. Если АВ > АС, то  С>  В.

4. Треугольники бывают: остроугольные, прямоугольные, тупоугольные, разносторонние, равнобедренные, равносторонние.

5. В равностороннем треугольнике все углы равны.

Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. ВС²= АВ² + АС²

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение

противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой. Высота СН= .

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы. Медиана СД= .

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла. Катеты АС= ; СВ=.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Треугольники называются равновеликими, если они имеют одну и ту же площадь.

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией треугольника.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке( центре описанной окружности).

Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Теорема синусов: Отношение стороны треугольника к синусу противоположного равно диаметру описанной окружности.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с внутренним углом треугольника.

Вневписанной окружностью называется окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других.

Задания В₇ ЕГЭ

Исследуя, решая и анализируя задания В₇ ЕГЭ, мною было выделено несколько групп планиметрических задач по теме «Треугольник». Я приведу решение некоторых из них.

1. В треугольнике ABC угол C равен 90^о, высота CH= 6, AC = 10. Найдите tgA.

Решение.

В прямоугольном треугольнике ΔACH по теореме Пифагора AH = =8.

Следовательно, tgA = =0,75.

Ответ. 0,75.

2.В ΔABC угол C = 90^о, cosA = . Найдите cинус внешнего угла при вершине В.

Решение.

А

С В D

Углы ABC и ABD смежные , а синусы смежных углов равны. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90. Поэтому sin ABD = sin ABC = cos A = = 0, 28

Ответ: 0,28

3. В ΔABC угол C равен 90^о, CH - высота, BC = 6,cosA = 0,8. Найдите CH.

Решение.

Так как ВС=6, и cos А = = , следовательно АС=8, АВ=10. По свойству АС=, тогда 8= , значит АН=6,4. По теореме Пифагора СН= =4,8.

Ответ: 4,8.

4. В ΔABC AC = BC, AB = 10, cosA = 0,6. Найдите высоту AH .

Решение.

В равнобедренном ΔABC угол Aравен углу B, следовательно cosA=cosВ= , тогда BH = AB ∙ cosB = =10∙0,6=6. По теореме Пифагора находим AH==8.

Ответ: 8.

5. Острые углы прямоугольного треугольника равны 51ºи 39º.Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение.

А Н

D

С В

По свойству А=51°, а СН - высота, то АСН=90°-51°=39°.Так как СД -биссектриса, то АСД=ДСВ=АСВ:2=90°:2=45°. Следовательно НСД=АСД-АСН=45°-39°=6°.

Ответ:6.

5. Задания № 18 ЕГЭ

Данное задание является одним из наиболее сложных, но и оценивается оно большим количеством баллов. Чаще всего для решения заданий №18 (С₄) используется несколько теорем и свойств. Но задания С₄ предыдущих лет были с неоднозначным решением. Поэтому в своей работе я остановлюсь на задания № 18 2015 года

1.Площадь треугольника АВС равна 72, а сумма длин сторон АС и ВС равна 24.
а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.
б) Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник АВС, если известно, что две вершины этого квадрата лежат на стороне ВС.

Решение:

a) Пусть АС= х тогда ВС = 24 - х, Согласно условию S_ABC =72,

то есть х( 24 -х) sin C = 72

Имеем (24х - х²) sin C =144

Так как sin C≠ 0, то х² -24х + = 0

Для существования х необходимо, чтобы D ≥0

Так как D = , то ≥ 0

Итак, ≥ 0

Так как sin C > 0, то приходим к следующему неравенству: sin C -1 ≥ 0 , sin C ≥ 1

Откуда sin C = 1, то есть С = 90

Треугольник АВС - прямоугольный, что и требовалось доказать.

б) Опираясь на пункт (а), приходим к тому, что х =12 то есть АВС - равнобедренный (А =В = 45).

Обозначив сторону квадрата MNPQ , вписанного в треугольник ABC за х, несложно заметить, что гипотенуза АВ треугольника АВС выражается через 3х.

Поэтому 3х = 12 , откуда х = 4

Ответ: 4

Я провел анкетирование выпускников 10-11классов нашей школы для выяснения причин малой решаемости планиметрических задач. Вот такие результаты я получил.

1.Плохое знание теоретического материала - 7 человек

2. Недостаточность навыка решения геометрических задач - 6 человек

3. Большая затрата времени на решение планиметрических задач -12 человек

4. Малое количество часов на изучение геометрии в школе - 5 человек

5.Трудность геометрических задач - 15 человек

Заключение:

Исследование и решение мною заданий ЕГЭ показало, что отлично зная материал планиметрии и умея оперировать этими знаниями, можно с лёгкостью решить задачи любой сложности из экзамена по теме «Планиметрия» даже ученикам 10 класса. Проводя проектную работу, я смог повторить прошлый материал и извлёк новую информацию, которая в будущем поможет мне на ЕГЭ. Для успешной сдачи надо помнить, что все геометрические задачи в вариантах ЕГЭ вычислительные, поэтому для их успешного решения должен быть отработан аппарат стандартных вычислений. Несмотря на то, что задачи вычислительные, для их успешного решения важно твёрдое владение теоретическим материалом, для каждой задачи нужно уметь правильно выполнить чертёж.

Работая над рефератом, я пришел к выводу, что проделанная мною работа пригодится мне в дальнейшем при сдаче ЕГЭ по математике через год .

Сейчас я с уверенностью могу сказать, что сделанная мною работа проделана не зря и что в дальнейшем я буду продолжать заниматься подготовкой к ЕГЭ по математике по другим разделам.

Список литературы

1. Математика.ЕГЭ,2010/авт.-сост.И.Р.Высоцкий,Д.Д.Гущин,П.И.Захаров -М.:АСТ:Астрель,2010

2. ЕГЭ 3000 задач с ответами (математика), под редакцией А.Л. Семенова, И.В. Ященко, изд «Экзамен, Москва.2011г .

3. http://egemaximum.ru/zadanie-18-t-r-109-a-larina/#more-17264

5. Математика, ЕГЭ, Типовые тестовые задания, Под. Редакцией И.В.Ященко, изд. Экзамен,2015

6. Математика, ЕГЭ - 2012, под редакцией А.Л. Семенова, И.В. Ященко изд. Научное образование, Москва,2012

7. Математика, базовый уровень, ЕГЭ2013, под. Редакцией Ф.Ф.Лысенко. С.Ю.Кулабухова,изд.Легион,2012

Приложение №1

Признаки равенства треугольников

1.Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

3.Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны

Медиана треугольника - отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника - отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Высота треугольника - перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону треугольника.

Средняя линия параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним углов .  ВАМ =  В +  С

Приложение№2

1.В треугольнике ABC угол C равен 90^о, AB = 10, AC = 8.Найдите cosB.

Решение.

В прямоугольном ΔABC по теореме Пифагора BC = =6.

Следовательно, cosB = =0,6 .

Ответ: 0,6.

2. В ΔABC AC = BC = 10, sin В = 0,8. Найдите AB.

Решение.

Проведем высоту CH. Так как sinВ = . Имеем CH = ВC ∙ sinВ = 10∙0,8=8. По теореме Пифагора находим ВH = =6. Так как Δ АВС равнобедренный, то АН=НВ и, следовательно, AB = 12

Ответ: 12.

3. В ΔABC AB = BC, высота CH равна 5,tgC = . Найдите AC .

Решение.

В равнобедренном ΔABCугол A равен углу C,значит tgС=tgА= = , тогда АН= = = 5 .

По теореме Пифагора находим AC= = 10.

Ответ: 10.

4. В ΔABC AC = BC, AB = 10, высота AH равна 8. Найдите cosA .

Решение.

В прямоугольном ΔABH по теореме Пифагора находим BH==6 , следовательно

cosB = =0,6. Так как АС=ВС, то ΔABС- равнобедренный, угол А равен углу В и, следовательно, cosA =cosB = 0,6.

Ответ: 0,6.

5.В ΔABC угол C равен 90^о, AB = 10, BC = 6. Найдите синус внешнего угла при вершине A .

Решение.

Д

Так как ДАВ= 180 º - ВАС, то sin ДАВ= sin (180 º - ВАС) =

=sin ВАС=0,6.

Ответ: 0,6.

6.Острые углы прямоугольного треугольника равны 53 и 37°.Найдите угол между медианой и высотой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Так как СН высота, то АСН=90°-А=90°-53°=37°. Поскольку АСВ=90°, тоНСВ=90°-АСН=53°. По свойству медианы прямоугольного треугольника СД=ДВ, следовательно, ДСВ=ДВС=37°,отсюда НСД=53°-37°=16°

7.В остроугольном треугольнике АВС высоты АА₁ и СС пересекаются в точке О.

а) Докажите, что треугольники АОС и С₁ОА₁ подобны.

б) Найдите площадь четырехугольника АСА₁С₁, если известно, что угол равен АВС = 30 , а площадь треугольника АВС равна 80.

Решение:

а) Точки А,С,А₁С₁лежат на одной окружности с диаметром АС

Поэтому  А₁АС = А₁С₁С как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.

Заметим,  АОС =  А₁ОС₁ как вертикальные.

Тогда по двум углам.

б) Так по условию  В = 30 и S_{ABC =} 80, то

80 = АВ  ВС sin 30

320 = АВ  ВС

Из прямоугольного треугольника АА₁В с углом в 30 , АА₁ =

Аналогично СС₁ =

Распишем площадь четырехугольника АСА₁С₁

S_АСА1С1 = АА₁  СС₁ sin О

S_АСА1С1 =  sin 150

S_АСА1С1 = АВ ВС , S_АСА1С1 = 20

Ответ: 20.