Арифметическая и геометрическая прогрессии. (9 Кл)

ТЕМА УРОКА: Арифметическая и геометрическая прогрессии.

ЦЕЛЬ: создать условия для развития у школьников

• Интеллектуальной культуры посредством содержания учебного материала, т.е. применение знаний и умений при решении заданий разных уровней трудности, не стандартных заданий.

• Организационной культуры, т.е.уметь осуществлять самоконтроль и самооценку, работать во времени.

• Коммуникативной культуры, т.е. развивать математическую речь, уметь общаться, высказывать своё мнение и слушать мнение других, анализировать работу, подводить итог.

ТИП: УРОК- ПРАКТИКУМ ( решение разноуровневых заданий)

ХОД УРОКА:

Ребята! Закончите высказывание:

« Дорогу осилит идущий, а математику …мыслящий.»

Отслеживать своё мышление поможет вам листок - самооценка, в котором за каждое задание вы будете выставлять баллы.

1. Актуализация знаний ( целепологание ).

Внимание! Задание 1( 5 баллов). На доске записаны числовые последовательности:

1. 2, 4, 6, 8, …;

2. 1, 2, 4, 8, 16,….;

3. 2, 2², 2³, 2⁴,…;

4. 2, 2, 2, 2, …;

6)

7) 2, 2,

Разбейте их на группы.

• Анализируя ответы, ребята выявили ошибки и обосновали правильные ответы, тем самым, повторили определения арифметической и геометрической прогрессий.

Ответ: 1-я группа: Арифметическая прогрессия 1), 4), 5);

2-я группа: Геометрическая прогрессия 2), 3), 4), 6);

3-я группа: Ни арифм. и ни геометр. прогрессии 7).

Какая тема урока?

-Прогрессии.

Ребята! Внимательно посмотрите на задания , записанные на доске и ответьте на вопрос:

Чем вы сегодня будете заниматься на уроке?

- Мы будем решать задания разных уровней трудности, не стандартные задания.

Как вы хотите работать?

- В парах, индивидуально, в группах.

Выберите задание, с которого вы начнёте работу. За консультацией можно обращаться к учителю.

2. Самостоятельная работа.

Задание 2. Найдите такие значения х, при которых числа 2, х, 3х являются последовательными членами арифметической прогрессии? Геометрической прогрессии?

5 баллов

Решение:

1-й способ

2-й способ

1. По характеристическому свойству арифметической прогрессии мы знаем, что . Тогда получим уравнение . Решим это уравнение.

,

2х =2 + 3х,

- х = 2,

х = -2.

При х = -2 числа 2, х, 3х являются последовательными членами арифметической прогрессии.

2. По характеристическому свойству геометрической прогрессии мы знаем, что . Тогда составим уравнение х² =2 *3х и решим .

х² - 6х =0,

х( х - 6) =0,

х = 0 или х = 6.

х =0 исключаем, т.к. по определению геом.прогрессии .

Значит, при х = 6 числа 2, х, 3х являются последовательными членами геометрической прогрессии.

Ответ: х = -2; х = 6.

1. По определению разности арифметической прогрессии мы знаем, что . Составим уравнение х - 2 = 3х - х.

х - 2 = 3х - х,

х - 2х = 2,

- х = 2,

х = -2.

Получили, что , при х = -2 числа 2, х, 3х являются последовательными членами арифметической прогрессии.

2.По определению знаменателя геометрической прогрессии мы знам, что выполняется равенство .Составим и решим уравнение

;

х² -6х = 0,

D = 36, 36>0, 2корня,

х₁ = 0, х₂ =6.

Проверка: 1) х = 6, 3=3, верно, является корнем;

2) х = 0, на нуль делить нельзя, исключаем.

Значит, при х = 6 числа 2, х, 3х являются последовательными членами геометрической прогрессии.

Ответ: х = -2; х = 6.

Задание 3. Начиная с какого номера п все члены заданной арифметической прогрессии (а_п) будут больше заданного числа А?

а₁ = -12,d = 3, А = 141.( в учебнике № 434 А). 5 баллов

Решение.

а_п = а₁+ d(n-1). Так как а₁ = -12, d = 3,a_n= 141, то получим неравенство 141< -12 + 3( n - 1). Решим это неравенство.

141< -12 + 3( n - 1),

141< -12 + 3n -3,

141< -15 + 3n,

156< 3n,

n>52.

Так как п натуральное число по условию, то с 53-го номера члены заданной арифметической прогрессии будут больше числа А=141.

Ответ: п = 53.

Задание 4. Решите уравнение 1 + 7 + 13 + …+ х = 280.( 10 баллов)

Решение.

Слагаемые, стоящие в левой части уравнения , задают конечную арифметическую прогрессию (а_п).

1, 7, 13,…, х.

а₁ = 1, d = 7 - 1 =6, S_n =280. Найти а_п.

.( Формула суммы п- членов арифметической прогрессии)

Составим и решим уравнение.

,

280 = ( 3п-2)п,

3п² - 2п -280 = 0,

D = 3364, D>0, 2 корня;

п₁ = 10, п₂ = .

п₂ = исключаем, т.к. по условию п - натуральное число. Так как а_п = а₁+ d(n-1), то а₁₀ = 1 + 6(10 - 1) = 55. Получили , что х = 55.

Ответ: 55.

Задание 5. Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две бактерии, каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т.д. Найдите число бактерий, образующихся из одной бактерии к концу суток. ( в учебнике № 524) 10 баллов

Решение.

В данной задаче присутствует конечная геометрическая прогрессия: 1, 2, 2², 2³, ,…,2⁷². В сутках 24 часа, а минут получается 24*60=1440,

тогда 1440: 20 = 72 , 72 члена в этой прогрессии. Найдём их сумму.

, .

S_n = .

Ответ: 2⁷² - 1.

Ребята! Это очень большое число. Для сравнения приведу пример: 2³⁰ около миллиарда.

3. Анализ ответов.

4. Подводим итоги урока. Выставите в оценочный лист баллы и

• Если вам удалось набрать 15 баллов, то ставьте оценку «4»

• Если вы решили только 4-е или 5-е задание, то ставьте оценку «5»

• Если вы набрали более 15-ти баллов, то тоже ставьте «5»

• Если вы набрали менее 15-ти баллов, но более10-ти, то ставьте оценку «3»

5. Домашнее задание.

На «5» - № 473, № 525 и решить уравнение (х + 1) + ( х + 4) + ( х + 7) +…+(х + 28) =145.

На «4» - № 470, № 451, № 434 в.

На «3» - № 438 в г, № 445, № 506.