Урок по алгебре на тему 'Решение задач на движение'

Решение задач на движение с помощью
систем уравнений второй степени

Цели: формировать умение решать задачи на движение с помощью систем уравнений второй степени.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Периметр прямоугольника равен 20 см, а его площадь равна 21 см². Пусть х и у - стороны этого прямоугольника. Какая из систем соответствует условию задачи?

а) б) в)

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Разность двух чисел равна 5, а их произведение равно 84. Найдите эти числа.

2. Прямоугольный участок земли площадью 2080 м² обнесен изгородью, длина которой равна 184 м. Найдите длину и ширину участка.

В а р и а н т 2

1. Сумма двух чисел равна 25, а их произведение равно 144. Найдите эти числа.

2. Прямоугольный участок земли площадью 3250 м² обнесен изгородью, длина которой равна 230 м. Найдите длину и ширину участка.

IV. Формирование умений и навыков.

Сначала необходимо актуализировать знания учащихся о решении задач на движение, выделив р я д э т а п о в.

1) Анализ условия:

- Какие объекты рассматриваются в задаче?

- Какое движение описано в задаче (однонаправленное, движение навстречу, по кругу и т. д.)?

- Значения каких величин известны?

2) Выделение процессов, которые описаны в задаче.

3) Выбор неизвестных величин и заполнение таблицы.

4) Составление системы уравнений.

5) Решение системы уравнений.

6) Интерпретация и проверка полученного решения.

Как реализуются описанные этапы, можно разобрать на примере задачи № 472.

Р е ш е н и е

1) В задаче описано движение двух пешеходов навстречу друг другу. Известно расстояние между пунктами и расстояние, которое прошли пешеходы за 4 часа.

2) Выделим два процесса:

- реальное движение пешеходов;

- движение при условии выхода одного из пешеходов на 1 ч раньше.

3) Пусть х км/ч - скорость первого пешехода и у км/ч - скорость второго пешехода.

Заполним две таблицы:

4) Известно, что расстояние от А до В равно 40 км, поэтому получим уравнение: 4х + 4у = 36. Известно, что при движении с заданным условием первый пешеход был в пути на 1 ч дольше, то есть получим уравнение: = 1.

Составим систему уравнений:

5) Решим ее способом подстановки:

20у - 20 (9 - у) - у (9 - у) = 0;

20у - 180 + 20у - 9у + у² = 0;

у² + 31у - 180 = 0;

у₁ = 5 х₁ = 9 - 5 = 4;

у₂ = - 36 (не подходит по смыслу задачи).

6) Получаем скорости пешеходов: 4 км/ч и 5 км/ч.

О т в е т: 4 и 5 км/ч.

Упражнения:

1. № 473, № 547.

2. № 461.

Р е ш е н и е

Пусть х км/ч - скорость первого отряда и у км/ч - скорость второго отряда.

Заполним таблицу:

Известно, что первый отряд прошел на 4,8 км больше, чем второй. Получим уравнение:

4х - 4у = 4,8.

На рисунке ОА = 4х и ОВ = 4у. По теореме Пифагора, получим уравнение:

(4х)² + (4у)² = 24².

Составим систему уравнений:

Решая систему способом подстановки, находим, что х = 4,8 и у = 3,6 (другое решение является отрицательным).

О т в е т: 4,8 и 3,6 км/ч.

Сильным в учебе учащимся можно дополнительно дать выполнить № 548.

Р е ш е н и е

Пусть х км/ч - скорость первого автомобиля, а у км/ч - скорость второго.

В первую таблицу занесем данные о прохождении каждым автомобилем всего пути, а во вторую - об их движении после встречи.

Поскольку после встречи первый автомобиль приходит в N через 1,25 ч, а второй в М через 0,8 ч, то первый на весь путь тратит на 1,25 - 0,8 = 0,45 ч больше. Получим уравнение:

= 0,45.

После встречи первый автомобиль проходит 1,25х км, а второй - 0,8у км. Получим уравнение:

1,25х + 0,8у = 90.

Составим систему:

Решая эту систему, находим, что х = 40 и у = 50.

О т в е т: 40 км/ч и 50 км/ч.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

- Опишите различные способы решения систем уравнений второй степени.

- Перечислите этапы решения задач на движение.

- Какие виды движения могут описываться в задаче?

- В чем заключается интерпретация полученного решения?

Домашнее задание: № 462, № 474.

Д о п о л н и т е л ь н о: № 549.

Ресурсы: учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под редакцией С. А. Теляковского. - М.: Просвещение, 2009.

электронное пособие «Алгебра. 9 класс: поурочные планы по учебнику Ю. Н. Макарычева» серии «Для преподавателей»