Урок-лекция по математике для 9 класса «Арифметическая прогрессия»

МКОУ Ударниковская основная общеобразовательная школа

Бутурлиновского муниципального района

Урок-лекция

Тема: Арифметическая прогрессия

Учитель математики:

Диденко В.Е.

2013г

Цель: Сформировать у обучающихся понятие арифметической прогрессии и научить применять формулы к решению практических задач.

Задачи: 1.Ввести понятие арифметической прогрессии

2.Вывести формулы n-го члена арифметической прогрессии, суммы n-первых членов арифметической прогрессии (изложение всего теоретического материала).

3. Активизация познавательной деятельности обучающихся;

4. Привитие навыков самостоятельности, ответственности, умения слушать и обобщать, вести диалог.

Оборудование: экран, проектор, компьютер, маркеры разного цвета, презентация « Арифметическая прогрессия», учебник «Алгебра 9 кл.»,

План лекции:

1.Определение арифметической прогрессии.

2.Формула n -го члена арифметической прогрессии.

3.Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

4. Арифметическая прогрессия в древности.

1.Определение арифметической прогрессии.

Рассмотрим последовательности чисел:

4; 7; 10; 13; 16; . . .

8; 3; -2; -7; -12; . . .

Каков закон составления этих последовательностей?

Начиная со второго члена каждый последующий равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом

а_n+1= а_n + d

Самостоятельно

Составь свою последовательность, используя тот же закон.

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression), что означает «движение вперед» и был введен римским автором Боэцием (VI в.).

Из определения арифметической прогрессии следует, что а_n+1 - a_n = d

Число d называется разностью арифметической прогрессии.

Чтобы задать арифметическую прогрессию достаточно указать ее первый член и разность.

Пример 1. а₁ =1, d =1; (а_n): 1; 2; 3; 4; . . .

Пример 2. а₁ = -2, d = -2; (а_n): -2; -4; -6; -8; . . .

Пример 3. а₁ =1, d =2; (а_n): 1; 3; 5; 7; 9; . . .

Пример 4. а₁ =7, d =0; (а_n): 7; 7; 7; 7; . . .

• Если в арифметической прогрессии разность положительна (d>0), то прогрессия является возрастающей.

• Если в арифметической прогрессии разность отрицательна (d<0), то прогрессия является убывающей.

• В случае, если разность равна нулю (d=0) и все члены прогрессии равны одному и тому же числу, последовательность называется стационарной.

Самостоятельно

Укажите первый член, разность и задайте арифметическую прогрессию.

2.Формула n -го члена арифметической прогрессии.

Зная первый член и разность можно найти любой член арифметической прогрессии, но способ неудобен.

а₂ = а₁ + d

а₃ = а₂ + d = (а₁ + d) + d = а₁ + 2d

а₄ = а₃ + d= (а₁ + 2d) +d = а₁ + 3d

а₅ = а₄ + d= (а₁ + 3d)+ d = а₁ + 4d и т.д.

а_n = а₁ + (n-1)d формула n-го члена арифметической прогрессии.

Применим выведенную формулу для членов прогрессии

а₂₁, а₂₇, а₄₃, а₃₄, а₂₀₀

a₂₁=a₁+20d; a₂₇=a₁+26d

a₄₃=a₁+42d; a₃₄=a₁+33d

a₂₀₀=a₁+199d

Самостоятельно

Используя формулу, распишите следующие члены прогрессии: а_29, а_46, а_96, а_203, а_m , а_2m , а_m+1 , а_2m-1.

Решение задач.

Задача 1

Дано: (с): - АП, с₁ =0,62, d =0,24

Найти: с₅₀

Решение:

с₅₀ = с₁ + 49d , с₅₀ = 0,62 + 49 0,24 = 12,38

Ответ: с₅₀ = 12,38

Задача 2

Дано: (а_n): 9; 11; 13; . . .

Найти: а₃₆

Решение:

а₃₆ = а₁ + 35d,

а₁ =9, d =a₂ - a₁ = 11- 9 = 2 а₃₆ = 9 + 35 2 = 79

Ответ: а₃₆ = 79.

Дополнительные сведения о членах арифметической прогрессии: пусть а_n, а_n+1, а_n+2, а_n+3 - члены АП, тогда

1. а_n + а_n+3 = а_n+1 + а_n+2, (В четырех последовательных членах арифметической прогрессии - сумма крайних членов равна сумме средних членов.)

2. а_n+1 = (а_n + а_n+2)/2 (Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего члена)

Самостоятельно

Используя данные задачи 1 найдите с₁₀₁ , с_n , с_n+1.

3.Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

Для нахождения формулы суммы решим следующую задачу:

найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.

Эта задача связана с детскими годами замечательного немецкого математика Карла Гаусса (1777-1855 гг.). Когда ему было 9 лет, учитель задал эту задачу всему классу, чтобы дети не мешали ему проверять письменные работы учеников другого класса.

Через 1 минуту Карл произнес: «Я уже решил…» - и сдал работу. К концу урока сумму вычислили и остальные.

Найти сумму всех натуральных

чисел от 1 до 100.

Обозначим сумму этих чисел S.

S = 1 + 2 + 3 + 4 + …+ 98 + 99+ 100

S = 100 +99 +98 + … + 4 + 3 + 2 + 1

101 101 . . . 101 101

Сложим левые и правые части

2S = 101 + 101 +101 + . . . + 101= 101100 = 10100

100 раз

2S = 10100 S = 5050

Cумма всех натуральных чисел от 1 до 100 равна 5050.

Найдем сумму первых n членов арифметической прогрессии.

S_n =a₁+a₂+a₃+ . . .+ a_n-2+a_n-1+a_n

S_n =a_n+a_n-1+a_n-2+. . .+ a₃+a₂+a₁

a₁+a_n a₂+a_n-1 . . . a_n-1+a₂ a_n+a₁

Сложим левые и правые части

Рассмотрим суммы

a₁+a_n

a₂+a_n-1 =(a₁ +d) +(a_n - d) =a₁ +a_n

a₃+a_n-2 =(a₂ +d) +(a_n-1 -d)=a₂ +a_n-1= a₁ +a_n

. . .

a_n-1+a₂= (a_n-2+d) +(a₃ -d) = a_n-2+a_{3 =} a₁ +a_n

a_n+a₁

Число пар по a₁ + a_n равно n

2S_n = (a₁ + a_n) n S_n = (1)

первая сумма первых n членов арифметической прогрессии .

Так как а_n = а₁ + (n-1)d получим вторую формулу:

S_n = (a₁ + a_n) /2 = (а₁ +а₁ + (n-1)d)n/2 =

= n

S_n = n (2)

Решение задач

Задача 3

Дано: (а_n): 4; 8; 12 . . . - АП

Найти: S₃₀

Решение:

S₃₀ = 30

а₁ = 4, d = a₂ - a₁ = 8 - 4 =4 S₃₀ = = 1860

Ответ: S₃₀ = 1860

Задача 4

Штангист поднимает штангу весом 45кг. С каждым подходом вес штанги увеличивается на 5 кг. Сколько кг поднимет штангист за 7 подходов?

Дано: арифметическая прогрессия,

а₁=45,d=5 ,n=7

Найти: S₇

Решение

Ответ: за 7 подходов штангист поднимет 420кг

Самостоятельно:

1.Родители ко Дню рождения своего сына Андрея решили купить и обновить

ему мобильный телефон. Для этого они в первый месяц отложили 650 рублей,

в каждый последующий месяц они откладывали на 50 рублей больше, чем

предыдущий. Какая сумма будет у родителей Андрея через 10 месяцев?

2.Найдите сумму пятнадцати первых членов арифметической прогрессии:

4; -1; -6;... Решите задачу несколькими способами.

4.Арифметическая прогрессия в древности.

Первые представления о арифметической прогрессии были еще у древних народов.

Первые из дошедших до нас задач на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, например распределение продуктов, деление наследства и т.д.

В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах (второй век до н.в.) встречаются задачи на прогрессии и указания как их решать.

Вот вавилонская задача, в которой используется арифметическая прогрессия.

10 братьев делят 1 мины серебра. Доли братьев составляют арифметическую прогрессию.

Задача из египетского папируса АХМЕСА: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом равна 1/8 меры».

Задача из папируса Ринда

Сто мер хлеба разделили между 5 людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых получили в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым. Ариабхатта (5 в.) применял формулы общего числа, суммы арифметической прогрессии.

Формула вычисления суммы n-первых членов арифметической прогрессии. Впервые, эта формула была доказана древнегреческим ученым Диофантом (III в. н. э.). Правило отыскания суммы n-первых членов произвольной арифметической прогрессии встречается в «книге Абаки» Л.Фибоначчи (1202г.).

Домашнее задание: П.25(до пр.2), п.26(до пр.2),

работа с материалами лекции,

Задачи на формулы (смотри лекцию).