- Учителю
- Конспект урока по геометрии на тему 'Решение планиметрических задач методом площадей'
Конспект урока по геометрии на тему 'Решение планиметрических задач методом площадей'
Муниципальное общеобразовательное учреждение - гимназия № 1
Урок геометрии в 11 классе
Тема: «РЕШЕНИЕ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
МЕТОДОМ ПЛОЩАДЕЙ»
Автор: Дацко Елена Владимировна
учитель математики
г. Клин, 2014 год
Содержание
Стр.
1. Цель и задачи урока………………………………………………………………………...…3
2. План урока……………………………………………………………………………..…3 - 11
2.1. Актуализация знаний……………………………………………………………………3 - 4
2.2. Устная работа………………………………...………………………………………….5 - 7
2.3. Работа на уроке по вариантам с различной сложностью……………………………..7 - 9
2.4. Самостоятельная работа контролирующего характера……………………………10 - 11
2.5. Итог урока. Домашнее задание с подробным разбором задач....……………….…11 - 17
3. Литература……………………………………………………………………………………18
Слайд 2
Цель урока: повторение и обобщение знаний о методе площадей в решении задач.
Задачи:
- обучающие: обобщить и систематизировать знания о методе площадей, отработать умения применить формулы в решении задач.
- развивающие: развить познавательные умения,
- воспитательные: развить положительное отношение к знаниям.
Тип урока: урок повторения.
Ход урока
I. Актуализация знаний.
Слайд 3
Площади треугольников, имеющих равные высоты (общую высоту), относятся как стороны соответствующие этим высотам.
Рисунок 1
Слайд 4
Площади треугольников, имеющих равные стороны, относятся как соответствующие этим сторонам высоты.
Рисунок 2
Слайд 5
Площади треугольников, имеющих равный угол (или общий угол), относятся как произведение сторон, содержащий этот угол.
Рисунок 3
Слайд 6
Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.
Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников.
Рисунок 4
Слайд 7
Рисунок 5
II. Устная работа.
Слайд 8 Случай, когда треугольники имеют общую высоту.
Рисунок 6
Дано:
Найти:
Решение:
имеют общую высоту 
Ответ: 
Слайд 9
Рисунок 7
Дано:
Найти:
Решение: 
имеют общую высоту 
т. к. то 
Ответ: 20.
Вывод:
1) Отношение площадей треугольников, имеющих общую высоту равно отношению сторон, к которым проведена высота.
2) Если же стороны, к которым проводится высота равны, то и площади треугольников также равны.
3) Во сколько раз отношение сторон треугольников, к которым проводится высота больше (меньше), во столько раз и площади больше (меньше).
Слайд 10
Случай, когда треугольник и параллелограмм имеют общую высоту.
Рисунок 8
Дано:
параллелограмм,
Найти:
Решение: 
Ответ: 8.
Вывод: В этом случае отношение площадей треугольника и параллелограмма равно отношению их высот. Высота параллелограмма есть высота треугольника. Но в нахождении площади треугольника присутствует коэффициент 
, а, значит, составляя и решая данную пропорцию, получаем 8.
Слайд 11
Рисунок 9
Дано:
Найти:
(Отношение площадей, имеющих общий угол равно отношению произведения сторон, заключающих данный угол).
- общая, 
Ответ: 
Слайд 12
Рисунок 10
Дано:
- параллелограмм,
- медиана 
- медиана
- середина 
Найти:
Решение:
Ответ: 10.
III. Работа на уроке.
1 ряд. Работа в парах (сидят слабый ученик и ученик средних способностей).
Решает I вариант - уровень «4»,
2,3 ряды - II вариант - уровень «4 - 5».
I вариант
Рисунок 11
Дано:
- параллелограмм,
Найти:
Решение:
1) Найдём какую часть 
составляет от 
Проведём диагональ 
(общий угол 
),
2) 
3) 
Ответ: 
II вариант
Рисунок 12
Дано:
- медианы,
Найти:
Решение:
1) 
(сторона - общая),
2) Дополнительное построение 
По теореме Фалеса 
- средняя линия,
3) 
подобен 
(по двум углам),
- коэффициент подобия.
4) по свойству медиан 
подставим в 
получим 
Ответ: 
IV. Самостоятельная работа контролирующего характера (дифференцированная).
1 ряд
I вариант
Рисунок 13
Дано:
- параллелограмм,
- диагональ,
Найти:
Решение:
Параллелограмм и 
имеют общую сторону 
Ответ:
II вариант
Рисунок 14
Дано:
- параллелограмм,
- медиана,
Найти:
Решение:
- медианы, 
(свойство диагоналей),
- общий,
имеют общую высоту, значит их площади 
Ответ: 24.
V. Итог урока.
Домашнее задание. Ученику следует выбрать для решения две любые задачи. При желании можно выполнить всё задание.
Задача 1. В треугольнике 
со сторонами 
вписан параллелограмм
причём точки 
лежат на сторонах 
соответственно. Известно, что площадь параллелограмма составляет 
площади треугольника 
Найдите стороны параллелограмма.
Рисунок 15
Решение:
Пусть 
1) 
2) 
3) 
4) 
подобен 
по двум углам.
как накрест лежащие,
соответственные углы.
.
Составляем систему:
или 
Ответ: 12 и 4 или 6 и 8.
Другой способ решения данной задачи:
1) 
Пусть 
2) 
Ответ: 6 и 8 или 12 и 4.
Задача 2. В треугольнике на прямой 
выбрана точка 
так, что 
Точка 
середина стороны 
Прямая 
пересекает отрезок 
в точке 
Найдите площадь треугольника 
если площадь треугольника равна 120.
1 случай.
Рисунок 16
Решение:
(
медиана).
Пусть 
1) 
2) 
и 
Ответ: 12.
2 случай.
Рисунок 17
Решение:
1) 
медиана,
медиана;
Пусть 
,
медиана,
2) 
общая высота, 
общая высота.
Ответ: 20.
Задача 3. Через точку 
лежащую в треугольнике 
проведены три прямые, параллельные всем сторонам треугольника. В результате треугольник разбился на 3 треугольника и 3 параллелограмма. Известно, что площади полученных треугольников равны соответственно 1;2,25и 4. Найдите сумму площадей полученных параллелограммов.
Рисунок 18
Найти: 
Решение:
1) Рассмотрим 
2) Рассмотрим 
3) Рассмотрим 
4) 
Ответ: 13.
Задача 4. Площадь трапеции равна 810. Диагонали пересекаются в точке 
Отрезки, соединяющие середину 
основания 
с вершинами и 
пересекаются с диагоналями трапеции в точках 
и 
Найдите площадь треугольника 
если одно из оснований трапеции вдвое больше другого.
1 случай.
Рисунок 19
Решение:
1) Рассмотрим четырёхугольник 
основания трапеции. 
параллелограмм.
2) 
по двум сторонам и углу между ними. Аналогично,
Значит, 
3) диагонали параллелограмма делят его на четыре равных по площади треугольника.
4) Т. к. 
то 
средняя линия треугольника 
5) 
трапеция, 
Пусть 
тогда 
Ответ: 22,5.
2 случай.
Рисунок 20
Решение:
Пусть 
высота трапеции.
Положим 
Тогда 
Треугольник 
подобен треугольнику 
с коэффициентом 
а треугольник 
подобен треугольнику 
с коэффициентом 
Тогда 
Значит, 
Аналогично, 
Следовательно, 
Ответ: 14,4.
Литература:
1. Геометрия. 10 - 11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. - 22-е изд. - М.: Просвещение, 2013. - 255с.
2. Геометрия в таблицах. 7 - 11 кл.: Справочное пособие / Авт.-сост. Л.И. Звавич, А.Р. Рязановский. - 4-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2000. - 128 с.
3. http://www.fipi.ru (Официальный сайт Федерального института педагогических измерений)