Урок на тему 'Уравнения с модулями' 9 класс

Урок на тему

«Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля»

МБОУ «Татарская гимназия» Заинского муниципального района Республики Татарстан

Мухамова Гайнелхаят Гумеровна

Уравнением называется равенство, содержащую переменную. Например, уравнением являются равенства:

2у + 3 = у 0,06 = (n - 0,01) (n - 0,2)

Значения переменной, при подстановке которого в уравнении получается верное числовое равенство, называется корнем уравнения. Например, число 2 является корнем уравнения х3 - х = 6, так как 23 - 2 = 6. Напротив, число 3 не является корнем этого уравнения, так как 33 - 3 ≠ 6.

Чтобы решить уравнение, содержащую переменную под знаком модуля, надо освободиться от знака модуля, используется его определение:

│х│={█( х,если х≥0 @ @-х,если х<0 )┤

На практике это делается так:

Находят критические точки, т.е. значение переменной при которых выражения, стоящие под знаком модуля обращаются в нуль.

Разбивают область допустимых значений переменной на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак.

На каждом из найденных промежутков решают уравнения без знака модуля.

Совокупность решений указанных промежутков и составляет все решения, рассматриваемого уравнения.

Пример 1.Решим уравнение │х - 5│= 3.

Так как модуль х - 5 равен 3, то по определению модуля числа значение выражения под знаком модуля равно либо 3, либо - 3.

Имеем совокупность двух уравнений:

х - 5 = 3 или х - 5 = - 3

Решив их, найдем, что х1 = 8, х2 = 2.

Вообще уравнение │f (х)│ = b, где b - положительное число, равносильно совокупности двух уравнений:

f (x) = b или f (x) = -b.

Рассмотрим решение уравнений вида │f (x)│= g (x).

Если Х0 - корень этого уравнения, то │f (x0)│= g (x0). - Верное равенство, при этом g (x0)≥0, так как модуль числа всегда неотрицательное число. Отсюда следует, что f(x0) = g(x0) или f(x0) = - g(x0) Верно и обратное: если g (x0)≥0 и f(x0) = g(x0) или f(x0) = - g(x0), то │f(x0)│ = g(x0).

Значит, уравнение │f(x)│ = g(x) равносильно совокупности двух систем:

(█(█({█(f(x)= g(x),@g (x)≥0;)┤@{█(f(x)=-g(x)@g (x)≥0)┤ ))┤

Пример 2. Решить уравнение │х +3 │ = 2х - 1.

Решение. Критическая точка находится после решения уравнения

х + 3 = 0, х = - 3.

1)При х < -3 получаем уравнение - х - 3 = 2х - 1, откуда х = -2/3. Но найденное значение не входит в рассматриваемый промежуток.

2) При х ≥ 3 получаем уравнение х + 3 = 2х - 1, откуда х = 4.

Найденное значение входит в рассматриваемый промежуток.

Ответ: 4.

Пример 3. Решим уравнение │х + 2│+│х + 3│= х

Решение. Найдем критические точки:

х + 2 = 0 или х + 3 = 0

х = -2 или х = -3

Решаем задачу на каждом промежутке:

х < -3, -х - 2 - х - 3 = х, -3х = 5; х = - 5/3 (не входит в рассматриваемый промежуток).

- 3 ≤ х < - 2, - х - 2 + х + 3 = х; х = 1 (не входит в рассматриваемый промежуток).

Х ≥ - 2, х + 2 + х + 3 = х; х = - 5 (не входит в рассматриваемый промежуток).

Ответ: нет корней.

Пример 4. Решим уравнение │х - 1│+│х - 2│= 1.

Освободим левую часть уравнения от знака модуля. С это целью выделим промежутки, в которых х - 1 и х - 2 оба отрицательны, имеют разные знаки, оба положительны. Для этого нужно найти значения х, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль, - это числа 1 и 2. Они разбивают множество действительных чисел на три промежутка: (-∞; 1), (1;2) и (2; +∞).

Имеем:

│х - 1 │+│х - 2│ = {█(- 2х+3,если х<1,@1,если 1≤х≤2,@2х-3,если х>2.)┤

Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности трех систем

{█(- 2х+3=1,@х<1,)┤ {█(1=1,@1 ≤х ≤2,)┤ {█(2х-3=1,@х>2.)┤

Первая и третья системы не имеют решений, а решение второй системы образуют промежуток [1;2].

Значит, данное уравнение имеет бесконечное множество корней.

Ответ: [1;2].

Причину несколько необычного ответа при решении этого уравнения можно увидеть, если обратиться к графику функции

У =│х - 1│+│х - 2│

Пример 5. Решить уравнение

│х + 5│-│х-3│= 8.

Решение. Найдем критические точки:

Х + 5 = 0 или х - 3 = 0

Х = - 5 или х = 3.

Решаем задачу на каждом промежутке:

1) х < -5, -х - 5 -(- х + 3) = 8, -х - 5 + х - 3 = 8; -8 = 8 ложно. На рассматриваемом промежутке решений нет.

2) -5 ≤ х < 3, х + 5 - (-х + 3) = 8, х + 5 + х - 3 + 8, 2х =6; х = 3 (не входит в рассматриваемый промежуток).

3) х ≥ 3, х + 5 - (х - 3) = 8, х + 5 - х + 3 = 8; 8 = 8 верно. Уравнение выполняется при всех х из рассматриваемого промежутка.

Ответ: (3; +∞)

Пример 6. Решим уравнение |х2 + 3х - 10| = 3х - 1.

Это уравнение равносильно совокупности двух систем: [█({█(х²+3х-10=3х-1,@3х-1≥0;)┤@{█(х^2+3х-10=1-3х,@3х-1 ≥0,)┤ )┤ или [█({█(х^2-9=0,@х≥1/3;)┤@{█(х^2+6-11=0,@х≥1/3.)┤ )┤

Из корней х1 = -3 и х2 = 3 уравнения х2 - 9 = 0 удовлетворяет первой системе лишь х2 = 3. Из корней х3 = -3 - 2√5 и х4 = -3 + 2√5 уравнения х2 + 6 - 11 = 0 второй системе удовлетворяет лишь х4 = -3 + 2√5, так как

-3 + 2√5 ≈ - 3 + 2 ∙ 2,2 = 1,4; 1.4 > 1/3, а х3 < 1/3.

Ответ:3; -3 + 2√5

Пример 7. Реши уравнение |х2 - 5х +7| = |2х - 5|.

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

[█(х^2-5х+7=2х-5@х²-5х+7=5-2х)┤

Решим первое уравнение:

х² - 7х +12 = 0, х1 = 3, х2 = 4.

Решим второе уравнение:

х2 - 3х +2 = 0, х3 = 1, х4 =4.

Ответ: 1; 2; 3; 4.

Задачи для самостоятельного решения

а)|х²-4| = 5

б)|х²-16| = 0

в)|х²+3х| = 2

г)|х+4|+|х-3| = 7

д)|х+4|-|х-3| = 1

е)|3х²-5х-2|=|х²+6х-16|

ж)(|х|-2х²)/(х²-4|х|-2) = 1

з)(х²-5|х|-3)/(3|х|-4) = 2