Готовимся к ЕНТ

Тригонометрические уравнения

(Тренажер)

Т.И. Харитонович, учитель математики

ГУ «Школа-лицей №20» (г. Павлодар)

Решение уравнений разложением на множители.

Пример. Решить уравнение

Решение: Воспользуемся формулой . Уравнение запишется в виде:

Но сокращать левую и правую часть на не рекомендуется. Лучше разложить на множители

Последнее уравнение равносильно совокупности уравнений

Первое уравнение решений не имеет, так как функция синус не может принимать значений, по модулю больше единицы. Решение второго уравнения

Ответ:

Решение уравнений преобразованием суммы или разности тригонометрических функций в произведение.

Пример. Решить уравнение

Решение: Воспользовавшись формулой перепишем уравнение в виде

или

Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений

Следовательно,

Первое множество решений целиком содержит в себе второе множество, поэтому в ответ надо записывать только его.

Ответ:

Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму.

Пример. Решить уравнение

Решение: Применим к обоим частям уравнения формулу Получим

Воспользовавшись формулой приходим к уравнению

откуда

Следовательно,

Ответ: ,

Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям.

Пример. Решить уравнение

Решение: Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством , получаем уравнение

Сделав замену

приходим к квадратному уравнению относительно новой переменной

корни которого и

Второй корень не удовлетворяет условию следовательно, исходное уравнение равносильно уравнению

откуда находим

Ответ:

Решение однородных тригонометрических уравнений.

Уравнения вида

где и -некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно и .

Пример 1. Решить уравнение

Решение: Разделим правую и левую части на .Получим уравнение откуда

Ответ:

Уравнения вида

где , и - некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно и .

Пример 2. Решить уравнение

Решение: Разделим правую и левую части на уравнения на . В результате приходим к квадратному уравнению относительно

решив которое, получаем и ,

откуда

Ответ:

Пример 3. Решить уравнение

Решение: Представим правую часть данного уравнения виде .

Тогда исходное уравнение запишется в виде

.

После очевидных преобразований приходим к уравнению

разобранному в предыдущем примере.

Решение линейных тригонометрических уравнений.

Линейным тригонометрическим уравнением будем называть уравнение вида

, где , и - некоторые числа.

Пример. Решить уравнение

Решение: Способ 1. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой . При таком переходе следует помнить, что (в этих точках не существует). Поэтому всякий раз, когда приходится пользовать данной подстановкой значения ,

необходимо проверять отдельно, подставляя в исходное уравнение.

Для сокращения письма введем новую переменную

.

Исходное уравнение перепишем в виде

После очевидных преобразований находим

откуда или .

Подставим теперь в исходное уравнение значения , и убедимся, что они являются его решениями.

Ответ:

Способ 2. Перепишем исходное уравнение в виде

Учитывая, что получим

или по формуле (синуса суммы)

Следовательно,

Ответ:

Способ 3.Возведем исходное уравнение в квадрат. После нехитрых преобразований получаем уравнение

откуда находим

Ответ:

Введение дополнительного аргумента.

Умение преобразовывать выражения вида

может потребоваться не только при решении неоднородных линейных тригонометрических уравнений, но и для построения оценок левой и правой частей уравнений, нахождения наибольших значений и т.д.

Вынесем в рассматриваемом выражении за скобки величину Получим

.

Введем дополнительный аргумент - угол , такой, что

Для любых , такой угол существует. Итак,

Введение дополнительного угла такого, что исходное выражение может быть приведено к иной функции

Пример. Решить уравнение

Решение: Воспользуемся формулой и перепишем уравнение в виде

Применим к правой части процедуру введения дополнительного аргумента. Получим

или

где, как легко видеть, Преобразуя правую часть полученного уравнения с помощью формулы , приходим к уравнению

откуда

Последнее уравнение легко решить, преобразовав сумму косинусов в произведение по формуле

Это уравнение расщепляется на два уравнения и

решение которых не представляет сколь-нибудь значительных трудностей.

Ответ: ,

Уравнения вида .

Уравнения вида

,

где - многочлен, удобно решать при помощи введения новой переменной

Тогда

Пример 1. Решить уравнение

Решение: Введем новую переменную

Тогда

Следовательно,

и исходное уравнение принимает вид

корни последнего уравнения

и .

Для определения переменной получаем 2 уравнения

решений не имеет.

Ответ. , .

Пример 2. Решить уравнение

Решение: Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, перепишем исходное уравнение в виде

Введем новую переменную

и запишем уравнение относительно новой переменной

Уравнение является кубическим, поэтому попробуем угадать хотя бы один корень. Разделив затем многочлен на двучлен подучим квадратный трехчлен относительно переменной . Это позволяет нам перейти к квадратному уравнению, решить его. Остается возвратиться к исходной неизвестной и записать ответ.

Ответ. .

Задачи для самостоятельного решения.

Решите уравнения

1.

2.

3. .

4. .

5.

6.

7.

8.

9.

10. .

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

Ответы.

1. пустое множество.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22. Пустое множество.

23. 24.