7


  • Учителю
  • Урок-лекция по математике для 9 класса «Арифметическая прогрессия»

Урок-лекция по математике для 9 класса «Арифметическая прогрессия»

Автор публикации:
Дата публикации:
Краткое описание: Материал содержит конспект лекции «Арифметическая прогрессия» и презентацию к лекции. Урок посвящен изложению теоретического материала с выводом основных формул арифметической прогрессии. Лекция содержит план, необходимое оборудование к уроку, теоретический материа
предварительный просмотр материала

МКОУ Ударниковская основная общеобразовательная школа

Бутурлиновского муниципального района







Урок-лекция



Тема: Арифметическая прогрессия



Учитель математики:

Диденко В.Е.





2013г


Цель: Сформировать у обучающихся понятие арифметической прогрессии и научить применять формулы к решению практических задач.

Задачи: 1.Ввести понятие арифметической прогрессии

2.Вывести формулы n-го члена арифметической прогрессии, суммы n-первых членов арифметической прогрессии (изложение всего теоретического материала).

3. Активизация познавательной деятельности обучающихся;

4. Привитие навыков самостоятельности, ответственности, умения слушать и обобщать, вести диалог.

Оборудование: экран, проектор, компьютер, маркеры разного цвета, презентация « Арифметическая прогрессия», учебник «Алгебра 9 кл.»,

План лекции:

1.Определение арифметической прогрессии.

2.Формула n -го члена арифметической прогрессии.

3.Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

4. Арифметическая прогрессия в древности.


1.Определение арифметической прогрессии.

Рассмотрим последовательности чисел:

4; 7; 10; 13; 16; . . .

8; 3; -2; -7; -12; . . .

Каков закон составления этих последовательностей?

Начиная со второго члена каждый последующий равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом

аn+1= аn + d

Самостоятельно

Составь свою последовательность, используя тот же закон.



Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression), что означает «движение вперед» и был введен римским автором Боэцием (VI в.).


Из определения арифметической прогрессии следует, что аn+1 - an = d

Число d называется разностью арифметической прогрессии.

Чтобы задать арифметическую прогрессию достаточно указать ее первый член и разность.

Пример 1. а1 =1, d =1; (аn): 1; 2; 3; 4; . . .

Пример 2. а1 = -2, d = -2; (аn): -2; -4; -6; -8; . . .

Пример 3. а1 =1, d =2; (аn): 1; 3; 5; 7; 9; . . .

Пример 4. а1 =7, d =0; (аn): 7; 7; 7; 7; . . .


  • Если в арифметической прогрессии разность положительна (d>0), то прогрессия является возрастающей.

  • Если в арифметической прогрессии разность отрицательна (d<0), то прогрессия является убывающей.

  • В случае, если разность равна нулю (d=0) и все члены прогрессии равны одному и тому же числу, последовательность называется стационарной.

Самостоятельно

Укажите первый член, разность и задайте арифметическую прогрессию.



2.Формула n -го члена арифметической прогрессии.

Зная первый член и разность можно найти любой член арифметической прогрессии, но способ неудобен.

а2 = а1 + d

а3 = а2 + d = (а1 + d) + d = а1 + 2d

а4 = а3 + d= (а1 + 2d) +d = а1 + 3d

а5 = а4 + d= (а1 + 3d)+ d = а1 + 4d и т.д.


аn = а1 + (n-1)d формула n-го члена арифметической прогрессии.

Применим выведенную формулу для членов прогрессии

а21, а27, а43, а34, а200

a21=a1+20d; a27=a1+26d

a43=a1+42d; a34=a1+33d

a200=a1+199d

Самостоятельно

Используя формулу, распишите следующие члены прогрессии: а29, а46, а96, а203, аm , а2m , аm+1 , а2m-1.


Решение задач.

Задача 1

Дано: (с): - АП, с1 =0,62, d =0,24

Найти: с50

Решение:

с50 = с1 + 49d , с50 = 0,62 + 49 0,24 = 12,38

Ответ: с50 = 12,38

Задача 2

Дано: (аn): 9; 11; 13; . . .

Найти: а36

Решение:

а36 = а1 + 35d,

а1 =9, d =a2 - a1 = 11- 9 = 2 а36 = 9 + 35 2 = 79

Ответ: а36 = 79.


Дополнительные сведения о членах арифметической прогрессии: пусть аn, аn+1, аn+2, аn+3 - члены АП, тогда


  1. аn + аn+3 = аn+1 + аn+2, (В четырех последовательных членах арифметической прогрессии - сумма крайних членов равна сумме средних членов.)

  2. аn+1 = (аn + аn+2)/2 (Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего члена)

Самостоятельно

Используя данные задачи 1 найдите с101 , сn , сn+1.


3.Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

Для нахождения формулы суммы решим следующую задачу:

найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.

Эта задача связана с детскими годами замечательного немецкого математика Карла Гаусса (1777-1855 гг.). Когда ему было 9 лет, учитель задал эту задачу всему классу, чтобы дети не мешали ему проверять письменные работы учеников другого класса.

Через 1 минуту Карл произнес: «Я уже решил…» - и сдал работу. К концу урока сумму вычислили и остальные.


Найти сумму всех натуральных

чисел от 1 до 100.

Обозначим сумму этих чисел S.

S = 1 + 2 + 3 + 4 + …+ 98 + 99+ 100

S = 100 +99 +98 + … + 4 + 3 + 2 + 1

101 101 . . . 101 101

Сложим левые и правые части

2S = 101 + 101 +101 + . . . + 101= 101100 = 10100

100 раз

2S = 10100 S = 5050

Cумма всех натуральных чисел от 1 до 100 равна 5050.



Найдем сумму первых n членов арифметической прогрессии.

Sn =a1+a2+a3+ . . .+ an-2+an-1+an

Sn =an+an-1+an-2+. . .+ a3+a2+a1


a1+an a2+an-1 . . . an-1+a2 an+a1

Сложим левые и правые части

Рассмотрим суммы

a1+an

a2+an-1 =(a1 +d) +(an - d) =a1 +an

a3+an-2 =(a2 +d) +(an-1 -d)=a2 +an-1= a1 +an

. . .

an-1+a2= (an-2+d) +(a3 -d) = an-2+a3 = a1 +an

an+a1

Число пар по a1 + an равно n

2Sn = (a1 + an) n Sn = (1)

первая сумма первых n членов арифметической прогрессии .

Так как аn = а1 + (n-1)d получим вторую формулу:

Sn = (a1 + an) /2 = (а11 + (n-1)d)n/2 =

= n

Sn = n (2)




Решение задач

Задача 3

Дано: (аn): 4; 8; 12 . . . - АП

Найти: S30

Решение:

S30 = 30

а1 = 4, d = a2 - a1 = 8 - 4 =4 S30 = = 1860


Ответ: S30 = 1860

Задача 4

Штангист поднимает штангу весом 45кг. С каждым подходом вес штанги увеличивается на 5 кг. Сколько кг поднимет штангист за 7 подходов?

Дано: арифметическая прогрессия,

а1=45,d=5 ,n=7

Найти: S7

Решение



Ответ: за 7 подходов штангист поднимет 420кг

Самостоятельно:

1.Родители ко Дню рождения своего сына Андрея решили купить и обновить

ему мобильный телефон. Для этого они в первый месяц отложили 650 рублей,

в каждый последующий месяц они откладывали на 50 рублей больше, чем

предыдущий. Какая сумма будет у родителей Андрея через 10 месяцев?

2.Найдите сумму пятнадцати первых членов арифметической прогрессии:

4; -1; -6;... Решите задачу несколькими способами.


4.Арифметическая прогрессия в древности.


Первые представления о арифметической прогрессии были еще у древних народов.

Первые из дошедших до нас задач на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, например распределение продуктов, деление наследства и т.д.

В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах (второй век до н.в.) встречаются задачи на прогрессии и указания как их решать.

Вот вавилонская задача, в которой используется арифметическая прогрессия.

10 братьев делят 1 мины серебра. Доли братьев составляют арифметическую прогрессию.

Задача из египетского папируса АХМЕСА: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом равна 1/8 меры».

Задача из папируса Ринда

Сто мер хлеба разделили между 5 людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых получили в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым. Ариабхатта (5 в.) применял формулы общего числа, суммы арифметической прогрессии.

Формула вычисления суммы n-первых членов арифметической прогрессии. Впервые, эта формула была доказана древнегреческим ученым Диофантом (III в. н. э.). Правило отыскания суммы n-первых членов произвольной арифметической прогрессии встречается в «книге Абаки» Л.Фибоначчи (1202г.).


Домашнее задание: П.25(до пр.2), п.26(до пр.2),

работа с материалами лекции,

Задачи на формулы (смотри лекцию).




 
 
X

Чтобы скачать данный файл, порекомендуйте его своим друзьям в любой соц. сети.

После этого кнопка ЗАГРУЗКИ станет активной!

Кнопки рекомендации:

загрузить материал