Поурочные планы по геометрии 8 класс по Атанасяну

Урок 3
МНОГОУГОЛЬНИКИ

Цели: ввести понятия многоугольника и выпуклого многоугольника и рассмотреть четырехугольник как частный вид многоугольника; научить объяснять, какая фигура называется многоугольником, и называть его элементы; повторить в ходе решения задач признаки равенства треугольников.

Ход урока

I. Объяснение нового материала.

1. Напомнить учащимся определение треугольника. Вспомнить элементы треугольника (сторона, вершина, угол).

2.

Что общего у этих геометрических фигур?

3. Вводится понятие многоугольника.

4. Рассматриваются элементы многоугольника (вершины, стороны, диагонали, углы).

5. Отмечается, что каждый многоугольник разделяет плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю.

6. Дается понятие выпуклого многоугольника.

II. Закрепление изученного материала.

1. Ответить на вопросы (устно):

е)

Какие фигуры, изображенные на доске, являются многоугольниками?

Учитель после обсуждения убирает те рисунки, на которых изображены фигуры, не являющиеся многоугольниками.

Какие многоугольники являются выпуклыми?

2. Задание для каждого ряда:

Начертите выпуклый семиугольник, восьмиугольник, девятиугольник и проведите все диагонали из какой-нибудь его вершины. Сколько получилось треугольников?

III. Повторение.

Найти пары равных треугольников и доказать их равенство: на рис. 1-9.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 1, 2, с. 114; №№ 364а,б, 365а,б,г,368; найти пары равных треугольников и доказать их равенство на рис. 10-12.

Урок4
МНОГОУГОЛЬНИКИ

Цели: вывести формулу суммы углов выпуклого многоугольника; научить решать задачи с помощью этой формулы; при решении задач повторить признаки параллельности прямых и свойства углов при параллельных прямых и секущей.

Ход урока

I. Устные упражнения.

1. Назовите многоугольник, все виды которого являются выпуклыми многоугольниками. (Треугольник.)

2. Сколько диагоналей можно провести из одной вершины n-угольника, если n = 4, n = 5, n = 6, n - произвольное число, больше 2?

3. Из одной вершины выпуклого n-угольника проводятся все его диагонали.

Сколько при этом образуется треугольников, если n = 4, n = 5, n = 6, n - произвольное натуральное число, больше 2?

4. С помощью разбивки на треугольники найдите суммы углов выпуклых девятиугольника и одиннадцатиугольника.

II. Объяснение нового материала.

Сформулировать и доказать теорему о сумме углов выпуклого n-угольника.

III. Закрепление изученного материала.

решить задачи №№ 364 (а), 365 (а, г), 370.

IV. Повторение.

Параллельны ли прямые а и b?

V. Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 3-5, с. 114; №№ 366, 370, 369.

Урок 5
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ И ТРАПЕЦИЯ

Цели: ввести определение параллелограмма, рассмотреть его свойства.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Обсудить решения домашних задач, ответить на вопросы учащихся.

II. Самостоятельная работа.

Вариант I

1. Найдите сумму углов выпуклого тринадцатиугольника.

2. Каждый угол выпуклого многоугольника равен 135°. Найдите число сторон этого многоугольника.

Вариант II

1. Найдите сумму углов выпуклого двенадцатиугольника.

2. Сумма углов выпуклого многоугольника с равными друг другу углами равна 1260°. Найдите число сторон этого многоугольника.

Вариант III
(для более подготовленных учащихся)

Каждый угол данного выпуклого многоугольника равен 150°. Найдите сумму углов выпуклого многоугольника, число сторон которого в два раза меньше, чем число сторон данного многоугольника.

III. Изучение нового материала.

1. Дать определение параллелограмма. Воспроизвести рисунок 157 из учебного пособия на доске (учащиеся - в тетрадях) и записать: «Параллелограмм АВСD». Предложить учащимся записать пары параллельных сторон: АВ || CD, BC || AD.

Обратить внимание учащихся на то, что определение параллелограмма позволяет сделать два вывода:

1) Если известно, что некоторый четырехугольник является параллелограммом, то можно сделать вывод о том, что его противоположные стороны параллельны.

2) Если известно, что у некоторого четырехугольника противоположные стороны попарно параллельны, то он является параллелограммом.

2. На закрепление определения параллелограмма можно предложить учащимся устные задания:

1) Дан АВС. Параллельно сторонам АВ и АС проведены прямые ЕF и DЕ. Определите вид четырехугольника АDЕF.

2) В параллелограмме АВСD проведена диагональ ВD. Докажите, чтоАВD = СDВ.

3) Прямая EF параллельна стороне АВ параллелограмма АВСD. Докажите, что АВЕF - параллелограмм.

3. Рассмотреть свойства параллелограмма.

4. Доказать, что в параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

IV. Закрепление изученного материала.

Решить задачи № 376 (а) - устно; № 376 (б), № 372 (а).

V. Итоги урока.

Если в условии задачи дано, что АВСD - параллелограмм, то можно использовать его свойства:

Домашнее задание: вопросы 6-8, с. 114; №№ 372 (в), 376 (в, г), 371а.

Для желающих можно выдать индивидуальное задание:

1. В параллелограмме АВСD на сторонах АD и ВС взяты точки К и Е соответственно так, что KВЕ = 90° и отрезок ЕK проходит через точку О пересечения диагоналей. Докажите, что ВО = ОЕ.

2. На сторонах АС и ВС треугольника АВС отмечены точки D и Е соответственно, а внутри треугольника - точка М так, что четырехугольник DСЕМ является параллелограммом и DЕ || АВ. Прямая DМ пересекает отрезок АВ в точке K, а прямая ЕМ - в точке Н. Докажите, что АK = НВ.

Указания к решению задач.

1. Последовательно доказываем, что ВОЕ = KОD, ВDЕ =
= ВKЕ, ЕD || ВK, ЕD = ВK, ВKЕ = ВЕD, ВKЕ = ВDЕ,
KЕВ = DВЕ. Значит, ОВ = ОЕ.

2. В параллелограммах АDЕН и KDЕВ, АН = DЕ и KВ = DЕ. Значит, АН = KВ. Следовательно, АK = НВ.

Урок 6
ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

Цели: доказать признаки параллелограмма и рассмотреть решение задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Ответить на вопросы учащихся по домашнему заданию.

2. Выполнить задания (устно):

1) На рисунке а) 1 = 4, 2 = 3. является ли четырехугольник АВСD параллелограммом?

2) На рисунке б) 1 = 2 = 3. Докажите, что четырехугольник АВСD - параллелограмм.

3) На рисунке в) ММ || РQ, М = Р. Докажите, что МNPO - параллелограмм.

4) Является ли четырехугольник АВСD, изображенный на рисунке г), параллелограммом, если а) 1 = 70°; 3 = 110°; 2 + 3 = 180°;
б) 1 = 2, 2 ≠4?

а) б)

в) г)

3. Анализ самостоятельной работы.

II. Изучение нового материала.

1. Перед тем как приступить к изучению признаков параллелограмма, следует напомнить учащимся, что означает слово «признак» и что такое обратная теорема.

2. Предложить учащимся самим сформулировать теоремы, обратные утверждениям о свойствах параллелограмма.

3. Подчеркнуть, что некоторое утверждение верно, но отсюда еще не следует, что верно и обратное ему утверждение.

4. Доказательство признаков можно провести силами учащихся.

III. Закрепление изученного материала.

Решить задачи №№ 379, 382.

№ 379.

Решение

1) Так как ВK АС и DМ АС, то ВK || DМ.

2) Прямоугольные треугольники АВK и СDМ равны по острому углу и гипотенузе (ВАK = DСМ как внутренние накрест лежащие при АВ || СD и секущей АС, АВ = DС по свойству параллелограмма).

3) Тогда ВK = DМ.

4) Четырехугольник ВМDK является параллелограммом, так как
ВK || DМ, ВK = DМ.

№ 382.

Решение

1) По свойству параллелограмма АО = ОС, ВО = ОD.

2) По условию ВВ₁ = В₁О = ОD₁ =
= D₁D и АА₁ = А₁О = ОС₁ = С₁С.

3) Четырехугольник А₁В₁С₁D₁ - параллелограмм, так как его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

IV. Итоги урока.

Если в задаче необходимо доказать, что АВСD - параллелограмм, то применяют один из признаков:

Домашнее задание: вопросы 6-9, с. 114; №№ 383, 373, 378.

Урок 7
ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

Цели: закрепить навыки в решении задач на применение признаков и свойств параллелограмма; проверить знания учащихся по этой теме.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

АВСD - параллелограмм:

а) Найти все углы АВD, если А = 42°.

б) Сумма двух из них равна 112°.

в) Найти периметр треугольника ВОА, если DС = 10 см, ВD = 18 см, АС = 20 см.

г) В окружности проведены диаметры АВ и СD. Докажите, что АВСD - параллелограмм.

II. Решение задач.

№ 372 (б).

Решение

Пусть АВ = х см, а ВС = (х + 7) см.

Так как периметр параллелограмма 48 см, имеем уравнение:

х + х + 7 = ,

2х + 7 = 24,

2х = 14,

х = 7.

Ответ: АВ = 7 см, ВС = 14 см.

№ 373.

Решение

1) А = С по свойству параллелограмма.

2) АВН - прямоугольный; катет ВН лежит против угла в 30°, поэтому гипотенуза АВ в два раза больше него. Итак, АВ = 13 см.

ВС = (50 - 13 · 2) : 2 = 12 см.

Ответ: 12, 13 см.

№ 374.

Решение

1) 1 = 2, так как АК - биссектриса, 2 = 3 как внутренние накрест лежащие углы при ВС || АD и секущей АK.

Имеем 1 = 2 = 3.

2) АВK - равнобедренный, так как 1 = 3. Получили АВ = ВK = 15 см.

3) ВС = ВK + KС = 15 + 9 = 24 (см).

4) Р_АВСD = (15 + 24) · 2 = 78 (см).

Ответ: 78 см.

III. Самостоятельная работа.

Вариант I

1. В параллелограмме АВСD диагонали равны 8 см и 5 см, сторона ВС равна 3 см, О - точка пересечения диагоналей. Чему равен периметр треугольника АОD?

2. В параллелограмме АВСD проведена биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС в точке Е. Докажите, что DЕС равнобедренный.

3. АС и ВD - диаметры окружности с центром О. Докажите, что А, В, С и D - вершины параллелограмма.

Вариант II

1. Определите стороны параллелограмма, если его периметр равен 38 дм, а одна из сторон на 11 дм больше другой.

2. В параллелограмме ВСDЕ диагонали пересекаются в точке М. Найдите периметр ВМС, если DЕ = 7 см, ВD = 12 см, СЕ = 16 см.

3. В параллелограмме ВDЕF на сторонах ВF и DЕ отложены равные отрезки ВО и DN. Докажите, что четырехугольник ONEF также является параллелограммом.

Домашнее задание: вопросы 6-9, с. 114; №№ 375,380,384; повторить п. 25, 29.

Урок 8
ТРАПЕЦИЯ

Цели: ввести понятия «трапеция», «равнобокая трапеция», «прямоугольная трапеция»; рассмотреть решение задач, в которых раскрываются свойства трапеции.

Ход урока

I. Анализ ошибок, сделанных в самостоятельной работе.

Устно: определите х, у, z.

1)

110° + 70° = 180° а || b,

тогда х + х + 20° = 180°, х = 80°.

2)

у = 100°.

3)

140° + 40° = 180° a || b,

тогда 120° + 1 + 2 = 180°

1 + 2 = 60°

1 = 2 = 30°

1 = z = 30°, так как a || b.

II. Изучение нового материала.

1. Вспомнить с учащимися определение параллелограмма.

2. Рассмотреть такой четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие - непараллельны.

3. Определение трапеции и ее элементов (рис. 161 из учебника).

4. Виды трапеции (рис. 162 из учебника).

5. На закрепление понятия можно предложить учащимся следующие вопросы:

Какие четырехугольники на рисунке являются трапециями? Назовите их основания и боковые стороны.

а) б) в)

III. Решение задач.

№ 385 (решена в учебнике), № 386 (по теореме Фалеса). Можно после решения этой задачи дать определение средней линии трапеции.

IV. Итоги урока.

1. АВСD, ВЕFC - трапеции.

2. Частные виды трапеции:

4. Применение теоремы Фалеса в трапеции:

а) ВС || MN || KР || QS || АD

и МВ = МK = KQ = QA,

то CN = NP = PS = SD;

б) МВ = МK = KQ = QA

и CN = NP = PS = SD,

то ВС || MN || KP || QS || AD.

Домашнее задание: вопросы 10, 11, с. 114; № 386, 387,390.

Дана трапеция MPOK с основаниями МK и ОР.

1) Найти углы трапеции, если М = 72°, О = 105°.

2) Найти ОРK и РОМ, если ОМK = 38°, РKM = 48°.

3) углы МKN (N - точка пересечения диагоналей трапеции), если ОРK = 72°, РОМ = 48°.

Урок 7

ТЕОРЕМА ФАЛЕСА. ТРАПЕЦИЯ

Цель: рассмотреть теорему ФАЛЕСА; свойства и признаки равнобокой трапеции при решении задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Ответить на вопросы учащихся по домашнему заданию.

2. Выполнить задание (устно).

АВСD - квадрат.

Вид четырехугольника АОKВ определить.

Найти его углы.

Решение

ОАВ = 45° по свойству квадрата,

АОK = 180° - 45° = 135°,

ОKВ = KВА = 90°.

3. АВС - равносторонний. Определить вид четырехугольника МNCA. Найти его углы.

Решение

А = С = 60°,

М = N = 180° - 60° = 120°.

4. АВ - ?

II. Решение задач.

№ 388 (а). План решения.

I способ:

1) Проведем СЕ || АВ.

2) Докажем, что АВСЕ - параллелограмм, тогда АВ = СЕ.

3) Докажем, что СDЕ - равнобедренный, тогда 1 = 2.

4) Докажем, что А = 2. (Используя, что АВ || CЕ, А и 1 - соответственные.)

5) Докажем, что В = ВСD
(используя, что АD || ВС, В и А,
ВСD и 2 - пары внутренних одно-сторонних углов).

II способ:

1) Проведем ВМ АD и СН АD.

2) Докажем, что ВСНМ - параллелограмм, тогда ВМ = ЕН.

3) Докажем, что АВМ = DСН
(по катету и гипотенузе), тогда
А = D.

4) Аналогично I способу докажем, что АВС = ВСD.

№ 388 (б) - устно.

А = D по свойству равнобокой трапеции АВ = СD.

АD - общая.

АВD = DСА по I признаку
равенства треугольников, тогда
АС = ВD.

№ 389 (признаки равнобокой трапеции; обратная теорема № 388 (а; б).

а)

Проведем СЕ || АВ, тогда А =
= Е = D.

СЕD - равнобедренный, поэтому СD = СЕ, а так как АВСZ - параллелограмм, то АВ = СЕ. Имеем АВ = СЕ =
= СD.

АВСD - равнобокая трапеция.

б)

АСD = DВА по I признаку
равенства треугольников, тогда
АВ = СD.

№ 389. Можно решить устно (если класс является более подготовленным).

№ 390 (устно).

III. Самостоятельная работа.

Вариант I

Найдите боковые стороны равнобедренной трапеции, основания которой равны 14 см и 8 см, а один из углов равен 120°.

Вариант II

Найдите меньшее основание равнобедренной трапеции, если ее большее основание равно 16 см, боковая сторона - 10 см, а один из углов равен 60°.

Вариант III

Диагональ АС равнобедренной трапеции АВСD делит пополам угол ВАD. Найти периметр трапеции, если основание АD равно 12 см, а угол АDС равен 60°.

Проверить самостоятельную работу можно на этом же уроке с помощью закрытой доски (устно):

Вариант I

СD = 2ND = 6 см.

Вариант II

ND = CD = 5 см.

Вариант III

СD = АD = 6 см.

ВС = 6 см.

IV. Итоги урока.

Свойства равнобокой трапеции.

Признаки равнобокой трапеции. АВСD - трапеция.

Домашнее задание: вопросы 10, 11, с. 114-115; №№ 392, 391; повторить § 4 и № 222, п. 38, задача 1; принести циркуль.

Для желающих.

В равнобокой трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, а другой - полуразности оснований.

Урок 10

ЗАДАЧИ Н А ПОСТРОЕНИЕ

Цели: продолжить знакомить учащихся с задачами на построение. Научить делить отрезок на n равных частей.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Трое учащихся на доске готовят решение домашних задач.

№ 392 (а).

АN = 7 - 4 = 3 (cм)

АВ = 2АN = 6 (cм)

392 (б).

KD = АD - АK = 15 - 10 = 5 (см)

KD = KС = 5 (см)

1) АD = АK + МD + ВС, так как АK = МD

АD - ВС = 2МD

МD = (АD - ВС)

2) АD + ВС = АМ + МD + ВС

АD + ВС = АМ + KD, так как
АМ = KD

АD + ВС = 2АМ

АМ = (АD + ВС).

В это время остальные решают устно задачу:

Меньшее основание равнобокой трапеции равно боковой стороне и в 2 раза меньше другого основания.

Найти углы трапеции.

Решение

АЕ = ЕD, проведем СЕ.

1) АВСЕ - параллелограмм, так как ВС || АЕ и ВС = АЕ. Имеем АВ =
= СЕ = ЕD = СD.

2) СЕD равносторонний D = 60°.

3) А = 60°, В = С = 180° - 60° = 120°.

II. Решение задач.

Напомнить основные этапы решения задач на построение:

1) Анализ задачи.

2) Выполнение построения по намеченному плану.

3) Доказательство того, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.

4) Исследование задачи.

№ 393 (в) (решение в учебнике).

№ 394. пусть А, В, С - данные точки.

Соединим попарно эти точки и через каждую вершину треугольника АВС проведем прямую, параллельную противолежащей стороне.

Четырехугольники В₁ВАС, С₁АСВ, В₁АВС - параллелограммы по определению.

Задача имеет только эти три решения, так как не существует других прямых, проходящих через точки А, В, С и параллельных прямых ВС, АС, АВ соответственно.

№ 395.

Дано:

Построить АВСD - параллелограмм.

Построение

А = kh, АВ = Р₁Q₁

P₂Q - расстояние между АВ и СD.

Устно провести анализ, доказательство и исследование, в тетрадях - только построение:

1) построить А, равный данному hk;

2) отложить на его стороне отрезок Р₁Q = АВ и отметить точку В;

3) через точку В провести прямую, перпендикулярную прямой АВ и отложить отрезок ВK = Р₂Q₂;

4) через точку В провести прямую, параллельную другой стороне угла;

5) через точку K провести прямую, параллельную стороне АВ;

6) АВСD - параллелограмм по определению.

№ 397 (а).

Дано:

Построить трапецию АВСD: АD || ВС, АВ = СD, АD = MN, АВ = М₁N₁, А = hk.

Построение

1) Строим АВD так, чтобы АD = МN, АВ = М₁N₁, А = hk.

2) Через точку В проведем прямую, параллельную прямой АD. Для этого проведем две окружности: окружность ω₁ с центром В радиуса ВD и окружность ω₂ с центром D радиуса АВ. Пусть С′ - точка пересечения этих окружностей, лежащая по ту сторону от прямой АD, что и точка В. Тогда ВС′ || АD.

3) Окружность ω₂ пересекает прямую ВС еще в одной точке - точке С. Соединив эту точку с точкой D, получаем искомую трапецию АВСD. Если hk = 90°, то задача не имеет решения.

III. Итоги урока.

Домашнее задание: №№ 393 (в), 396. повторить свойства и признаки параллелограмма.

Найти углы трапеции.

Урок 11
ПРЯМОУГОЛЬНИК.

Цели: дать определение прямоугольника, изучить свойства прямоугольника.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Ответить на вопросы учащихся.

АВС - равнобедренный.

ВАС = ВСА = х°,

ВСА = DАС = х°, как внутренние накрест лежащие при ВС || АD и секущей АС, ВАD = СDА = 2х°.

Из прямоугольного АСD САD + СDА = 90°, х + 2х = 90°,
х = 30°.

В трапеции А = D = 60°, В = С = 120°.

2. Выполнить задания (устно):

1) Найдите углы выпуклого четырехугольника, если их градусные меры пропорциональны числам 1, 2, 3, 4.

2) Докажите, что расстояния АМ и СN от вершин А и С параллелограмма АВСD до прямой ВD равны.

3) Найдите углы параллелограмма АВСD, если А = 3В.

II. Изучение нового материала.

1. Определение прямоугольника.

2. Так как прямоугольник - параллелограмм, то какими свойствами он обладает?

3. Каким особенным свойством обладает прямоугольник?

4. Доказательство теоремы о равенстве диагоналей прямоугольника.

5. Будет ли верно обратное утверждение? Докажите.

6. В параллелограмме АВСD А = 90°. Докажите, что АВСD - прямоугольник.

7. АС - диагональ прямоугольника АВСD, САD = 35°. Чему равен АСD?

8. Определите периметр прямоугольника, если две его стороны 5 см и 8 см.

9. АВСD - прямоугольник. Докажите, что АОВ равнобедренный.

III. Решение задач.

№ 400.

1. В прямоугольнике АВСD биссектриса угла D пересекает сторону АВ в точке М.

1) Докажите, что АDМ - равнобедренный.

2) Найдите периметр прямоугольника, если сторона АВ оказалась разбита на отрезки длиной 3 см и 5 см. Сколько решений имеет задача?

Решение

АD = 3, Р_АВСD = 22 АD = 5, Р_АВСD = 26

IV. Итоги урока.

Свойства прямоугольника

Любой прямоугольник является параллелограммом, значит, обладает всеми его свойствами:

Кроме того, у прямоугольника имеются свои свойства:

Признаки прямоугольника

Домашнее задание: вопросы 12, 13, с. 115; задачи №№ 399, 404, 401 (а).

Доказать признак прямоугольника: четырехугольник, у которого есть три прямых угла, является прямоугольником.

Урок 12
РОМБ. КВАДРАТ

Цели: ввести понятие ромба и квадрата; изучить их свойства.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. АD АВ, ВС АВ (по условию), тогда АD || ВС (как два перпендикуляра к одной прямой).

2. АВ ВС, СD ВС (по условию), тогда АВ || СD (как два перпендикуляра к одной прямой).

3. Так как АD || ВС и АВ || СD, тогда АВСD - параллелограмм (по определению).

4. D = В (как противолежащие углы параллелограмма).

5. В параллелограмме АВСD: А = В = С = D = 90°, значит, АВСD - прямоугольник (по определению).

Выполнить задания (устно):

1) Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, высота которого равна 6 см, а угол при вершине равен 120°.

А = 30°, АВ = 2ВD = 12 (см).

2) Диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны.

Докажите, что все его стороны равны.

ВОС = DОС = ВОА =
= DОА по двум катетам.

Имеем АВ = ВС = DС = АD.

II. Изучение нового материала.

1. Определение ромба.

2. Так как ромб - параллелограмм, то какими свойствами он обладает?

3. Какими особыми свойствами обладает ромб?

4. Доказательство свойств ромба:

а) диагонали ромба взаимно перпендикулярны;

б) диагонали являются биссектрисами углов.

5. Будут ли верны обратные утверждения? Докажите.

6. Определение квадрата как прямоугольника, у которого все стороны равны.

7. Определение квадрата как ромба, у которого все углы прямые.

8. Так как квадрат является ромбом и прямоугольником, то он обладает их свойствами. Перечислите их.

III. Решение задач.

№ 405 (а).

а) АВ = ВС = АС, АВС - равносторонний, А = В = С = 60° в ромбе АВС = 60°, ВАD = 120°.

№ 410 (а, б) признаки квадрата.

IV. Итоги урока.

Свойства ромба

Признаки ромба

Свойства квадрата

Признаки квадрата

Для того чтобы доказать, что данный четырехугольник является квадратом, можно:

џ доказать, что четырехугольник является прямоугольником с равными сторонами;

џ доказать, что четырехугольник является ромбом с прямыми углами.

Домашнее задание: вопросы 14-15, с. 115; №№ 405 (б), 409.,411

АВСD - ромб.

Найти: ВАD.

Дано: АВСD - квадрат.

Доказать: А₁В₁С₁D₁ - прямоугольник.

Урок 13
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Цель: закрепить изученный материал о прямоугольнике, ромбе, квадрате в процессе решения задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Математический диктант

1. I. Является ли прямоугольником параллелограмм, у которого есть прямой угол?

II. Обязательно ли является прямоугольником четырехугольник, у которого есть прямой угол?

2. I. Верно ли, что каждый прямоугольник является параллелограммом?

II. Верно ли, что каждый параллелограмм является прямоугольником?

3. I. Диагонали прямоугольника АЕKМ пересекаются в точке О. Отрезок АО = 3. Найдите длину диагонали ЕМ.

II. Диагонали параллелограмма равны 3 и 5 дм. Является ли этот параллелограмм прямоугольником?

4. I. Диагонали четырехугольника равны. Обязательно ли этот четырехугольник является прямоугольником?

II. Сумма длин диагоналей прямоугольника 13 см. Найдите длину каждой диагонали.

5. I. Периметр ромба равен 12 см. Найдите длины его сторон.

II. Верно ли, что каждый ромб является параллелограммом?

6. I. Верно ли, что каждый параллелограмм является ромбом?

II. Периметр ромба равен 30 см. Найдите его стороны.

7. I. Диагонали ромба делят его на четыре треугольника. Найдите углы каждого треугольника, если один из углов ромба 30°.

II. Ромб АВСD имеет прямой угол. Является ли этот ромб квадратом?

8. I. Две соседние стороны параллелограмма равны и образуют прямой угол. Как называется такой параллелограмм?

II. Диагонали квадрата делят его на четыре треугольника. Найдите углы каждого треугольника.

II. Решение задач. №№ 404, 407 (устно).

№ 412.

1. АВС - прямоугольный и равнобедренный 1 = 4 = 45°.

2. АFE - прямоугольный.

1 = 45° 3 = 45° DВ = DE.

3. DВЕ - прямоугольный.

4 = 45° 2 = 45° AF = FE.

4. СDЕF - квадрат СD = DE =
= EF = CF.

5. АC = 12 cм. AF = CF = 6 cм.

№ 414 (а) наметить план решения.

III. Самостоятельная работа обучающего характера с проверкой в классе.

Вариант I

1. Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на 30° меньше другого.

2. № 413 (б).

Вариант II

1. Угол между диагоналями прямоугольника равен 80°. Найдите углы между диагональю прямоугольника и его сторонами.

2. № 414 (б).

Вариант III
(для более подготовленных учащихся)

1. В ромбе АВСD биссектриса угла ВАС пересекает сторону ВС и диагональ ВD соответственно в точках M и N. Найдите АNВ, если АМС = 120°.

2. Постройте прямоугольник АВСD по стороне АВ и углу АОВ, где О - точка пересечения диагоналей.

Решение на закрытой доске:

Вариант I

1. АВО на 30° больше ВАО.

АВО - прямоугольный;

ВАО = х°, АВО = х + 30°;

ВАО + АВО = 90°;

х + х + 30 = 90°;

х = 30°.

2. Дано:

Построить прямоугольник АВСD.

Решение

1) Разделить АС пополам, отметить середину - точку О.

2) От луча ОС отложить угол, равный углу О.

3) На его другой стороне отложить отрезок ОD = АО.

4) На дополнительном луче к лучу ОD отложить отрезок ОВ = ОD.

5) АВСD - прямоугольник (его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам).

Вариант II

1. ОС = ОВ DОС - равнобедренный ОСD = СDО = 50°.

2. Дано:

Построить: ромб АВСD.

Решение

1) Отложим угол, равный углу В.

2) На сторонах угла отложим отрезки, равные MN, получим точки А и С.

3) Через точки А и С проведем прямые, параллельные прямым АВ и ВС, получим точку D.

4) АВСD - ромб. (Если у параллелограмма смежные стороны равны, то он является ромбом.)

Вариант III

1. ВСО = ВАО.

Пусть ВАN = САМ = х°;

ВСА = 2х°;

АМС: 2х + х + 120° = 180°;

х = 20°.

ВОА: АВО = 90° - 40° = 50°;

ВNА: ВNА = 180° - 50° - 20°;

ВNА = 110°.

2. Дано:

Построить: АВСD - прямоугольник.

Решение

1) Построим угол, смежный с углом О и его биссектрису, получаем углы 1 и 2.

2) Откладываем АВ и строим в одну полуплоскость от лучей АВ и ВА углы, равные 1 и 2.

3) Получили АВО.

4) На дополнительных лучах лучам ОВ и ОА откладываем отрезки ОС = АО и ОD = ОВ.

5) АВСD - прямоугольник. (Диагонали его точкой пересечения делятся пополам и равны.)

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 14-15, с. 115; №№ 410, 413 (а), 415 (б).

По желанию.

АВСD - ромб. DВЕ = 20°

Найти: ВАD.

Решение

1) ВDЕ = 70° из прямоугольного ВЕD.

2) ВАD - равнобедренный.

АВD = АDВ.

3) ВDЕ = АВD = 70° как внутренние накрест лежащие при
АВ || СD и секущей ВD.

4) АВD = АDВ = 70°.

5) ВАD = 180° - 70° - 70° = 40°.

Готовиться к проверочной работе по теме § 1-3 главы V.

Урок 14

ОСЕВАЯ И ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИИ

Цели: дать определение симметричных точек и фигур относительно точки и прямой, научить строить симметричные точки; рассмотреть осевую и центральную симметрии как свойства некоторых геометрических фигур.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Ответить на вопросы учащихся по домашнему заданию.

II. Изучение нового материала.

Объяснение нового материала по теме «Осевая и центральная симметрии» целесообразно построить в виде лекции, сопровождающейся показом большого иллюстративного материала: чертежей, рисунков, орнаментов и т. п.

III. Решение задач.

№№ 416, 417, 418 (устно).

№ 420.

Решение

Пусть АВС - данный равнобедренный треугольник с основанием АС и ВD - его биссектриса.

1. По теореме о биссектрисе равнобедренного треугольника ВD АС и АD =
= DС. Следовательно, точки А и С симметричны относительно прямой ВD.

2. Возьмем произвольную точку М на основании АС. Пусть, например, точка М лежит между точками А и D. Отметим точку М₁ между точками D и С так, что
DМ₁ = DМ.

Точка М₁ симметрична точке М относительно прямой ВD. Имеем для каждой точки на основании АС симметричную ей относительно ВD точку.

3. Возьмем теперь произвольную точку N на одной из боковых сторонАВС, например на стороне АВ. Отложим от вершины В на луче ВС отрезок ВN₁, равный ВN. Так как BN < АВ, то ВN₁ < N₁ лежит на стороне ВС. Треугольник BNN₁ равнобедренный, ВК - его биссектриса, следовательно, NN₁ВК, NК = N₁К, а поэтому точки и N и N₁ симметричны относительно прямой ВD.

Мы доказали, что для каждой точки АВС точка, симметричная ей относительно прямой ВD, также принадлежит этому треугольнику. Это означает, что прямая ВD - ось симметрии треугольника АВС.

№ 422 (устно).

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 16-20, с. 115; №№ 421, 419, 423; предложить учащимся приготовить свои примеры осевой и центральной симметрии.

Урок 15
Решение задач

Цели: закрепить в процессе решения задач полученные знания и навыки, подготовить учащихся к контрольной работе.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Учащимся гораздо труднее дается применение признаков фигур, чем использование их свойств. Поэтому необходимо не только повторить рассматривавшиеся в определениях, теоремах и задачах признаки параллелограмма, прямоугольника, ромба и квадрата, но и обратить внимание учащихся на различие в применении свойств и признаков.

Устно:

1. Определите вид четырехугольника АВСD, если АС и ВD - диаметры одной окружности.

Ответ: АВСD - параллелограмм, так как его диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Из равенства диагоналей делаем вывод о том, что он является прямоугольником.

2. Верно ли, что четырехугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, является ромбом.

Ответ: нет. Посмотрите на чертеж. Какое еще условие должно выполняться?

3. Дан четырехугольник, у которого два противоположных угла прямые. можно ли утверждать, что такой четырехугольник всегда будет прямоугольником?

Ответ: Нет. Смотрите на рисунок. Какое еще условие должно выполняться?

Вывод:

- Если по условию задачи дано, что четырехугольник является параллелограммом (или прямоугольником, или ромбом, или квадратом), то можно использовать в решении любое его свойство;

- Признаки используются, когда нужно доказать, что данный четырехугольник является параллелограммом (прямоугольником, квадратом или ромбом). При этом нужно привести определенный набор фактов, достаточный для того, чтобы сделать вывод о виде четырехугольника.

4. Всякий ли четырехугольник, у которого есть две параллельные стороны, является трапецией?

Ответ: Нет. Параллелограмм, у которого есть две параллельные стороны, не является трапецией.

5. Является ли данный четырехугольник трапецией?

Ответ: Да, ВС || АD, АВCD.

II. Решение задач.

№№ 428, 434, 438.

№ 428.

Решение

1) РD - биссектриса  1 = 2.

2) 1 = 3, как внутренние накрест лежащие при ВС || АD и секущей РD. Имеем 1 = 2 = 3.

3) Аналогично для биссектрисы угла В имеем 4 = 5 = 6.

4) Но АВС = АDС, поэтому 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 6.

5 и 3 соответственные при прямых РD и ВК и секущей ВС ВD || ВК.

5) Аналогично доказывается, что АМ || NC.

6) STQR - параллелограмм по определению.

7) РСD - равнобедренный, так как 3 =2, CQ - биссектриса и высота.

8) В параллелограмме STQK один угол прямой  он является прямоугольником.

№ 438.

Решение

1) 2 =3 как накрест лежащие при ВС || АD и секущей АС.

2) 1 =2 = 3 = 30°,

1 + 2 = 60° АВСD - равнобокая трапеция.

3) АВС - равнобедренный треугольник, так как 1 = 3.

4) СD против угла 30°, поэтому АD = 2СD.

5) По условию АВ + ВС + СD + АD = 20

3СD + 2СD = 20

СD = 4

АD = 2СD = 8 (см).

III. Самостоятельная работа.

Вариант I

1. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма АВСD проведена прямая, пересекающая стороны АD и ВС соответственно в точках Е и F. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 28 см. АЕ = 5 см, BF = 3 см.

Ответ: 6 и 8 см.

2. Найдите меньшую боковую сторону прямоугольной трапеции, основания которой равны 10 см и 6 см, а один из углов равен 45°.

Ответ: 4 см.

3. Разделите данный отрезок на 5 равных частей.

Вариант II

1. Биссектрисы углов А и D параллелограмма АВСD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 36 см.

Ответ: 6 и 12 см.

2. Найдите боковую сторону равнобедренной трапеции, основания которой равны 12 см и 6 см, а один из углов равен 120°.

Ответ: 6 см.

3. Разделите данный отрезок на 6 равных частей.

Вариант III

1. В равнобедренный прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ вписан прямоугольник КMNP, как показано на рисунке.

Периметр этого прямоугольника равен 30 см, а смежные стороны КМ и КР пропорциональны числам 2 и 3, то есть КМ : КР = 2 : 3. Найдите гипотенузу треугольника.

Ответ: 21 см.

2. Один из углов равнобедренной трапеции равен 60°, а диагональ трапеции делит этот угол пополам. Найдите периметр трапеции, если ее большее основание равно 14 см.

Ответ: 35 см.

3. Данный отрезок разделить на 7 равных частей.

Домашнее задание: вопросы 1-20, с. 114-115; готовиться к контрольной работе.

1. В ромбе АВСD D = 140°. Определите углы треугольника АОD (О - точка пересечения диагоналей).

2. На диагонали MP прямоугольника MNPQ отложены равные отрезки МА и РВ. Докажите, что ANBQ - параллелограмм.

3. Найти ВС.

Урок 16
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

Цель: проверить знания, умения и навыки учащихся по усвоению и применению изученного материала.

Ход урока

I. Организация учащихся на выполнение работы.

II. Выполнение работы по вариантам.

Вариант I

1. Диагонали прямоугольника АВСD пересекаются в точке О. Найдите угол между диагоналями, если АВО = 30°.

2. В параллелограмме KМNP проведена биссектриса угла МKР, которая пересекает сторону MN в точке Е.

а) Докажите, что треугольник KМЕ равнобедренный.

б) Найдите сторону KР, если МЕ = 10 см, а периметр параллелограмма равен 52 см.

Вариант II

1. Диагонали ромба KМNP пересекаются в точке О. Найдите углы треугольника KОМ, если угол МNP равен 80°.

2. На стороне ВС параллелограмма АВСD взята точка М так, что АВ = ВМ.

а) Докажите, что АМ - биссектриса угла ВАD.

б) Найдите периметр параллелограмма, если СD = 8 см, СМ = 4 см.

Вариант III

1. Через вершину с прямоугольника АВСD проведена прямая, параллельная диагонали ВD и пересекающая прямую АВ в точке М. Через точку М проведена прямая, параллельная диагонали АС и пересекающая прямую ВС в точке N. Найдите периметр четырехугольника АСМN, если диагональ ВD равна 8 см.

2. Биссектрисы углов А и D параллелограмма АВСD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Луч DМ пересекает прямую АВ в точке N. Найдите периметр параллелограмма АВСD, если АN = 10 см.

III. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить материал гл. I, § 4, с. 13-16.

Урок 17
ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКА

Цели: дать представление об измерении площадей многоугольников, рассмотреть основные свойства площадей и вывести формулу для вычисления площади квадрата.

Ход урока

I. Анализ ошибок, допущенных в контрольной работе.

II. Выполнить задания (устно).

1. Через точку во внутренней области равностороннего треугольника проведены две прямые, параллельные двум сторонам треугольника. На какие фигуры разбивается этими прямыми данный треугольник?

2. АВСD - параллелограмм, АD = 2АВ, АМ - биссектриса угла ВАD. Докажите, что часть отрезка АМ, лежащая во внутренней области параллелограмма АВСD, равна части, лежащей во внешней области.

3. Точка D между точками А и С на прямой АС. Найти длину АС, если АD = 5 см, DС = 5,6 см.

Вспомнить способы измерения отрезков.

III. Изучение нового материала.

Ввести понятие площади многоугольника и основные свойства площадей можно в форме короткой лекции с использованием иллюстративного материала. При этом полезно отметить, что вывод формул для вычисления площадей различных многоугольников будет основан на двух свойствах площадей, аналогичных свойствам длин отрезков:

1. Равные многоугольники имеют равные площади.

2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

Эти свойства принимаются на основе наглядных представлений об измерении площадей.

3. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Материал этого пункта не является обязательным. Следует на конкретных примерах разъяснить свойство 3, а более подготовленным учащимся можно предложить изучить доказательство самостоятельно по учебнику.

Полезно привести ряд примеров, связанных с практической необходимостью измерения площадей. Так, площадь зеркала водохранилища нужно знать его проектировщикам, в частности, чтобы определить, как станет испаряться из заполненного водохранилища вода. Площадь поверхности стен в помещении нужно знать, например, для того, чтобы рассчитать необходимое для их покрытия количество краски, обоев или кафеля. Площадь поверхности дороги нужно знать, например, при расчете необходимого для ее покрытия количества асфальта.

IV. Закрепление изученного материала.

1. №№ 445, 449 (а, в), 450 (а, б), 451 (устно).

2. Р_АВСD = 40. Найти S_АВСD.

3. S_АВСD = 64. Найти Р_АВСD.

4. ВЕ = ЕС. Найти S_АВСD : S_АВЕ.

5. ВЕ = ЕС. Найти S_АВЕ : S_АВСD.

V. Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 1, 2, с. 133; №№ 448, 449 (б), 450 (в), 446; привести свои примеры необходимости вычисления площадей многоугольников.

Урок18 ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКА

Цели: вывести формулу площади прямоугольника, научить находить площадь прямоугольника.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Ответить на вопросы учащихся.

2. Выполнить задания (устно):

1) Площадь параллелограмма АВСD равна S. Найдите площади треугольников АВС и АВD.

2) Площадь прямоугольника АВСD равна Q. найдите площадь треугольника АМD.

3) АВСD - прямоугольник, точки Е и F - середины его сторон АD и ВС. Заштрихованный квадрат представляет собой единицу измерения площадей. Найдите площадь трапеции KМNP.

II. Изучение нового материала.

Выполнить задание:

1. Докажите, что два прямоугольника равны, если равны их смежные стороны.

2. АВСD - квадрат, MN || АВ, ЕF || ВС. Найдите площадь четырехугольника АFКМ, если АМ = СЕ = 3 см. DЕ = 6 см.

3. Доказать теорему о площади прямоугольника. (Заготовить чертеж заранее из учебного пособия, рис. 181.)

III. Закрепление изученного материала.

№ 452 (а, в), № 453 (а, б).

1) Р_АВСD = 40, АD = 3СD.

Найти: S_АВСD.

2) АD = 20, S_DOC = 60.

Найти: СD.

Решение

Проведем через точку О прямые, параллельные сторонам прямоугольника, и получим 8 равных прямоугольных треугольников, с площадью S_ДОС.

S_АВСD = 8 · 30 = 240; DС = = 12.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: вопрос 3, с. 133; №№ 454, 455, 456.

1. Периметр прямоугольника равен 44 см, а DС : АD = 7 : 4. Найдите площадь треугольника АВK, если DЕ = FC = ЕF.

2. S_АСD = 28, АВ = АD + 1. Найти Р_АВСD.

3. Вырезать из бумаги два равных прямоугольных треугольника и составить из них:

1) равнобедренный треугольник;

2) прямоугольник;

3) параллелограмм, не являющийся прямоугольником.

Урок 19
ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА.

Цели: вывести формулу для вычисления площади параллелограмма; научить применять формулы при решении задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Выполнить задания (устно):

1. S_АВСD - ?

2. 1 = 2,

ВМ = 5,

МС = 4

S_АВСD - ?

3.

Площадь прямоугольника АВСD = 20 см². Найти площадь параллелограмма МВСK.

II. Изучение нового материала.

1. Ввести понятие «высота параллелограмма к данной стороне».

2. При выведении формулы площади параллелограмма целесообразно написать на доске формулу S = а · h_a и продемонстрировать соответствующий рисунок, а затем провести силами учащихся доказательство формулы.

III. Закрепление изученного материала.

№№ 459 (а) (устно), 459 (б, в), 464 (в).

АВ : ВС = 3 : 7, Р_АВСD = 120, А = 45°.

Найти: S_АВСD.

IV. Самостоятельная работа (обучающего характера).

Вариант I

Стороны параллелограмма 10 см и 6 см, а угол между этими сторонами 150°. Найдите площадь этого параллелограмма.

Вариант II

Острый угол параллелограмма равен 30°, а высоты, проведенные из вершины тупого угла, равны 4 см и 3 см. Найти площадь параллелограмма.

Вариант III

Найдите площадь ромба, диагонали которого равны 8 см и 6 см. Проверить решение с помощью закрытой доски:

Вариант I

1. В = 180° - 150° = 30°.

2. Катет АЕ лежит против угла 30°, поэтому АЕ = АВ = 3 см.

3. S_АВСD = ВС · АЕ = 10 · 3 = 30 см².

Вариант II

1. Катет ВМ лежит против угла в 30°, поэтому АВ = 2ВМ = 6 см.

2. S_АВСD = ВK · DС = 8 · 6 = 48 см².

Вариант III

Использовать задание 3 из домашней работы. ВО = ОD = 4 см,
АО = ОС = 3 см.

S_АЕВО = 3 · 4 = 12.

S_АВСD = 12 · 2 = 24.

Подвести учащихся к выводу, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

V. Итоги урока.

S = а²

Домашнее задание: § 2, вопрос 4, с. 133; №№ 459 (в,г), 460,462, 464 (б).

Для желающих.

Найдите углы параллелограмма, если его площадь равна 20 см², а высота, проведенная из вершины тупого угла, делит одну из сторон на отрезки 2 см и 8 см, считая от вершины острого угла.

Ответ: 45°; 135°.

2. Сравните площади параллелограмма и прямоугольника, если они имеют одинаковые основания и одинаковые периметры.

Ответ: площадь прямоугольника больше площади параллелограмма.

Урок 20
ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА

Цели: вывести формулу для вычисления площади треугольника; познакомить учащихся с методами решения задач по этой теме.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Дан параллелограмм АВСD с основанием АD и высотой ВD. Постройте другой параллелограмм с тем же основанием АD, равновеликий заданному параллелограмму. Сколько таких параллелограммов можно построить? (Две другие вершины такого параллелограмма будут лежать на прямой ВС. Бесконечное множество.)

2. Найдите углы параллелограмма, если его площадь равна 40 см², а стороны 10 см, 8 см.

h_a =

h_a = = 4 (см)

A = 30°, так как = 2

B = 150°.

II. Изучение нового материала.

1. Нарисовать параллелограмм АВСD.

АВСD - параллелограмм.

АВ = 8 см, АD = 12 см, А = 30.

Найти: S_АВС, S_АDС.

Решение

S_АВСD = 4 · 12 = 48 (см²).

Так как АВС равен АDС, то S_АВС = S_АDС = 24 см².

2. Доказательство теоремы о площади треугольника и следствий из нее можно предложить учащимся провести самостоятельно.

III. Закрепление изученного материала.

Решить №№ 468 (а, б), 471 (а), 475.

№ 475.

АD = DЕ = ЕС,

S_АВD = ,

S_ВDЕ = ,

S_ВСЕ = ,

S_ВСЕ = S_АВD = S_ВЕD.

Дано: АВС, S_АВС = 49 см²,

АD : DС = 4 : 3.

Найти: S_АВD и S_ВСD.

Решение

Если АD : DС = 4 : 3,

то S_АВD : S_ВСD = 4 : 3.

Имеем 4х + 3х = 49,

S_АВD = 28 см², S_ВСD = 21 см².

IV. Итоги урока.

S_ = h_a ∙ a.

S_ = .

S_АВD : S_ВСD = m : n.

Домашнее задание: § 2, вопрос 5, с. 133; №№ 468 (г, в), 469, 473 .

Для желающих.

1. Внутри параллелограмма АВСD отмечена точка М. Докажите, что сумма площадей треугольников АМD и ВМС равна половине площади параллелограмма.

Решение

S_ВМС = h₁BC,

S_АМD = h₂ AD, AD = BC,

S_ВМС + S_АМD = AD (h₁ + h₂) =

= AD ∙ h,

S_ВМС + S_АМD = S_ABCD.

2. В треугольнике АВС С = 90. На сторонах АС, АВ, ВС соответственно взяты точки М, Р, K так, что четырехугольник СМРK является квадратом АС = 6 см, ВС = 14 см.

Найдите сторону МС.

Решение

1) S_АВС = AC ∙ CB = ∙ 6 ∙ 14 = 42 (см²).

2) S_АМР = AM ∙ MP = (6 - x) ∙ x (см²).

3) S_РВК = PK ∙ KB = (14 - x) ∙ x (см²).

4) S_МРСК = МС² = х².

5) S_АВС = S_АВР + S_РВК + S_МРСК.

42 = (6 - х) · х + (14 - х) · х + х²

2х² + 6х - х² + 14х - х² = 84

6х + 14х = 84

х = 4,2.

Ответ: МС = 4,2 см.

Урок 21
ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА

Цели: доказать теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу; познакомить учащихся с решением задач по этой теме.

Ход урока

1. Проверка домашнего задания.

№469

S_АВС = AB ∙ CD,

S_АВС = 16 ∙ 11 = 88 (см²),

S_АВС = BC ∙ h,

88 = ∙ 22 ∙ h,

h = 8 (cм).

Выполнить устно:

1) S_АВС - ?

2) S_АВС - ?

3)

СМ - медиана АСВ.

Найти отношение площадей

Ответ:

4)

Докажите, что S_MBKD = S_ABCD.

Решение

S_АВСD = S_АDВ + S_DВС

S_МDKВ = S_МDВ + S_DКВ

.

II. Объяснение нового материала.

Доказательство теоремы об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, рекомендуется провести самому учителю.

III. Закрепление изученного материала.

1. Дано: А = K, АС = 5 см, АВ = 3 см, KN = 7 см, KМ = 2 см.

Найти: .

Решение

2.

Дано: АО = 8 см;

ОВ = 6 см;

ОС = 5 см;

ОD = 2 см;

S_АОВ = 20 см².

Найти: S_СОD.

Решение

. .

3. Площадь одного равностороннего треугольника в три раза больше, чем площадь другого равностороннего треугольника. Найдите сторону второго треугольника, если сторона первого равна 1.

Решение

№ 479 (б).

Решение

А - общий

IV. Самостоятельная работа обучающего характера.

Вариант I

АО = ОВ, ОС = 2 · ОD

S_АОС = 12 см².

Найти: S_ВОD.

Вариант II

ОВ = ОС; ОD = 3ОА

S_АОС = 16 см².

Найти: S_ВОD.

Вариант III

АО = АВ; АС || ВD.

Докажите, что

S_ОВС = S_ОАD.

V. Итоги урока.

Домашнее задание: § 2, вопрос 6, с. 134; №№ 477, 476а, 479 (а).

Для желающих.

1. В четырехугольнике диагонали равны 8 см и 12 см и пересекаются под углом 30° друг к другу. Найдите площадь этого четырехугольника.

Решение

S_АВСD = S_АВС + S_АDС =

,

S_АВСD = = 24 (см²).

2. В треугольнике точка пересечения биссектрис удалена от прямой, содержащей одну из сторон на 1,5 см. Периметр треугольника равен 16 см. Найдите его площадь.

Решение

1. Расстояние от точки пересечения биссектрис до прямых, содержащих стороны треугольника, равны как радиусы вписанной окружности.

S_АВС = S_АВО + S_ВОС + S_АОС=

= r (AB + BC + AC) = ∙ 1,5 ∙ 16 = 12 (см²).

Урок 22
ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ

Цели: доказать теорему о площади трапеции; познакомить учащихся с методами решения задач по этой теме.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

№ 472.

S_АВС = , так как .

АС = , 168 = ,

ВС² = , ВС² = 24 · 24,

ВС = 24 см, АС = 14 см.

№ 479 (а).

,

,

S_АDE = = 2 (см²).

II. Объяснение нового материала.

Доказательство теоремы о площади трапеции можно предложить учащимся разобрать самостоятельно.

III. Закрепление изученного материала.

Решить задачу.

Дано: S = 18 см², а = 2 см, b = 7 см.

Найти: h.

Ответ: h = 4 cм.

№ 480 (в).

Решение

S_АВСD = ∙ BC,

S_АВСD = ∙ 8,

S_АВСD = 72 (см²).

№ 481.

Решение

ВСD = 135°, ВСЕ = 90°,

ЕСD = 45°, СDЕ = 45°.

Имеем СDЕ - равнобедренный, то есть СЕ = ЕD.

Четырехугольник АВСЕ - квадрат, поэтому АВ = СЕ = ВС = АЕ.

S_АВСD = ∙ AB = ∙ 6 = 36 (см²).

№ 482.

Решение

ВСD = 135°, NСL = 45°,

NСD = СDN = 45°

NС = ND = 1,4 см;

МN = AN - MN = 3,4 - 1,4 = 2 (см);

МN = ВС.

S_АВСD = ∙ NC = ∙ 1,4 = 4,76 (см²).

IV. Итоги урока.

S_{трапеции} =

Домашнее задание: § 2, вопрос 7, с. 134; №№ 480 (8), 481,478,476.

Для желающих.

В трапеции АВСD, АD - большее основание, D = 60°. Биссектрисы углов С и D пересекаются в точке 0, ОD = а, ВС = b, АD = с. Найдите площадь трапеции.

Решение

СDЕ - равносторонний, так как МСD = СDМ =
= СМD = 60°.

СМ = ОD, то есть ОD - высотаМСD.

В равностороннем треугольнике высоты равны.

S_АВСD = ∙ OD = ∙ a.

Уроки 23-24
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ФИГУР

Цель: познакомить учащихся с методами решения задач по теме «Площадь многоугольников».

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Обсудить решение домашних задач.

2. Выполнить задания (устно):

1) АВСD - ромб.

ВD = 18 см, АС = 10 см.

Найти: S_АВСD.

2) АВСD - равнобокая трапеция.

Найти: S_АВСD.

II. Решение задач.

№ 477.

Решение

Пусть АС = х, тогда ВD = 1,5х,

S_АВСD = АС · ВD,

27 = x ∙ x; 27 = x².

х² = 36; х = 6.

АС = 6 см, ВD = 9 см.

№ 478.

Решение

1) S_АВСD = S_АВС + S_АDС.

2) ВО - высота АВС, а DО высота АDС, поэтому S_АВС = АС · ВО,

S_АDС = АС · ОD.

Следовательно

S_АВСD = АС · ВО + АС · ОD = АС (ВО + ОD);

S_АВСD = АС · ВD.

Задача 1. В трапеции АВСD АD - большее основание, D = 60. Биссектрисы углов С и D пересекаются в точке О, ОD = а, ВС = b, АD = с. Найдите площадь трапеции.

Решение

1) Проведем ОМ ВС, ОK СD и ОР АD.

2) Из равенства прямоугольных треугольников МСО и KСО следует, что ОМ = ОK.

3) из равенства прямоугольных треугольников ОРD и ОKD следует, что ОK = ОР.

4) Имеем ОМ = ОР = ОK.

5) В прямоугольном треугольнике KОD катет ОK лежит против угла в 30 и равен половине гипотенузы, то есть ОK = .

6) S_АВСD = (ВС · АD) · МР; S_АВСD = (b + с).

Задача 2. Четырехугольник, у которого диагонали пересекаются под прямым углом, имеет площадь 250 см². Найдите его диагонали, если известно, что одна больше другой в 5 раз.

Ответ: 10 и 50 см.

III. Итоги урока.

S_АВСD = d₁ · d₂ - площадь
четырехугольника, где d₁ и d₂ -
диагонали.

Домашнее задание: вопросы 1-7, с. 133-134; №№ 476 (б), 467, 466.

Урок 25
ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Цели: доказать теорему Пифагора и обратную ей теорему, рассмотреть решение задач с применением этих теорем.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

№ 466.

Решение

1) ВЕ - высота в равнобедренном треугольнике и медиана АЕ = ЕD = 7,6 см.

2) АВЕ - прямоугольный и равнобедренный АЕ = ВЕ = 7,6 см.

3) S_АВСD = (15,2 · 7,6) = 115,52 см².

Решить задачи (устно):

1. α = 3β. Найти β.

2. α + γ = β. Найти β.

3. Найти площадь четырехугольника ВDАС.

II. Изучение нового материала.

1. Доказательство теоремы провести с помощью учащихся.

2. Для закрепления теоремы можно предложить учащимся устные задачи на вычисление:

а) а = 6 см; b = 8 см.

Найти: с.

б) с = 5 см, b = 3 см.

Найти: а.

3. Напомнить учащимся понятие обратной теоремы. Всегда ли она верна? Разобрать вопросы из домашнего задания.

4. Сформулировать с помощью учащихся теорему, обратную теореме Пифагора.

5. Доказательство теоремы Пифагора.

6. Рассказать учащимся о том, что хотя эта теорема и связана с именем Пифагора, она была известна задолго до него.

III. Закрепление изученного материала.

Решить задачи: №№ 483 (г), 484 (а, в), 498 (в, д).

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: § 3, п. 54, 55, вопросы 8-10, с. 134; №№ 483 (в), 484 (б, г), 498 (б, г, ж). Существует более ста доказательств теоремы Пифагора. По желанию подготовить сообщения с 5-6 доказательствами теоремы Пифагора.

Для желающих.

1. С помощью теоремы Пифагора доказать, что в прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы.

Доказательство

По теореме Пифагора АВ² = АС² + ВС².

Так как ВС² > 0, то АС² < АВ², то есть АС < АВ.

2. Подготовить сообщения об истории теоремы Пифагора.

Урок 26
ТЕОРЕМА, ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМЕ ПИФАГОРА

Цель: рассмотреть решение задач с помощью теоремы Пифагора и теореме, обратной Пифагора

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Записать теорему Пифагора для треугольников.

1)

2)

3) АВСD - ромб.

4) АВСD - прямоугольник.

5)

6) DЕ - высота.

II. Решение задач.

№ 485.

1) А = 90° - 60° = 30°.

2) св = , как катет, лежащий против угла в 30°.

3) По теореме Пифагора

АВ² = АС² + СВ², АС² = АВ² - СВ²

АС² = с² - = , АС = .

Решить устно:

На какое расстояние надо отодвинуть от стены дома нижний конец лестницы длиною 17 м, чтобы верхний конец ее достал до слухового окна, находящегося на высоте 15 м от поверхности земли.

Решение

АВС прямоугольный.

По теореме Пифагора

АВ² = АС² + ВС²,

ВС² = АВ² - АС²,

ВС = =
= = 8 (м).

№ 488 (а).

1) ВD - высота и медиана равностороннего треугольника, поэтому DС = 3 см.

2) ВСD - прямоугольный. По теореме Пифагора имеем

ВС² = ВD² + DС²,

ВD² = ВС² - DС²,

ВD = =.

№ 493.

Решение

1) По свойству диагоналей ромба ВО =
= ОD = 12 см, АО = ОС = 5 см.

2) По свойству ромба ВОС = 90°.

3) По теореме Пифагора в ВОС имеем ВС² = ВО² + ОС².

ВС = = 13 (см).

4) S_АВСD = ВD · АС.

S_АВСD = · 24 · 10 = 120 (см²).

№ 495 (а).

1) ВЕ - высота трапеции.

ВСЕ - прямоугольный.

2) По теореме Пифагора имеем в ВСЕ:

ВС² = ЕС² + ВЕ², ВЕ² = ВС² - ЕС².

3) ЕС = по свойству равнобокой трапеции ЕС = = 5 (см).

4) ВЕ = = 12 (см).

III. Итоги урока.

При решении задач с применением теоремы Пифагора нужно:

1) указать прямоугольный треугольник;

2) записать для него теорему Пифагора;

3) выразить неизвестную сторону через две другие;

4) подставив известные значения, вычислить неизвестную сторону.

Домашнее задание: №№ 488, 499Б, 498 (б).

Для желающих.

Задачи древнекитайского ученого Цзинь Киу-чау, 1250 лет до н. э.

1. Бамбуковый ствол 9 футов высотой переломлен бурей так, что если верхнюю часть его нагнуть к земле, то верхушка коснется земли на расстоянии 3 футов от основания ствола. На какой высоте переломлен ствол?

Решение

а + с = 9 футов, b = 3 фута,

с = 9 - а.

АВС - прямоугольный.

По теореме Пифагора

с² = а² + b²,

(9 - а)² = а² + 3²,

81 - 18а + а² = а² + 9.

18а = 72,

а = 4.

2. В центре квадратного пруда, имеющего 10 футов в длину и ширину, растет тростник, возвышающийся на 1 фут над поверхностью воды. Если его пригнуть к берегу, к середине стороны пруда, то он достигнет своей верхушкой берега. Какова глубина пруда?

Решение

АО = 5 футов - расстояние от центра квадрата до середины стороны.

АВ = О₁В

ОАВ - прямоугольный.

По теореме Пифагора

АВ² = АО² + ОВ².

Пусть Ов = х футов, тогда АВ = (1 + х) футов. Имеем

(1 + х)² = 5² + х²,

1 + 2х + х² = 25 + х²,

х = 12,

ОВ = 12 футов.

Урок 27
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Цели: продолжить рассматривать решение задач с помощью теоремы Пифагора и проверить навыки решения задач по этой теме.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Заслушать сообщения о других доказательствах теоремы Пифагора.

2. Ответить на возможные вопросы по домашнему заданию.

II. Решение задач.

№ 517 (разобрать решение без записи в тетрадь).

Решение

1) Рассмотрим АВС. Сторона ВС - наибольшая. Проверим, не выполняется ли в нем условие

ВС² = АВ² + АС²

13² = 12² + 5²

169 = 144 + 25

169 = 169.

АВС - прямоугольный по теореме, обратной теореме Пифагора.

2) Аналогично доказывается, что АDС - прямоугольный с прямым углом DСА.

3) S_АВСD = S_АВС+ S_DАС = АВ · АС + АС · DС = АС (АВ + DС) =
= · 12 (5 + 9) = 84 (см²).

№ 496.

Решение

1) Пусть АD = ВС = х.

Тогда ВD = 3 - х.

2) По теореме Пифагора для треугольника ВСD

х² = (3 - х)² + ;

х² = 9 - 6х + х² + 3;

6х = 12;

х = 2;

ВС = 2 см.

3) По теореме Пифагора для треугольника АСD.

AC = (см).

№ 497 (без записи в тетрадь).

Решение

АВD - прямоугольный.

По теореме Пифагора

АВ² = BD² + AD²,

BD = ,

BD = ,

AD + AB - полупериметр.

AD + AB = 25 (см).

ВD = = 5 (см).

№ 489.

1) ВD - высота АВС, которая является и медианой.

АD = DС = .

2) АВD - прямоугольный по теореме Пифагора.

ВD =

S_АВС = ВD · АС = · · a = .

III. Самостоятельная работа.

Вариант I

В прямоугольной трапеции основания равны 22 см и 6 см, большая боковая сторона - 20 см. Найдите площадь трапеции.

Вариант II

В прямоугольной трапеции боковые стороны равны 7 см и 25 см, а меньшее основание равно 2 см. Найдите площадь трапеции.

Вариант III
(для более подготовленных учащихся)

Диагональ АС прямоугольной трапеции АВСD перпендикулярна боковой стороне СD и составляет угол 60° с основанием АD. Найдите площадь трапеции, если АD = 24 см.

IV. Итоги урока.

Площадь равностороннего треугольника S = , где а - сторона треугольника.

Домашнее задание: №№ 493,489а,в, 491 (а).

Для желающих.

Рассмотреть самостоятельно решение № 524 (вывод формулы Герона

Урок 28
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Цели: вывести формулу Герона, рассмотреть применение ее при решении задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

По готовым на доске чертежам проверить решение задач.

№ 490 (б).

1) ВD - высота, биссектриса и медиана по свойству равнобедренного треугольника, поэтому 1 = 2 = 60°,
АD = DС = 9 см.

2) АВD - прямоугольный,

3 = 90° - 60° = 30°.

3) ВD - катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, то есть АВ = 2ВD.

4) Пусть ВD = х см, тогда АВ = 2х см.

По теореме Пифагора АВ² = ВD² + АD²,

(2х)² = х² + 9²,

4х² = х² + 81,

3х² = 81,

х = 3,

АВ = 6см.

5) S_АВС = ВD · АС = 3 · 18 = 27 (см²).

№ 490 (в).

1) СD - высота, биссектриса, медиана.

2) АDС - равнобедренный и прямоугольный.

По теореме Пифагора

АС² = СD² + АD².

АС = = 7 (см).

S_АВС = АС · СВ = · 7 · 7 = 49 (см²).

№ 491 (а).

АВ² = АС² + СВ²,

АВ = = 13 (см).

АD = х, DВ = 13 - х.

АСD (D = 90°) : СD² = АС² - АD² =
= 25-х².

СDВ (D = 90°) : СD² = СВ² - DВ² =
= 144 - (13 - х)² = 144 - 169 + 26х - х².

Имеем 25 - х² = 26х - х² - 25.

26х = 50

х =

СD = =
= (см).

II. Изучение нового материала.

Рассмотреть решение задачи № 524. Во всяком треугольнике по крайней мере два угла острые. Пусть А и В - острые углы треугольника АВС. Тогда основание высоты СD лежит на стороне АВ.

Положим АD = х, тогда ВD = с - х.

Применяя теорему Пифагора к треугольникам АСD и ВСD, получаем уравнения

b² = h² + х²; а² = h² + (c - x)²

h² = b² - x²; h² = а² - (c - x)²

b² - x² = а² - (c - x)²

b² = а² - c² + 2сx

x =

h² = b² - x² = (b - х) (b + х)

h² =

h² =

h² =

h² = =

=

h= , S = h ∙ c = .

III. Закрепление изученного материала.

Выполнить № 499 (а).

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: №№ 490 (а), 494, 495 (в); подготовиться к самостоятельной работе; выучить формулы площадей многоугольников.

Для желающих.

Задача Леонарда Пизанского, XIII век.

Две башни в равнине находятся на расстоянии 60 локтей одна от другой. Высота первой башни 50 локтей, высота второй 40 локтей. Между башнями находится колодец, одинаково удаленный от вершин башен. Как далеко находится колодец от основания каждой башни.

Решение

АСВ, С = 90

АВ² = АС² + СВ²;

ВЕD, D = 90

ВЕ² = ВD² + ЕD².

Так как АВ² = ВЕ², то

50² + х² = (60 - х)² + 40²

х = 22,5.

СВ = 22,5; ВD = 37,5.

Ответ: 23 и 38 локтей.

Урок 29
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Цель: закрепить умения учащихся в применении формул площадей многоугольников и теоремы Пифагора при решении задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Ответить на возможные вопросы учащихся по домашнему заданию.

2. Фронтально проверить, знают ли учащиеся формулы площадей многоугольников.

В результате на доске должна получиться запись:

Треугольник S = a ∙ h.

S = , p = .

Прямоугольный треугольник - S = a ∙ b; а и b - катеты.

Равносторонний треугольник - S = ; а - сторона треугольника.

Прямоугольник - S = аb.

Квадрат - S = a².

Параллелограмм - S = a · h.

Ромб - S = ; d₁, d₂ - диагонали ромба.

Трапеция - S = · h; а, b - основания трапеции.

Кроме того, необходимо напомнить учащимся свойства:

1) Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

2) Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

II. Решение задач.

№ 509.

Решение

1) Пусть О - произвольная точка, лежащая внутри равностороннего треугольника АВС (АВ = ВС = АС = а) и ОK, ОМ и ОN перпендикуляры к сторонам этого треугольника.

2) S_АВС = S_АОВ + S_ВОС + S_СОА =
= (OK · AB + OM · BC + ON · AC);

S_АВС = a (OK + OM + ON).

ОK + ОМ + ON = , то есть сумма ОK + ОМ + ОN не зависит от выбора точки О.

№ 516.

Решение

1) ВD - высота.

2) ВD || MN, ВМ = МС, то по теореме Фалеса DN = NC.

3) ВСD - прямоугольный, по теореме Пифагора ВС² = ВD² + DС².

ВD = =
= = 16 (см).

S_АВС = AC · BD = 40 · 16 = 320 (см²).

№ 518 (б) (без записи в тетрадь).

ВD = АС и ВО = ОС = х; АО = ОD = у.

1) В прямоугольных треугольниках ВОС и АОD имеем по теореме Пифагора

ВС² = ВО² +ОС²; 16² = 2х², х = 8,

АD² = АО² +ОD²; 30² = 2у², у = 15,

АС = ВD = 23.

2) ВDЕ - прямоугольный, по теореме Пифагора.

ВD² = ВЕ² + DЕ², ВЕ = = 23 (см).

3) S_АВСD = (BC + AD) · BE = (16 + 30) · 23 = 529 (см²).

III. Самостоятельная работа.

Вариант I

1. В треугольнике АВС А = 45°, ВС = 13, а высота ВD отсекает на стороне АС отрезок DС, равный 12 см. Найти площадь АВС и высоту, проведенную к стороне ВС.

2. В параллелограмме АВСD ВK делит сторону АD на отрезки АK и KD. Найдите стороны параллелограмма, если ВK = 12, АK = 5, ВD = 15.

Вариант II

1. В треугольнике АВС В = 45°, высота делит сторону ВС на отрезки BN = 8 см, NC = 6 см. Найдите площадь треугольника АВС и сторону АС.

2. Диагональ прямоугольника равна 52 мм, а стороны относятся как 5 : 12. Найти его периметр.

Вариант III
(для более подготовленных учащихся)

1. В треугольнике АВС А = 30°, В = 75°, высота ВD равна 6 см. Найдите площадь треугольника АВС.

2. Высота ВK ромба АВСD делит сторону АD на отрезки АK = 6 см, KD = 4 см. Найдите площадь ромба и его диагонали.

Вариант IV
(для очень слабо подготовленных учащихся)

1. Дан прямоугольный треугольник ОМK (K = 90°). Запишите теорему Пифагора для этого треугольника и найдите сторону МK, если ОK = 15 см, ОМ = 17 см.

2. В прямоугольнике проведена диагональ. Найдите длину диагонали, если известны стороны прямоугольника - 8 см и 15 см.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: подготовиться к контрольной работе; №№ 503, 518, 497,490в.

Урок 30
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

Цель: проверить знания, умения и навыки учащихся решать задачи по теме «Площадь. Теорема Пифагора».

Ход урока

I. Организация учащихся на выполнение работы.

II. Выполнение работы по вариантам.

Вариант I

1. Смежные стороны параллелограмма равны 32 см и 26 см, а один из его углов равен 150°. Найдите площадь параллелограмма.

2. Площадь прямоугольной трапеции равна 120 см², а ее высота равна 8 см. Найдите все стороны трапеции, если одно из оснований больше другого на 6 см.

3. На стороне АС данного треугольника АВС постройте точку D так, чтобы площадь треугольника АВD составила одну треть площади треугольника АВС.

Вариант II

1. Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой и равна 9 см. Найдите стороны этого параллелограмма, если его площадь равна 108 см².

2. Найдите площадь трапеции АВСD с основаниями АD и ВС, если АВ = 12 см, ВС = 14 см, АD = 30 см, В = 150°.

3. На продолжении стороны KN данного треугольника KМN постройте точку Р так, чтобы площадь треугольника NMP была в два раза меньше площади треугольника KМN.

Вариант III
(для более подготовленных учащихся)

1. Стороны параллелограмма равны 12 см и 8 см, а угол между высотами, проведенными из вершины тупого угла, равен 30°. Найдите площадь параллелограмма.

2. Середина М боковой стороны CD трапеции АВСD соединена отрезками с вершинами А и В. Докажите, что площадь треугольника АВМ в два раза меньше площади данной трапеции.

3. Точки А₁, В₁, С₁ лежат соответственно на сторонах ВС, АС, АВ треугольника АВС, причем АВ₁ = AC, CA₁ = CB, BC₁ = BA. Найдите площадь треугольника А₁В₁С₁, если площадь треугольника АВС равна 27 см².

III. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить свойства пропорций.

Урок 29
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Цели: дать определение пропорциональных отрезков, рассмотреть свойство биссектрисы треугольника и применение этого свойства при решении задач.

Ход урока

I. Анализ контрольной работы.

1. Сообщение итогов контрольной работы.

2. Ошибки, допущенные учащимися в ходе работы.

3. Решение на доске задач, вызвавших затруднения у учащихся.

II. Изучение нового материала.

1. Ввести понятие пропорциональных отрезков.

2. Решить устно №№ 533, 534 (а, б).

3. Разобрать решение задачи № 535 (свойство биссектрисы треугольника).

III. Закрепление изученного материала.

№ 536 а.

Решение

1) По свойству биссектрисы треугольника

АВ = = 15 (см).

№ 538.

1) Р_АВС = АВ + ВС + АС

42 = АВ + АС + 13,5 + 4,5

АВ + АС = 24.

2) Пусть АВ = х, тогда

АС = 24 - х.

3) По свойству биссектрисы треугольника

.

4,5х = 13,5 (24 - х)

18х = 324

х = 18.

АВ = 18 см, АС = 6 см.

№ 540.

1) Р_СDЕ = СD + DЕ + СЕ

55 = СD + DЕ + 20

СD + DЕ = 35.

2) Пусть СD = х, DЕ = 35 - х.

3) Диагональ DF является биссектрисой угла СDЕ по свойству ромба.

4) По свойству биссектрисы треугольника

12х = 8 (35 - х)

20х = 8 · 35

х = = 14.

CD = 14 см, DЕ = 21 см.

Задача. Из одной вершины треугольника проведены биссектриса, высота и медиана, причем высота равна 12 см и делит сторону на отрезки, равные 9 см и 16 см. Найдите стороны треугольника и отрезки, на которые данную сторону делят основания биссектрисы и медианы.

Решение

1) ВD - высота, BN - медиана и ВЕ - биссектриса.

2) Треугольники СВD, АВD - прямоугольные.

АВ² = АD² + ВD² и ВС² = ВD² + DС²

АВ = = 15 (см)

ВС = = 20 (см)

3) АС = АD + DС = 9 + 16 = 25.

Пусть АЕ = х, тогда ЕC = 25 - х.

4) По свойству биссектрисы треугольника

20х = 15 · 25 - 15х

35х = 15 · 25

х =

АЕ = 10 см, ЕС = 14 (см).

5) AN = NC = = 12,5 (cм).

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 1 и 2, с. 160; №№ 534 (в), 535, 536 (б), 538, 542; повторить теорему об отношении площадей треугольников с равным углом.

Для желающих.

Докажите, что биссектриса внешнего угла треугольника АВС обладает аналогичным свойством, что и для внутреннего, то есть если для внешнего угла В провести биссектрису до продолжения с прямой, содержащей противоположную сторону, то: .

Решение

1) Продолжим сторону ВС за точку В на отрезок ВD, равный АВ.

2) DВЕ = АВЕ по I признаку равенства треугольников, поэтому DЕ = АЕ и ЕВ - биссектриса угла DЕС.

3) Тогда для треугольника DЕС имеем , поскольку АЕ = DЕ и DВ = АВ, получили .

Урок 32
ОТНОШЕНИЕПЛОЩАДЕЙ ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Цели: ввести определение подобных треугольников; доказать теорему об отношении площадей подобных треугольников и рассмотреть применение их при решении задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1.

Устно:

S_BMN = 7 см².

S_АBС - ?

Ответ: .

S_АBС = 28 см².

2.

.

S_АОС = 4 см².

S_BОK - ?

1) S_BОD = 6 см²;

2) S_BОK = 1,5 см².

II. Изучение нового материала.

1. Ввести определение подобных треугольников.

2. Решить задачи устно:

а) АВС А₁В₁С₁, А = 30°, В = 85°, С = 65°.

Чему равны А₁, В₁, С₁?

б) АВС С₁А₁В₁, АВ = 3 см, ВС = 4 см, АС = 6 см,

А₁В₁ = 12 см. Вычислите В₁С₁ и А₁С₁.

Ответ: В₁С₁ = 18 см, А₁С₁ = 9 см.

3. Доказательство теоремы об отношении площадей подобных треугольников.

III. Закрепление изученного материала.

№№ 544, 545, 548.

№ 545.

Решение

АВС А₁В₁С₁

;

Пусть = x, тогда S_АВС = х + 77.

Имеем ;

36х = 25х + 77 · 25

11х = 77 · 25

х = 7 · 25

х = 175.

Ответ: = 175 см², S_АВС = 252 см².

№ 548.

Решение

АВС А₁В₁С₁, тогда

А₁В₁ = k АВ, А₁С₁ = k АС и В₁С₁ = k ВС, то получим

.

= 40.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 3 и 4, с. 160; №№ 544, 546, 549.

Для желающих.

1. В трапеции АВСD (АD || ВС) АС - биссектриса угла А делит трапецию на два подобных треугольника АВС и АСD, АВ = 9 см, СD = 12 см. Найдите периметр трапеции.

Решение

1) 2 = 3, как внутренние накрест лежащие углы при ВС || АD и секущей АС.

2) АВС равнобедренный, АВ =
= ВС.

3) АВС АСD = k;

k = .

4) = k²; ; AD = 18.

5) Р_АВСD = 8 + 8 + 12 + 18 = 46 (см).

2. Прямая DЕ, параллельная стороне АС треугольника АВС, отсекает от него треугольник DВЕ, стороны которого в четыре раза меньше сторон данного треугольника. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь трапеции АDЕС равна 30 см².

Решение

АВС DВЕ, k = 4.

Пусть S_DВЕ = х, тогда S_АВС = х + 30,

имеем = k²; ; x + 30 = 16x; x = 2.

S_АВС = 32 (см²).

Урок 33
ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Цели: доказать первый признак подобия треугольников.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. № 543.

Решение

1) Пусть АВС А₁В₁С₁, с коэффициентом подобия k, АН и А₁Н₁ - высоты.

2) .

3) Имеем или .

2. Выполнить устно:

а)

СА₁ = А₁А₂ = А₂А₃ = А₃А₄

А₁В₁ || А₂В₂ || А₃В₃ || А₄В₄

СВ₄ = 12 см, = 32 cм².

Найдите:

а) В₁В₂, В₂В₄;

б) .

б)

ВС = 6 см.

Найти:

а) ВD и СD;

б) S_АСD : S_АВD.

в) S_АВС = 36 см².

Найти:

а) S_CMN; б) S_AKN; в) S_ВMNK.

II. Изучение нового материала.

Доказательство первого признака подобия треугольников.

III. Закрепление изученного материала.

№ 550.

а)

Решение

Данные прямоугольные треугольники подобны (по двум углам).

= 9.

б)

А₁В₁ = = 6.

; 8y = 28 ∙ 6; y = 21.

№ 551 (а).

1) FBA FCЕ (по двум углам), так как FCЕ = СВА как соответственные при
СD || АВ и секущей СF.

СFЕ - общий.

2) , СF = x,

; 12x = 4x + 28; х = 3,5.

СF = 3,5 см.

2) СF = y, ; ;

12у = 4у + 40; у = 5.

EF = 5 см.

№ 553 (а), № 561 - устно.

IV. Итоги урока.

1. Для того чтобы записать пропорциональность сторон подобных треугольников, нужно:

1) выяснить, при каких вершинах углы равны;

2) определить, какие стороны являются сходственными (лежат против равных углов);

3) записать пропорцию, где в числителях - стороны одного треугольника, в знаменателях - сходственные им стороны другого.

2. В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны сходственным высотам.

Домашнее задание: вопросы 1-5, с. 160; №№ 551 (б), 552 (а), 553,550 .

Для желающих.

На чертеже изображен шлагбаум, закрывающий проезд через железнодорожное полотно. На сколько опустится короткий конец шлагбаума, если больший поднимается на 2 м?

Решение

AВО DСО.

; ;

6AB = 2 ∙ 0,9; AB = 0,3.

Урок 34
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Цели: закрепить знания учащихся в ходе решения задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Устно: найти пары подобных треугольников:

а)

По этому же чертежу можно проверить решение домашней задачи № 552 (а).

АВСD - трапеция.

б)

Ответ:

1)ВЕFCМF, так как
ЕFВ=СFМ и ЕВF== FCМ.

2) FCМ НCМ, так как
FМС=DМН и FСМ== МDН.

3) ВЕF DМН, так как
ЕFВ=МНD и ВЕF== DМН.

АВСD - параллелограмм.

в)

Ответ:

1) АВD АCВ.

2) АВС ВDC.

3) АВD ВDС.

г)

Ответ:

АВС DСА.

II. Решение задач.

1. № 556 (решена в учебном пособии).

2. № 557 (а, б).

Решение

а)

1 = 2 как соответственные при ВС || DЕ и секущей АD.

А - общий для треугольников АВС и АDЕ.

АВС АDЕ (по двум углам)

; AB = AD = BD.

; 22x = 14x + 140;

x = 17,5. АС = 17,5 см.

б) ; BD = x; DE = y,

; x = 5; BD = 5 см.

; ; y = 6; BC = 6 см.

III. Самостоятельная работа обучающего характера.

Вариант I

BC = 12 cм, CМ = 6 cм, СN = 4 cм.

Найдите АС.

Вариант II

BC = 12 cм, АЕ = 10 cм, EF = 6 cм.

Найдите АВ.

Вариант III

3 = 1 + 2, CD = 4 cм,
ВС = 9 cм.

Найдите АС.

Решение полезно проверить на этом же уроке с помощью закрытой доски.

Вариант I

АСВ NCM (С - общий, N = A).

; ; AC = 8 (см).

Вариант II

АСВ AFE (A - общий, F = C).

; ; AB = 20 (см).

Вариант III

АСDВСA(С-общий,3=2+В,3=2+ 1 В = 1).

; AC² = CD ∙ BC; AC² = 36, AC = 6.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 1-5, с. 160; №№ 557 (в), 558,556,552а,б.

для желающих.

АМKТ - параллелограмм,

ТK : МK = 6 : 5, АВ = 20; АС = 25.

Найти: АТ.

Решение

1 = 2 как соответственные углы при МK || АС и секущей ВС.

4 = 3 как соответственные углы при АВ || ТK и секущей ВС.

МВK ТKС (по двум углам).

Пусть ТK = 6х, МK = 5х.

; ; 30x² = 500 - 250x + 30x²; x = 2.АТ = 10.

Урок 35

ВТОРОЙ И ТРЕТИЙ ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Цели: доказать второй признак подобия треугольников, рассмотреть решение задач с применением изученных признаков подобия.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания (и анализ самостоятельной работы, если не успели на предыдущем уроке).

Выполнить устно:

АВСD - параллелограмм,

DМ = 2, ВЕ : ЕС = 1 : 4.

Найти: ВD.

Решение

ВС = АВ, тогда ВЕ : АD = 1 : 5.

ВЕМ DМА по двум углам.

; ; BM = 0,4.

II. Объяснение нового материала.

Доказательство второго признака подобия треугольников.

III. Закрепление изученного материала.

Решение задач.

1. Докажите, что два прямоугольных треугольника подобны, если катеты одного из них пропорциональны катетам другого.

2. ОА = 6 см, АС = 15 см, ОВ = 9 см, ВD = 5 см, АВ = 12 см. Найдите СD.

Решение

1) ОD = ОВ + ВD = 9 + 5 = 14 (см).

ОС = ОА + АС = 6 + 15 = 21 (см).

2) Угол О общий для треугольников ВОА и СОD.

ВОА СОD по II признаку подобия треугольников.

3) ; ; DC = 28 (см).

ОА = 15 см; ОD = 5 см;

СО : ОВ = 1 : 3, АВ + СD = 24 см.

Найдите: АВ и СD.

Решение

1) В треугольниках DОС и АОВ угол
О - общий и и .

DОС АОВ по II признаку подобия треугольников.

2) Пусть DС = х, тогда АВ = 24 - х.

3) ; ; 3x = 24 - x, x = 6.

4) DС = 4 см, АВ = 20 см.

3. В четырехугольниках АВСD и А₁В₁С₁D₁ диагонали пересекаются в точках О и О₁, причем АО = ОС и А₁О₁ = О₁С₁, АОD = А₁О₁D₁. АDО = А₁D₁О₁ и АВО = А₁В₁О₁.

Докажите, что АВС А₁В₁С₁.

Решение

1) Так как АОD = А₁О₁D₁ и АDО = А₁D₁О₁; то АОD
А₁О₁D₁, но по условию ао = ос и а₁о₁ = о₁с₁, то .

2) Так как АВО = А₁В₁О₁ и АDО = А₁D₁О₁; то АВD
А₁В₁D₁ и .

3) Имеем и ВАС =
= В₁А₁С₁, отсюда АВС А₁В₁С₁.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: вопрос 6, с. 160; № 559, 560,561

№ 559.

АВСD - параллелограмм.

.

Доказать, что ВEF = NMD.

Для желающих.

В треугольнике АВС точка D лежит на стороне АС, DС = а, АС = b, ВС = .

Докажите, что ВАС =DВС.

Решение

1) Рассмотрим ВDС и АВС.

;

;

имеем и угол С общий, то есть по II признаку подобия треугольников ВDС АВС.

2) ВАС =DВС как соответственные в подобных треугольниках

Урок 36

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Цели: доказать третий признак подобия треугольников, рассмотреть решение задач с применением изученных признаков подобия.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Выполнить устно:

1. Подобны ли треугольники АВС и МРK?

2. Подобны ли треугольники АВС и FEG?

3. Найти подобные треугольники.

Ответ:  АВС ВDС.

4. Можно ли утверждать:

1) что все равнобедренные треугольники подобны?

2) все прямоугольные равнобедренные треугольники подобны?

3) все равносторонние треугольники подобны?

II. Изучение нового материала.

Доказательство третьего признака подобия треугольников.

III. Закрепление изученного материала.

Выполнить задание (устно).

1. Найти подобные треугольники:

Решение

Рассмотрим АВС и АСD.

.

.

.

АВС АСD.

2. В треугольнике АВС АВ = 4, Вс = 6, АС = 9. Точка Е лежит на стороне ВС. Внутри треугольника взята точка М так, что МВ = 1, МЕ = 2, СЕ = 2. Докажите, что МЕ || АС.

Решение

1) Рассмотрим АВС и ВМЕ.

; .

.

По третьему признаку подобия треугольниковАВС ВМЕ.

2) ВЕМ =ВСА как углы подобных треугольников.

3) МЕ || АС, так как соответственные углы ВЕМ =ВСА при секущей ВС.

3. В треугольнике АВС АВ = 4, ВС = 6, АС = 7. Точка Е лежит на стороне АВ. Внутри треугольника взята точка М так, что МВ = 5, МЕ = 4, АЕ = 1. Прямая ВМ пересекает АС в точке Р. Докажите, что АРВ равнобедренный.

Решение

1) Рассмотрим ВАС и ЕВМ.

.

.

.

2) ВАС ЕВМ по третьему признаку подобия треугольников.

3) ЕВМ = ВАС как соответственные углы подобных треугольников.

4) АВР равнобедренный.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 1-6, с. 160; №№ 562,563,604,605(1-3).

Для желающих.

Сторона СD параллелограмма АВСD продолжена за точку D на отрезок DF, равный стороне СD, и точка F соединена отрезком с серединой Е стороны АВ. Доказать, что отрезок FЕ отсекает от диагонали АС пятую часть, а от стороны АD - третью часть.

Решение

1) AE = AB, AE = FC.

2) АЕN CFN.

, то есть AN - пятая часть диагонали АС.

3) АЕK DFK.

, то есть АK - третья часть стороны АD.