Планы-конспекты к урокам по математике с соответствующим домашним заданием и самостоятельной работой по теме: 'Линейные уравнения с параметрами'

Обучение решению линейных уравнений с параметрами

Большинство пособий ,адресованных выпускникам приводя задачи с параметрами, объясняют необходимость овладения методикой их решения постоянным присутствием таких задач в экзаменационном материале. Конечно, с этим приходится считаться, но вряд ли стоит рассматривать как основную причину введения в школьный курс математики. Уникальность параметрических заданий ,безусловно ,состоит в их обобщающем характере .Эти задания, как никакие другие, направлены на развитие логического мышления, способностей к анализу и позволяют приобрести первоначальные навыки исследовательской деятельности Несмотря на то, что задачи с параметрами относятся к задачам повышенной сложности и требуют определённой подготовленности аудитории, введение их полезно хотя бы потому, что именно они позволяют рассмотреть изучаемую тему всесторонне, отслеживая все ''тонкие места'', способствуя качественному восприятию материала. Кроме того, опыт используемых приёмов и методов при решении этих задач несомненно важен при формировании математической культуры у школьников.

Данный материал может быть использован как в курсе 7 класса (в полной мере или до определенного уровня-зависит от возможностей учеников), так и при повторении и обобщении материала в рамках подготовки к ГИА в 9 классе

Урок 1 (1-2)

Опр. Линейным уравнением называется уравнение вида ax=b (или ax+b=0 ),где x-неизвестная переменная, a и b-некоторые числа (параметры)

I (На доске выписаны вопросы, задание выполняется устно)

а)Какие из чисел 3;-1 и 0 являются решениями уравнения 2х+7=5 ?

б) Какие из чисел 5; ; -4 и 0,1 являются корнями уравнения 0·х+4=-3 ?

в) Какие из чисел 4; ;- ; 0 и 0,3 являются корнями уравнения 0·х=0 ?

Ответы: а) -1; б) 0·х+4=-3 <=> 0·х=-7, корней нет, след., никакие; в) все, любые числа.

II

ax=b

a≠0, b-любое число

a=0, b≠0

a=0, b=0

Например,

0,7·х=140;

·х=0

Один корень

х=

Например,

0·х=145

Корней нет

0·х=0

Корень-любое число (корней бесконечно много)

(таблица спрятана на откидной доске и появляется после ответа на вопрос "Какие возможны случаи при решении линейного уравнения и от чего это зависит?" )

Обратим внимание на возможные три случая в отношении количества корней, при этом обговаривая роль каждого из параметров a и b.Отсюда следует алгоритм решения уравнения вида ax=b.Итак,

ax=b

да a=0? нет

х=

нет в=0? да

корней нет любое число-корень

III Решить уравнения (Уравнения выписаны на доске. Учащиеся могут комментировать их решение с места или могут, выходя к доске, записывать их решение.)

а) 2х=6 б) 3х=18 в) -5х=0 г) ·х=c

д) -0,4х=с-3 е) (k²+1)х=с ж) (2k²+3)х=2k+1

Вопросы: Что является общим для этих уравнений?

Какой вывод можно сделать о решении таких уравнений?

Ответ: Все уравнения имеют вид ах=в, для каждого из них а≠0, каждое уравнение имеет

один корень.

IV Решить уравнения (Уравнения выписаны на доске и работа строится аналогично

п.III)

а) 0·х=-3 б) 0·х=с²+1 в) mх= г) (2k+1)·х=3m²+4

Вопросы: Что является общим для данных уравнений? Что является общим для пар

уравнений а)-б) и в)-г) ?

Ответ: Все уравнения имеют вид ах=в. Общим для пары а)-б) является то, что а=0, b≠0 и,

следовательно, у этих уравнений отсутствует решение.

Для уравнений в)-г) общим является то, что b≠0 в каждом, но для коэффициента(параметра) а существует 2 случая, например, для в) при m=0 получаем уравнение типа а) и б), при m≠0 уравнение имеет один корень, как в уравнениях III.Аналогично для уравнения г).

V Решить уравнения (Уравнения выписаны на доске и работа строится аналогично

п.III и п.IV.)

а) 0·х=0 б) m·х=0 в) (k+1)·х=0 г) m·х=m д) 0·х=k е) 0·х=7-k

Вопросы: Что является общим для всех уравнений и для пар в)-г) и д)-е) ?

Ответ: Общим для всех уравнений является то, что все имеют вид ах=в, причем для уравнений д)-е) а=0 и необходимо рассмотреть два случая ( b=0 и b≠0 ), что приводит, соответственно, к тому, что корнем является любое число или корней нет. В уравнениях б)-г) необходимо рассмотреть два случая ( для параметра а ), что приводит к тому, что или корнем является любое число или имеем один корень.

Домашнее задание

№1 Для каких значений параметров k и m уравнения имеют только одно решение?

а) (4=2m б) (0,2+)·х=m+3p

№2 Для каких значений параметров k и m уравнения не имеют решений?

а) (2k=1-3m б) ( +0,1)·y=2m-3

№3 Для каких значений параметров p и m уравнения имеют решениями любые числа?

а) (-6=7+5p б) (-0,1-1)·z=6-0,7p

№4 Решить уравнения.

а) px=7q-2 б) (2m-3)·x=1-10p

Урок 2 (3)

I Решение домашнего задания вывешено перед уроком. Проверка домашнего задания является обязательной, особенно в части решения и записи ответа к №4

Ответ к №4: а) 1) Если p≠0, то х=, где q- любое число;

2) Если p=0, q=, то любое число - корень уравнения;

3) Если p=0, q ≠, то корней нет.

б) 1) Если m ≠ , то х=, где p - любое число;

2) Если m = и p=0,1, то любое число - корень уравнения;

3) ) Если m = и p≠0,1, то корней нет.

II Повторить алгоритм исследования линейного уравнения с параметрами на примере решения уравнения (k+1)·х = m. Обратить внимание на запись ответа.

Ответ: 1) Если k≠ -1 и m- любое число, то х=;

2) Если k= -1 и m=0, то любое число является корнем;

3) Если k= -1 и m≠0,то корней нет.

III Существуют ли значения параметров m, k и p такие, что каждое из уравнений

а) (m²+k²) y = p-1

б) (k-m)z =(k-m)p

• имеет один и только один корень,

• имеет один корень, равный нулю,

• не имеет решений?

IV При каких значениях параметров k и m уравнение имеет решения?

а) (k-1)х = m²

б) (2k+11)y = 4 -

V (или Домашнее задание) а) Решить уравнение (5a-1)х = 2a+3.

б) При каких значениях параметра b уравнения 3х = 5b+1 и 2х = 7-b имеют общий корень?

Самостоятельная работа по теме "Линейные уравнения с параметрами"

Решите уравнения

I II

№1 (k+3)y = m-5,2 №1 (k+-1)y = 4,5+m

№2 0·x = 8,3+a №2 0·x = b-7,2

№3 (b-2,5)x =(b-2,5)(b+2,5) №3 (a+12,1)(a-12,1)x = a+12,1