Учителю
Занятие факультатива ' Решение задач с параметром'

Занятие факультатива ' Решение задач с параметром'

Автор публикации: Воробьёва И.К.

Дата публикации: 23.12.2015

Краткое описание:

предварительный просмотр материала

Тема занятия: «Расположение корней квадратного трёхчлена при решении задач с параметрами»

Цель:

формировать умение формулировать и обосновывать утверждения о корнях квадратного уравнения.

Учебная задача:

научить обучающихся самостоятельно формулировать утверждения о корнях квадратного уравнения.

применять полученные утверждения для решения задач с параметром

Развивающие задачи:

развивать творческую сторону мышления;
учить осуществлять исследовательскую деятельность.

Воспитательная задача:

формировать навыки умственного труда - поиск рациональных путей решения.

Оборудование:

плакат с правилами (или слайд презентации)
проекционное оборудование.

Форма проведения занятия -лекция с применением технологии РКМЧП.

Ход занятия.

На предыдущих занятиях мы решали уравнения , сводимые к квадратным. Сегодня мы посвятим наше занятие исследованию расположения корней квадратного уравнения в задачах с параметром.
Проблема

Можно ли, не находя корней квадратного уравнения, определить их положение относительно некоторого числа М ?

Актуализация ЗУН

Сначала повторим необходимые для нас сведения о квадратных уравнениях.

Кластер (что я знаю о квадратном уравнении)

Парабола
Старший коэффициент
Вершина параболы
Точки пересечения параболы с осью О_х
Дискриминант
Теорема Виета
Свойства коэффициентов

Применение знаний о квадратном трёхчлене к решению задач с параметром.

( В виде кластера оформляем каждое правило, совместно с учащимися разбираем вопрос о расположении параболы, её точек пересечения с осью Ох, вершине параболы, направлении её ветвей, делаем вывод, что графическое представление информации очень компактно и удобно).

В целях экономии времени каждому учащемуся выдаётся опорный конспект со всеми правилами, в дальнейшем при решении задач с параметрами они пользуются этими конспектами, убеждаются, что они в теории параметров играют такую же важную роль, как таблица умножения в математике в целом.

Утверждения о расположении корней квадратного трехчлена.

Пусть f(x)=ax²+bx+c имеет действительные корни x₁ и x₂, а M - какое-нибудь действительное число, D=b²- 4ac.

Утверждение 1. Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число M (т.е. лежали на числовой оси левее, чем точка M), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

или

Утверждение 2. Для того, чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число M, а другой больше, чем число M (т.е. точка M лежала бы между корнями), необходимо и достаточно выполнение условий:

или

Объединяем a f(M)<0

Утверждение 3. Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число M (т.е. лежали на числовой оси правее, чем точка M), необходимо и достаточно выполнение условий:

или

Утверждение 4. Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число M, но меньше, чем число N (M), т.е. лежали в интервале между M и N, необходимо и достаточно:

или

Утверждение 5. Для того, чтобы только больший корень квадратного трехчлена лежал в интервале [M,N] (M < N), необходимо и достаточно:

или

(при этом меньший корень лежит вне отрезка [M, N]).

Утверждение 6. Для того, чтобы только меньший корень квадратного трехчлена лежал в интервале [M, N], необходимо и достаточно:

или

(при этом больший корень лежит вне отрезка [M, N]).

Утверждение 7. Для того, чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем M, а другой больше, чем N (M < N), т.е. отрезок [M, N] целиком лежал внутри интервала между корнями, необходимо и достаточно:

или

Пример № 1.

При каких значениях параметра а множество решений системы неравенств

х² +(а+4)х+4а≤ у

3х+у-(2а+4) ≤ 0 у ≤-3х+2а+4

Содержит отрезок [-2;-1] оси Ох.

Первое неравенство системы задачи множество точек, лежащих «внутри» параболы у=f(x), включая границу

a f(M)≤ 0

a f(N) ≤ 0 (правило 7)

f(-2)=4+(а+4)*(-2)+4а=4-2а-8+4а=2а-4≤0

f(-1)=1-(а+4)+4а=1-а-4+4а=3а-3=3а-3≤0

2а-4≤0 а≤2

а-1≤0 а≤1

а≤1

Второе неравенство задаёт полуплоскость.

Если точки (-2;0) и (-1;0) принадлежат этой полуплоскости, то отрезок

[-2;-1] тоже ей принадлежит. . Подставим эти координаты во второе неравенство

-6-(2а+4) ≤0 -6-2а-4≤0 -2а ≤ 10 а ≥ -5

-3-(2а+4) ≤0 -3-2а-4≤0 -2а≤ 7 а ≥ -3,5 а ≥ -3,5

Ответ: а є [-3,5;1]

Пример 2.

При каких значениях а уравнение

(1). Sin²x+(1-2a)sinx+a²-1=0 не имеет корней

t =sin x; |t| ≤ 1

(2). t²+(1-2a)t+a²-1=0

Уравнение (1) не имеет корней, если уравнение (2):

не имеет корней, т.е. Д<0
{x₁ U x₂} <-1
{x₁ U x₂}> 1
x₁ < -1, x₂>1

1) Д=(1-2а)²-4(а²-1)=1-4а+4а²-4а²+4=5-4а

5-4а < 0

а >⁵/₄

Д≥0 а≤⁵/₄

-^b/_2а<-1 а<-¹/₂

f(-1)>0 а<-1-√2

а>-1+√2

-^b/₂_a=9²^a^-1/₂ f(-1)=1-(1-2а)+а²-1=1-1+2а+а²-1=а²+2а-1

²^a^-1/₂<-1 а²+2а-1>0

2a-1<-2 Д₁=1+1=2

2a<-1 а₁=-1-√2

a<-¹/₂ а₂=-1+√2

а<-1-√2

3) Д≥0 а≤⁵/_{4 _}

-^b/_2а>1 а>1,5

F(1)>0

нет решений

^2а-1/₂>1 f(1)=1+(1-2а)+а²-1=а²-2а+1= (а-1)²

2а-1>2

2а>3

а>1,5

4) f(-1)<0 -1-√2<a<-1+√2

f(1)<0 

(a-1)²<0

Нет решений

Ответ: (-;-1-√2) U (1,25;+)

Пример 3.

Найдите все значения а, при каждом из которых функция f(x)=x²-2 |x-a²|-6x имеет хотя бы одну точку максимума.

1). х-а²≥0

х≥а²

f(x)= х²-2х+2а²-6х=х²-8х+2а²

х₀=⁸/₂=4 - ось симметрии первой параболы

2). х≤а²

f(x)= х²-2(а²-х)-6х=х²-2а²+2х-6х=х²-4х-2а²

х₀=⁴/₂=2 - ось симметрии второй параболы

а)

2<��^��

��^��

��(-2;-√2) U (√2;2)

б)

В точке (а²;f(а²)) максимума нет

(функция убывает или в точке х=а² есть разрыв)

в)

В точке (а²;f(а²)) максимума нет

(функция возрастает или в точке х=а² есть разрыв)

Нет максимума

Ответ: а є (-2;-√2) U (√2;2)

Итог занятия - приём «З-Х-У»:

знаю

Хочу узнать

узнал

Домашнее задание:

При каких значениях параметра р

оба корня квадратного уравнения

2х²+5х+р=0

Больше заданного числа М?

(х₁,х₂>М)

оба корня квадратного уравнения

2х²-рх+3=0

Меньше

заданного числа М?

(х₁,х₂<��

��

��^��

��_��_��

��

⇧

⇩

скачать материал