Конспект факультативного заняття за темою 'Властивості медіан трикутника'

«ВЛАСТИВОСТІ МЕДІАН ТРИКУТНИКА»

Факультативне заняття

з математики

для учнів 8-9 класів

Сімоненко Н.М.

вчитель математики

Харківської ЗОШ І-ІІІ степенів №59

Тема. Медіани трикутника.

Мета: розглянути роль медіан в трикутнику та застосування властивостей медіан для розв'язання задач; розвивати стійкий інтерес учнів до математики; логічне мислення; навички самостійно і творчо працювати з учбовою літературою.

Очікувані результати: учні знають властивості медіан трикутника та уміють їх застосовувати при розв'язанні задач.

Структура заняття: І. Підготовчі завдання.

ІІ. Основний матеріал:

1) історична довідка;

2)теоретичний матеріал;

3)приклади розв'язання задач.

ІІІ. Самостійне розв'язання задач.

IV. Гра.

V. Домашнє завдання.

Хід заняття

І. Підготовчі завдання.

1. Повторення властивостей медіан трикутник.

Можна запропонувати учням конкурс:

«Хто сформулює найбільшу кількість властивостей медіан трикутника».

Відповідь може бути такою:

• медіана ділить протилежну сторону трикутника навпіл;

• медіана ділить трикутник на два рівновеликі трикутники;

• точка перетину медіан трикутника поділяє кожну медіану у відношенні 2:1, рахуючи від вершини трикутника;

• медіани трикутника поділяють трикутник на шість рівновеликих трикутників;

• медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині;

• медіана, проведена до основи рівнобедреного трикутника, є висотою та бісектрисою;

• в правильному трикутнику кожна медіана є бісектрисою та висотою;

• точку перетину медіан трикутника називають центроїдом, або центром мас трикутника;

ІІ. Основний матеріал.

1) Історична довідка. (Можна дати завдання кільком учням підготувати історичну довідку про «особливі точки трикутника»)

Ви неодноразово чули термін «особливі точки трикутника».

У четвертій книзі «Початків» Евклід розв'язує задачу: «Вписати коло в даний трикутник». Із розв'язання випливає, що три бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці - центрі вписаного кола. Із розв'язання іншої задачі Евкліда випливає, що перпендикуляри, проведені до середин сторін трикутника, також перетинаються в одній точці - центрі описаного кола. У «Початках» не сказано про те, що і три висоти трикутника перетинаються в точці, яку називають ортоцентром трикутника. Про це твердження було відомо Архімеду.

Особливою точкою трикутника є точка перетину його медіан, яка називається центроїдом. Архімед довів,що вона є центром ваги трикутника. Починаючи XVIII ст., на зазначені вище чотири точки було звернуто особливу увагу, вони були названі «особливими» точками трикутника. Дослідження властивостей трикутника, пов'язаних з цими та іншими точками, слугувало початком для створення нового розділу елементарної математики - «геометрії трикутника», одним із засновником якого був Леонард Ейлер.

У 1765 році Ейлер довів, що в будь - якому трикутнику ортоцентр, центроїд і центр вписаного кола лежать на одній прямій, яку пізніше назвали «прямою Ейлера».

У 20 - х роках XIXст. Французькі математики Понселе Ж., Бріаншон Ш. довели незалежно один від одного теорему: основи медіан, основи висот і середини відрізків висот, що з'єднують ортоцентр з вершинами трикутника, лежать на одному колі. Це коло називають «колом дев'яти точок», або «колом Ейлера».

2)Теоретичний матеріал.

Щоб успішно розв'язувати задачі з геометрії треба добре знати теоретичний матеріал. На початку заняття були названі властивості медіан, які часто застосовуються для розв'язання задач, але медіани мають властивості, які не вивчаються на уроках. Розглянемо деякі з них.

1.Довести, що медіани трикутника можна знайти за формулами:

.

(Щоб вивести формули медіан трикутника, треба згадати ознаку паралелограма: якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник буде паралелограмом. Ще треба знати властивість діагоналей паралелограма: сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін).

В С

М

А D

Доведення. Нехай в трикутнику АВС АВ=с, АС=b, ВС=а, медіана ВМ=m_b. Продовжимо медіану ВМ за точку М на відрізок МD=ВМ. Тоді за ознакою паралелограма чотирикутник АВСD- паралелограм. За властивістю діагоналей паралелограма маємо:

АС²+ВD²=2(АВ²+ВС²), враховуючи, що ВD=2ВМ, одержуємо: АС²+4ВМ²=2(АВ²+ВС²), ВМ²=, ВМ= враховуючи що АВ=с, АС=b, ВС=а, ВМ=m_b , маємо

. Аналогічно можна вивести також формули .

2.Довести, якщо дві медіани трикутника перпендикулярні, тоді сума квадратів сторін трикутника, до яких вони проведені, в 5 разів більша квадрата третьої сторони, тобто c²+b²=5a².

(Для доведення треба згадати теорему Піфагора та властивість медіан трикутника).

Доведення. Нехай медіани ВК і СР перпендикулярні і перетинаються в точці О. АВ=c, ВС=a, АС=b. Трикутник ВОС прямокутний, кут ВОС прямий. Тоді за теоремою Піфагора: ВС²=ВО²+СО². За властивістю точки перетину медіан трикутника, маємо ВО=ВК, СО=СР. Одержуємо ВС²=(ВК²+СР²). Медіани трикутника знаходяться за формулами:

Позначимо ВС=а, ВК=m_b, CP=m_c, одержимо m_b²+ m_c²) =a², підставляючи значення m_b і m_c в рівність m_b²+ m_c²) = a² , маємо _, c²+b²=5a², що треба було довести.

3.Довести, якщо точку перетину медіан трикутника з'єднати з вершинами трикутника, то одержимо три рівновеликі трикутники.

Спочатку доведемо, що медіани трикутника поділяють трикутник на шість рівновеликих трикутників (трикутники рівновеликі,якщо мають рівні площі).

Доведення. Проведемо в трикутнику АВС медіани АА₁, ВВ₁, СС₁. Вони перетинаються в точці М. Проведемо також висоту ВН₁ і відрізок МК АС, тоді ВН₁МК і трикутники МКВ₁ та ВН₁В₁ подібні. Доведемо, що площа трикутника МВ₁С дорівнює площі трикутника АВС. Маємо S_МВ1С=В₁СМК, але В₁С= АС, тоді S_МВ1С =АСМК. З подібності трикутників МКВ₁ та ВН₁В₁ маємо МК:ВН₁=МВ₁:ВВ₁= тому, що МВ₁= ВВ₁. Отже МК=ВН₁ і тоді S_МВ1С =АСМК=АСВН₁= (АСВН₁)=S_АВС. Отже трикутники ВМС₁, АМС₁, АМВ₁, СМВ₁, СМА₁, ВМА₁ рівновеликі і кожний з них дорівнює шостій частині площі трикутника АВС. Кожний з трикутників ВМС, ВМА, АМС складається з двох рівновеликих трикутників, тому і трикутники ВМС,ВМА,АМС рівновеликі, що й треба було довести.

4.Довести, якщо М - точка перетину медіан трикутника АВС, тоді ++=0.

(Для доведення треба повторити додавання векторів за правилом паралелограма та чому дорівнює сума протилежних векторів).

Доведення. Нехай відрізки АА₁, ВВ₁, СС₁ - медіани трикутника АВС. Застосовуючи додавання векторів за правилом паралелограма, одержимо:

₁=(+)_, = + ) ₁=(+). Додамо почленно ліві та праві частини одержаних рівностей і одержимо:

₁+ +₁ (++ + + + ) =

= ( + + + + )= 0, ₁+ +₁=0.

З властивостей медіан трикутника (медіани трикутника точкою перетину діляться в відношенні 2:1) маємо: =₁, =₁, =₁. Знову почленно додамо ліві та праві частини одержаних рівностей, тоді ++=₁₁₁ = (₁+₁+= 0=0.

3)Розв'язання задач.

Задача 1. Довести, що медіана АD рівновіддалена від вершин В і С трикутника АВС.

Доведення. Проведемо перпендикуляри ВH і СK до медіани АD. Розглянемо трикутники ВDH і CKD. Ці трикутники прямокутні: кути СKD і ВHD прямі. Кути СDK і ВDH рівні як вертикальні. Тоді трикутники ВDH і СKD рівні за гіпотенузою та гострим кутом. Якщо трикутники рівні, то рівні і їх відповідні сторони: ВH = СK. Отже вершини В і С рівновіддалені від медіани АD.

Задача2. В трикутнику АВС АВ=4см, ВС=6 см, кут АВС дорівнює 30. Знайти медіану ВМ.

(Учням треба нагадати , що скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його модуля та додавання векторів за правилом паралелограма).

Розв'язання. Відомо, що = (+). Піднесемо обидві частини рівності до другого степеня, одержимо: ²=( + )² =(² +2 +²)=

=(16+2+108)=49,ВМ²=49,ВМ=7см. Відповідь: 7см.

Задача 3. В трикутнику АВС медіани СD і ВЕ перетинаються в точці К. Знайти площу чотирикутника АDКЕ, якщо АС=20см, ВС=12см, кут АСВ дорівнює 135.

Розв'язання. Проведемо медіану АМ до третьої сторони. Для розв'язування задачі застосуємо властивість медіан трикутника: медіани ділять трикутник на шість рівновеликих трикутників. Площі трикутників ВКD, ВКМ, АКD, АКЕ, СКЕ, СКМ рівні. Чотирикутник АDКЕ складається з двох рівновеликих трикутників, тоді його площа дорівнює площі трикутника АВС. Площу трикутника АВС можна знайти за формулою S=ab

S_АВС =2012=60(см²). Тоді площа чотирикутника АDКЕ буде: S_АДКЕ=60=20см²). Відповідь: 20см².

ІІІ. Самостійне розв'зання задач.

Задача 1. Довести, що медіана АМ в трикутнику АВС з більшою із сторін АС і АВ, утворює менший кут.

Доведення. Нехай АСАВ. Продовжимо медіану АМ за точку М на відрізок АМ=МТ, та одержимо паралелограм АВТС, в якому ВТ=b і кут АТВ дорівнює . В трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут, тоді в трикутнику АТВ сторона АВ=c менша сторони ВТ=b. Кут АТВ дорівнює куту САТ, як внутрішні різносторонні (АС, АС=ВТ як протилежні сторони паралелограма, тоді кут САМ менший кута ВАМ тобто . Отже медіана трикутника з більшою стороною утворює менший кут.

Задача2. Промінь, який виходить з вершини А і містить медіану АD, трикутника АВС, є геометричним місцем точок G, які лежать на промені, таких, що S_ABG=S_ACG.

Розв'язання. Нехай BHAD, CKAD, GAM. Розглянемо трикутники АВG і АСG, вони мають спільну основу АG та рівні висоти BH=CK (прямокутні трикутники ВHD і СKD рівні за гіпотенузою та гострим кутом) тоді площі цих трикутників рівні. Якщо точка G не лежить на медіані, то висоти і площі трикутників будуть різні.

IV. Гра « Вірю - не вірю».

Вчитель задає питання - учні відповідають: вірно чи невірно.

1. Якщо точку перетину медіан трикутника з'єднати з вершинами трикутника, то одержимо три рівновеликі трикутники. (так)

2. Якщо довжина медіани 24 см, то точкою перетину медіан вона поділилась на відрізки 8см і 16см.(так)

3. Якщо площа трикутника 36см², то площі трикутників, на які поділила даний трикутник медіана, будуть 12см² і 24см².(ні, 18 і18)

4. Точка перетину медіан трикутника називається ортоцентром.(ні, центроїдом)

5. Сума квадратів медіан дорівнює суми квадратів сторін трикутника.(так)

6. Чотири «особливі» точки трикутника: точка перетину медіан; точка перетину висот; точка перетину бісектрис; центр кола, вписаного в трикутник.(невірно останнє: повинно бути «точка перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника».

7. Якщо одну з медіан АМ трикутника АВС продовжити на відрізок АМ так щоб АМ=МD, то одержимо паралелограм АВDС.(так)

8. Якщо сторони трикутника 8см, 9см, 13см, то більшою буде медіана, яка проведена до сторони , довжина якої 8см.(так)

9. У трикутнику точка перетину медіан, ортоцентр і центр описаного кола лежать на одній прямій, яка називається прямою Ейлера.(так)

V. Домашнє завдання. Розв'язати задачі.

Задача 1..В випуклому чотирикутнику ABCD відстань між точками перетину медіан трикутників ABD і ВСD дорівнює а. Знайти АС.

Розв'язання. Нехай точки M і N - точки перетину медіан в трикутниках ABD і BCD тоді МN=а. Нехай К - середина відрізка BD тоді СК і АК медіани. За властивістю медіан - медіани точкою перетину діляться відношенні 2:1, починаючи від вершини, = = 3. Трикутники АКС і MNK подібні за першою ознакою з коефіцієнтом . Тому АС=3MN=3a. Відповідь: АС=3a.

Задача 2. Медіани прямокутного трикутника АВС, С=90, проведені до катетів, дорівнюють 3см і 4см. Знайти гіпотенузу.

Розв'язання. АD і ВЕ - медіани. Нехай катет АС більший катета ВС, тоді медіана ВЕ менша медіани АD. Позначимо катет АС=2х, а катет ВС=2у. За теоремою Піфагора АС²+ ВС²=АВ². АВ²=(2х)²+(2у)², АВ²=4х²+4у²=4(х²+у²)

З ВСЕ: ВС²+СЕ²=ВЕ² , з АСD: АС²+СD²=АD²,враховуючи позначення, маємо 4у²+х²=3² , 4х²+у²=4². З одержаних рівнянь складаємо систему:. Розв'язавши систему, одержимо: х²=, у²=. Тоді АВ²=+=20, АВ=2 Відповідь: 2

Задача 3. Нехай CM − медіана трикутника ABC , в якому CAB 30і

CMB 45Знайти величину кута ACB (в градусах).

Розв`язання. Кут ВМC є зовнішнім для трикутника AMC, тому

MCA BMC MAC 453015

Опустимо висоту BH трикутника ABC . Трикутник BHA прямокутний з

кутом 30 тому BH АВ=BM MA, АВН =90-30=60.

Трикутник BHM рівнобедрений з кутом 60, тоді він і рівносторонній. Звідси

CMH BMH BMC 604515.

Таким, чином, у трикутнику MHC два кути рівні по 15він є рівнобедреним з MH HC . Тоді трикутник BHC є прямокутним і рівнобедреним ( BH HC ), і, отже, ACB 45.

Відповідь:45