Конспект урока по геометрии на тему Центральные и вписанные углы

Задачи №6. Вписанные, центральные углы

Вписанный угол - угол, вершина которого лежит на окружности, а обе стороны пересекают эту окружность.

Центральный угол - угол с вершиной в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается.

Свойства вписанных углов

Рассмотрим примеры, после чего для вас - тест по теме «Вписанные, центральные углы».

Задача 1.

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет окружности.

Решение: - спрятать

Окружность составляет , поэтому дуга АС, которая составляет окружности, равняется . Поэтому вписанный угол АВС равен , так как градусная мера вписанного угла вдвое меньше градусной меры дуги, на которую опирается.

Ответ:

Задача 2.

Найти величину угла А0С (см. рис.), если угол АВС равен

Решение: - спрятать

Заметим, тот угол АОС, что помечен на картинке, хоть и является центральным углом, но не является соответствующим для вписанного угла АВС, так как они опираются на разные дуги (угол АВС опирается на дугу АС, а угол АОС - на дугуАВС).

Так как вписанный угол АВС, равный , опирается на дугу АС, то она равна . Значит дуга АВС равна . А значит центральный угол АОС, который измеряется градусной мерой дуги, на которую опирается, равен .

Ответ:

Задача 3.

Найти величину угла ВАD, изображенного на картинке:

Решение: - спрятать

Так как углы ВСА и ВDA опираются на одну дугу (АВ), то они равны, то есть .

Теперь обратимся к треугольнику АВD. Он прямоугольный, так как угол АВD, опирающийся на диаметр, - прямой. Значит, .

Ответ:

Задача 4.

Найти величину угла D, изображенного на картинке:

Решение: - спрятать

1) как вертикальные.

2) Из треугольника АВS:

3) , так как углы опираются на одну дугу.

Ответ:

Задача 5.

Центральный угол на больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол.

Решение: - спрятать

Обозначим градусную меру угла АСВ за x, тогда

Так как центральный угол вдвое больше соответствующего вписанного угла, то составим уравнение: , откуда

Ответ:

Задача 6.

Найти градусную меру угла ВАD:

Решение: - спрятать

, следовательно как дуга вписанного угла. Аналогично, , следовательно . Тогда . А так как (AD - диаметр), то . А значит, .

Ответ:

Задача 7.

Найдите угол АСВ, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно и .

Решение: + показать

Задача 8.

Найдите величину угла АВС.

Решение: - спрятать

- центральный для вписанного угла . Угол же АОС равен (например, потому, что для треугольника АОС выполняется теорема Пифагора (, ) ). Тогда .

Ответ:

Задача 9.

Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности?

Решение: - спрятать

Так как хорда АС равна радиусу окружности, то треугольник АОС - равносторонний. А значит, . Тогда дуга АВС составляет . Откуда следует, что дуга АС равна . Стало быть, вписанный угол АВС, опирающийся на дугу АС, равен

Ответ:

Задача 10.

Найти градусную меру угла, изображенного на рисунке:

Решение: - спрятать

Правильный восьмиугольник делит дугу окружности своими вершинами на восемь одинаковых частей, а значит на каждую такую часть приходится . опирается на дугу , составленную из трех дуг по ( то есть дуга равна ), поэтому равен .

Ответ:

Задача 11.

Найдите величину угла АВС, изображенного на рисунке:

Решение: - спрятать</</p>

Центральным углом для вписанного угла АВС является угол АОС. Будем искать его градусную меру, после чего лишь придется разделить результат на 2, - получим градусную меру угла АВС.

Итак, опустим из точки С перпендикуляр СТ к прямой АО. Получили прямоугольный треугольник СТО. Гипотенуза в нем - радиус окружности, то есть 4 (смотрим по клеточкам), катет СТ равен 2. Стало быть , так как напротив него лежит катет, вдвое меньший гипотенузы. То есть центральный угол АОС равен

Поэтому искомый угол АВС равен .

Ответ: .

Задача 12.

Четырёхуголь­ник впи­сан в окруж­ность. Угол равен 106°, угол равен 64°. Най­ди­те угол . Ответ дайте в гра­ду­сах.

Решение:

Вписанный угол равен половине дуги , на которую опирается.

Заметим при этом , аналогично

Тогда

Ответ: 42.