Урок «Повторение. Подготовка к ЕГЭ. Свойства функций и их графики». 11 класс

Открытый урок учителя математики Юреевой Елены Дмитриевны

1. Предмет: Алгебра и начала анализа.11класс

2. Тема: Повторение. Подготовка к ЕГЭ. Свойства функций и их графики.

3. Номер урока в годовом планировании: 85-86

4. Номер урока в теме: 4.5-4.6

5. Форма урока: Урок разноуровневого обобщающего повторения материала.

6. Цели и задачи урока:

Обучающие: Обобщить и систематизировать понятие функции, основные свойства функций; сформировать умение применять эти свойства при решении упражнений базового и повышенного уровней сложности; сформировать умение строить графики любой функции с помощью преобразований и проводить их исследование по схеме. Отработать в интерактивном режиме элементарных базовых умений и тем самым повысить уровень возможностей учащихся в овладении умениями комплексного характера при закреплении темы «Функции».

Воспитательные: Воспитывать ответственность за достигнутый результат, сознательное

отношение к учебе и предмету, воспитать в учениках целеустремлённость в достижении положительного результата и прочного познавательного интереса к математике.

Развивающие: Обеспечить развитие конструкторско-практической деятельности учащихся на уровне, соответствующем уровню уже сформированных у них знаний, направленной на формирование наглядно-образного мышления, внимания, воображения и творчества.

Ожидаемый результат: Сформировать у учащихся прочные знания, умения и навыки по основным понятиям темы «Функции».

Этапы урока:

1. Организационный.

2. Актуализация опорных знаний.

3. Диктант

4. Закрепление.

5. Практическая работа.

6. Объявление домашнего задания.

7. Подведение итогов урока.

Ход урока:

I. Организационный момент: подготовка рабочего места учащегося, проектор с выводом изображения на экран

II.Мотивация целей урока: На прошлом уроке состоялось пробное мини- ЕГЭ. Как показали результаты одной из проблемных тем является тема: «Свойства функций» Сегодня мы постараемся обобщить все знания по этой теме и как говорят «Поставим все точки над i»

В ЕГЭ встречаются задания на нахождение чётных-нечётных и периодических функций, область определения и область значения, определение свойств функции по графику производной. Поэтому более подробно остановимся именно на этих моментах, но и повторим все остальные свойства.

III. Математический диктант (с самопроверкой)

Устная работа. Найти соответствия между формулами и графиками функций

IV. Повторение теоретического материала:

???

Что такое Функция?

Определение 1. Зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у, называется функцией.

Определение 2. Соответствие f между двумя множествами Х и У, при которой каждому элементу множества Х ставится в соответствие единственный элемент множества У, называется функцией

у = f(х)

Посмотрите на графики и найдите график(графики), не являющиеся графиками функции и почему? (график № 10 )

Перечислите, какими свойствами может обладать функция?

Общая схема исследования функции:

1. Область определения функции

2. Область значений функции

3. Определение точек пересечения графика функции с осями координат

4. Исследование функции на чётность

5. Исследование функции на периодичность

6. Определение промежутков знакопостоянства

7. Исследование функции на монотонность

8. Исследование функции на экстремум

9. Исследование поведения функции на границах области определения

Комментарий учителя:

Теперь, двигаясь по пунктам схемы, будем вспоминать необходимые определения, и демонстрировать соответствующие свойства функции на графиках.

Iпункт: Область определения функции

Определение: Область определения функции - это множество значений независимой переменной, при которых функция имеет смысл.

Перед вами графики функций. Для каждого графика назовите область определения соответствующей функции. (слайды)

IIпункт: Область значений функции

Определение: Областью значения функции называется множество, в которое входят все значения, которые может принимать функция на своей области определения.

Перед вами графики функций. Для каждого графика назовите область значения соответствующей функции. (слайды)

Комментарий учителя:

По графикам функций найти область определения и область значения достаточно просто . Давайте попробуем найти их аналитически.

Найдите область определения функций: (Решаем вместе, у доски ученики проговаривают )

а) б) в) г) д)^*

Ответы а) б) в) г) д)

Найдите область значения функций: (Решаем вместе, у доски ученики проговаривают )

а) б) в) г)

Ответы а) б) в) г)

Справка-тренинг: По мнению Л.Н. Толстого, каждый человек подобен дроби. Числитель дроби - это то, что человек собой представляет. А что представляет, по мнению писателя, знаменатель этой дроби?

A. То, как этот человек выглядит.

Б. То, что он о себе думает. 14/15/18/19/27/23/24/25/33/22/26/30/31/21/28/17/29/32

B. То, что про него думают другие.

IIIпункт: Определение точек пересечения графика функции с осями координат

Определение: а) если х=0 € D(f), то по определению функции точка пересечения с осью Оу единственная и имеет координаты (0; f(0))

б) если f(х)=0, то число решений равно количеству точек пересечения графика функции с осью Ох.

Комментарий учителя:

Заметим, что в некоторых случаях ось абсцисс является касательной к графику функции. В этих случаях их общую точку будем считать точкой пересечения (12 пример). График функции может совпасть с осью Ох (3 пример). В этом случае график и ось имеют бесконечно много общих точек.

Дайте определение точек пересечения графика функции с осями координат и укажите их количество на каждом из графиков. (слайды)

Во время фронтальной работы 2 слабых ученика по карточкам выполняют похожую работу + № из ЕГЭ

IVпункт: Исследование функции на чётность

Определение: Если область определения функции симметрична относительно оси Оу и для любого х из области определения выполняется равенство f (-x)= f(x), то функция чётная, а если область определения функции симметрична относительно нуля и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = -f (x), то функция нечётная, если не выполняется ни одно из равенств, то функция ни чётная, ни нечётная.

Комментарий учителя:

! Обратите внимание на функцию № 3 она и чётная и нечётная

Определите чётность данных функций (слайды)

• Минутка отдыха ( специальные упражнения для глаз, спины и шеи)

Vпункт: Исследование функции на периодичность

Комментарий учителя:

Свойством периодичности обладают не все функции. Определите графики периодических функций и укажите их период (слайды)

Определение: Если существует такое число t #0, что для любого х из области определения функции у = f(х) числа х+t и х- t принадлежат области определения и f(х+t)=f(х-t)=f(х), то функция называется периодической, а число t - периодом функции.

Комментарий учителя:

Принято определять, если это возможно, наименьший положительный период T.

Во время фронтальной работы 2 сильных ученика по карточкам выполняют похожую работу + № из ЕГЭ

VI пункт: Определение промежутков знакопостоянства

Определение: Множество Х, на котором функция не меняет свой знак, называется промежутком знакопостоянства функции.

Определите промежутки знакопостоянства данных функций (слайды)

VII и VIII пункт: Исследование функции на монотонность и на экстремум

Эти два пункта исследования функции тесно связаны между собой. Рассмотрим их вместе.

Определение1: Если для любых х1 и х2 € Х и таких, что х1>х2, выполнено условие f(х1)>f(х2), то функция у=f(х) называется монотонно возрастающей на Х. Если f(х1)<f(х2), то функция называется монотонно убывающей на Х. Если f(х1)=f(х2), то функция постоянна на Х.

Определение2: Если в некоторой точке х0 значение функции не меньше значений функции вблизи этой точки, то точка х0 называется точкой максимума, а f(х0) - максимум функции. Если в некоторой точке х0 значение функции не больше значений функции вблизи этой точки, то точка х0 называется точкой минимума, а f(х0) - минимум функции. Максимум функции и минимум функции называются экстремумами функции, а точки минимума и максимума - точками экстремумов.

Комментарий учителя:

Определение промежутков монотонности и экстремумов функции можно провести с помощью графика производной данной функции.

Определите промежутки монотонности и экстремумы данных функций (слайды)

Таким образом, мы с вами вспомнили все свойства, которыми может обладать функция. Чтобы убедиться в продуктивности потраченного времени проведём не большую самостоятельную работу

VI.Самостоятельная работа (обучающегося характера):

Карточки трёх уровней сложности:

1. Для сильных учащихся - задачи повышенного I уровня (самостоятельно)

2. Для учащихся со слабой математической подготовкой (под контролем учителя)- базовый III уровень сложности.

3. Для остальных учащихся - с разнообразными заданиями базового II уровня сложности.

Все варианты содержат два вычислительных задания и четыре задания на рассмотренную на уроке тему.

VII. Рефлексия: И так давайте подведём итоги: что нового вы сегодня узнали, чему научились? (Следуют ответы учащихся)

VIII. Домашнее задание:

Глава V

стр 289 №83(а,г)

Стр 292 №107(а,г)

Стр 294 №121(б,в)

Памятка

Что такое Функция?

Определение 1. Зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у, называется функцией.

Определение 2. Соответствие f между двумя множествами Х и У, при которой каждому элементу множества Х ставится в соответствие единственный элемент множества У, называется функцией

у = f(х)

Iпункт: Область определения функции

Определение: Область определения функции - это множество значений независимой переменной, при которых функция имеет смысл.

IIпункт: Область значений функции

Определение: Областью значения функции называется множество, в которое входят все значения, которые может принимать функция на своей области определения.

IIIпункт: Определение точек пересечения графика функции с осями координат

Определение: а) если х=0 € D(f), то по определению функции точка пересечения с осью Оу единственная и имеет координаты (0; f(0))

б) если f(х)=0, то число решений равно количеству точек пересечения графика функции с осью Ох.

IVпункт: Исследование функции на чётность

Определение: Если область определения функции симметрична относительно оси Оу и для любого х из области определения выполняется равенство f (-x)= f(x), то функция чётная, а если область определения функции симметрична относительно нуля и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = -f (x), то функция нечётная, если не выполняется ни одно из равенств, то функция ни чётная, ни нечётная.

VI пункт: Определение промежутков знакопостоянства

Определение: Множество Х, на котором функция не меняет свой знак, называется промежутком знакопостоянства функции.

VII и VIII пункт: Исследование функции на монотонность и на экстремум

Определение1: Если для любых х1 и х2 € Х и таких, что х1>х2, выполнено условие f(х1)>f(х2), то функция у=f(х) называется монотонно возрастающей на Х. Если f(х1)<f(х2), то функция называется монотонно убывающей на Х. Если f(х1)=f(х2), то функция постоянна на Х.

Определение2: Если в некоторой точке х0 значение функции не меньше значений функции вблизи этой точки, то точка х0 называется точкой максимума, а f(х0) - максимум функции. Если в некоторой точке х0 значение функции не больше значений функции вблизи этой точки, то точка х0 называется точкой минимума, а f(х0) - минимум функции. Максимум функции и минимум

функции называются экстремумами функции, а точки минимума и максимума - точками экстремумов.

№

Свойства функции

Уровень усвоения

Замечания

Область определения функции

Область значений функции

Определение точек пересечения графика функции с осями координат

Исследование функции на чётность

Исследование функции на периодичность

Определение промежутков знакопостоянства

Исследование функции на монотонность

Исследование функции на экстремум

№

Свойства функции

Уровень усвоения

Замечания

Область определения функции

Область значений функции

Определение точек пересечения графика функции с осями координат

Исследование функции на чётность

Исследование функции на периодичность

Определение промежутков знакопостоянства

Исследование функции на монотонность

Исследование функции на экстремум