Материал на тему 'Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения'

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ОКТЯБРЬСКАЯ ШКОЛА-ГИМНАЗИЯ» КРАСНОГВАРДЕЙСКОГО РАЙОНА РЕСПУБЛИКИ КРЫМ

ТЕМА:

«Решение линейных, квадратных уравнений с параметром.

Решение симметрических уравнений»

Материал для спецкурса

по математике 10-11 класса

подготовила учитель математики

Пашко Наталья Прокофьевна

пгт. Октябрьское

2015год

I.Линейные уравнения. Схема решения линейного уравнения. Решение линейного уравнения с параметром

Линейным называется уравнение вида где х - неизвестная переменная, - коэффициенты.

1.Если a≠0, то уравнение имеет единственное решение

2.Если a = b = 0, то уравнение примет вид которое имеет бесконечно много решений.

3.Если a = 0, b ≠ 0, то уравнение примет вид не имеет решений.

Пример 1: Решить уравнение

Решение: В данном уравнении Найдём те значения k, при которых

1.Если то

2.Если k = 1, то уравнение примет вид т.е. 0∙x=0, х- любое действительное число.

3.Если k = -3, то уравнение примет вид

уравнение решений не имеет.

Ответ: при

при любое действительное число;

при уравнение решений не имеет.

II. Решение квадратных уравнений. Квадратных уравнений с параметром.

Квадратным называется уравнение вида

Замечание: Квадратное уравнение всегда имеет решение на множестве комплексных чисел.

Пример 1: Решить уравнение

Ответ: D=1,

ЕСЛИ ВТОРОЙ КОЭФФИЦИЕНТ ЧЕТНОЕ ЧИСЛО, то используется формула:

Пример 2: Решить уравнение

Ответ:

Пример 3: Решить уравнение c параметром

Решение:

Если m² = 0, то уравнение станет линейным x+1 = 0, которое имеет решение

Если то

Исследуем знак дискриминанта:

Если то т. е. уравнение действительных корней не имеет.

Если то , то уравнение имеет действительные корни

Ответ: при

При действительных корней нет;

При

Пример 4: Решить уравнение

Решение:

Если т.е. то если

т.е. то действительных корней нет.

Ответ: при

при действительных корней нет.

Пример 5: Найти все значения параметра a, для которых квадратное уравнение

а) имеет два различных корня;

б) не имеет корней;

в) имеет два равных корня.

Решение: Данное уравнение по условию является квадратным, поэтому Рассмотрим дискриминант данного уравнения

При данное уравнение имеет два различных корня, так как D>0

При уравнение корней не имеет, так как Данное уравнение не может иметь двух равных корней, так как D=0 только при a=-1, а это противоречит условию задачи.

Ответ: а) при

б) при

в) невозможно.

Пример 6: Решить уравнение

Решение: При получаем линейное уравнение

которое имеет единственное решение

При уравнение является квадратным и его дискриминант D=4 - 4a

При поэтому данное уравнение корней не имеет.

При , поэтому данное уравнение имеет два совпадающих корня:

При следовательно, данное уравнение имеет два различных корня:

Ответ: при

при

при

при уравнение не имеет решений.

Пример 7: Найти сумму квадратов и сумму кубов корней квадратного уравнения

Решение: Найдём дискриминант данного уравнения

и поэтому уравнение имеет два различных корня.

По теореме Виета имеем Представим сумму квадратов и сумму кубов соответственно в виде

Отсюда находим

Ответ:

Пример 8: Составить квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней которого равен

Решение: Пусть рациональные числа, - искомое уравнение.

Поскольку число является его корнем,

то т.е.

По условию числа p, q рациональные; поэтому последнее равенство возможно только в том случае, когда одновременно справедливы равенства

Отсюда получаем

Итак, примером искомого уравнения служит квадратное уравнение

Ответ:

Пример 9: Решить уравнение

Решение:

Ответ:

Пример10: Решить уравнение

Решение:

Ответ:

Пример 11: Решить уравнение

Решение:

Ответ:

Пример 12: Решить уравнение

Решение:

Ответ:

Пример 13: Решить уравнение

Решение: Пусть тогда

Имеем

Ответ:

Пример 14: Решить уравнение

Решение: Пусть тогда

Имеем

Ответ:

III. Симметрические уравнения.

Уравнения вида называются симметрическими уравнениями третьей степени.

Поскольку то уравнение равносильно совокупности

Уравнения вида называются симметрическими уравнениями четвёртой степени.

Разделив обе части на не является его корнем), получим эквивалентное ему уравнение

Аналогично для второго уравнения получаем эквивалентное ему уравнение

Для решения полученных уравнений положим соответственно

Поскольку

то получаем Таким образом, если корни

уравнения первого, а корни второго уравнения, то исходные уравнения эквивалентны соответственно совокупностям уравнений

Пример 1: Решить уравнение

Решение:

Поскольку x = 0 не является решением данного уравнения, то, разделив обе его части на x², получим ,

откуда

Положив получим уравнение

Отсюда находим Следовательно, исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений

Второе уравнение этой совокупности решений не имеет. Корнями первого уравнения, а значит и исходного являются числа

Ответ:

Пример 2: Решить уравнение

Решение:

Отсюда Таким образом, исходное уравнение

эквивалентно совокупности уравнений

Второе уравнение совокупности решений не имеет. Корнями первого, а значит и исходного являются числа

Ответ: 2 и -3.

Пример 3: Решить уравнение

Решение: Т.к. 0 не является решением данного уравнения,

Разделим обе части на x², получим уравнение

Решением этого уравнения являются числа

Таким образом

Решив эту совокупность, получим корни

Ответ:

Уравнения вида

Можно решать, используя замену переменных (симметризацию уравнения)

Пример 4: Решить уравнение

Решение: Перепишем данное уравнение в виде

Так как то введём новую переменную

Подставляя в исходное уравнение, получим

Соответствующие корни исходного уравнения равны

Ответ:

Уравнение вида

сводится к решению совокупности двух квадратных уравнений при помощи замены

Пример 5: Решить уравнение

Решение: Заметим, что Перемножив в левой части данного уравнения первую и четвёртую скобки, а также вторую и третью, получим

Поскольку 0 не является корнем данного уравнения, поделим обе части этого уравнения на Получим уравнение

равносильное исходному.

Сделаем замену переменной

Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

т. е.

Решив эту совокупность, получаем

Ответ:

Уравнение вида

можно решить также, используя метод симметризации, т. е. делая замену

Пример 6: Решить уравнение

Решение: Данное уравнение после замены переменной примет вид

Решая это биквадратное уравнение, получим его корни

Ответ: 8; 6.