Лекция по алгебре на тему 'Дробные рациональные уравнения' (8 класс)

Решение дробных рациональных уравнений.

1.Рассмотрим примеры рациональных уравнений:

2х + 4 = 3(5 + х)

х 8 -15 х + 11

5 х + 1

х - 4 х - 14

2х + 1 х

2. Опр. Рациональное уравнение, в котором левая и правая части являются целыми выражениями, называют целым.

3. Опр. Рациональное уравнение, в котором левая или правая часть является дробным выражением, называют дробным.

4. Рассмотрим решение дробного рационального уравнения на примере:

2х -1 3х + 4

х + 7 х - 1

Найдем общий знаменатель дробей, входящих в уравнение. Это произведение (х + 7) (х - 1) . Затем умножим обе части уравнение на найденный общий знаменатель.

2х-1 3х + 4 · (х + 7) (х - 1), учтем, что выражения, стоящие

х + 7 х - 1 в знаменателях дробей, не равны нулю. Т. е. запишем ОДЗ(область допустимых значений):

х + 7≠ 0 и х - 1 ≠ 0

х ≠ - 7 х ≠ 1

Итак, сократим дроби и получим целое уравнение:

(2х - 1) (х - 1 ) = (3х + 4) (х + 7)

2х² - х - 2х + 1= 3х² + 4х + 21х + 28

- х² - 28 х - 27 = 0 / · (- 1)

х² + 28 х + 27 = 0

D = 676 = 26²

х1 = - 27, х2 = - 1

Полученные корни принадлежат найденной выше ОДЗ, значит оба являются корнями уравнения.

Ответ: - 27, -1.

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

3. Решить получившееся целое уравнение;

4. Исключить из его корней те, которые обращают в нуль знаменатель.