Конспект урока по теме 'Возвратные уравнения' (8 класс)

Организационная информация

Тема урока

Возвратные уравнения

Предмет

Математика

Класс

8

Автор урока

Елисеенков Денис Викторович

Методическая информация

Тип урока:

Комбинированный

Цели урока

Образовательные:

• познакомиться с понятием «возвратное уравнение»;

• формирование навыка решения возвратных уравнений..

Развивающие:

• развивать у учащихся логическое мышление, внимание;

• формирование навыка сравнения, обобщения и анализа творческих способностей;

• формировать потребность в приобретении знаний.

Воспитательные:

• воспитывать навыки самоконтроля, привычки к рефлексии;

• воспитать внимательность, аккуратность и взаимопомощь.

Задачи урока

• рассмотреть возвратные уравнения 3-й степени;

• рассмотреть возвратные уравнения 4-й степени;

• сделать выводы по решению возвратных степеней любой степени

ЗУН, которые приобре-тут ученики в ходе урока

• умение видеть возвратные уравнения в примерах;

• умение решать возвратные уравнения 3-й степени;

• умение решать возвратные уравнения 4-й степени.

Необходимое оборудо-вание и материалы

• опорный конспект.

План урока

(45 мин)

1. Организационный момент (2 мин).

2. Изучение нового (40 мин).

3. Подведение итогов урока (2 мин).

4. Запись домашней работы (для желающих) (1 мин).

Подробный конспект урока

Ход и содержание урока

1. Организационный момент.

Учитель сообщает тему и цели урока.

2. Изучение нового материала.

Определение. Алгебраическое уравнение вида a₀xⁿ + a₁x^n-1 +…+ a_n = 0 называют возвратным уравнением, если его коэффициенты, одинаково удаленные от начала и от конца, равны между собой (a_k = a_n-k, где k = 0, 1, …, n).

Примерами таких уравнений являются:

1) x³ - 2x² - 2x + 1 = 0, a₀ = a₂ = 1, a₁ = a₂ = - 2;

2) 2x⁴ - 3x³ + 5x² - 3x +2 = 0, a₀ = a₄ = 2, a₁ = a₃ = - 3, a₂ = 5.

Рассмотрим решение возвратных уравнений 3-й и 4-й степеней.

I) Возвратное уравнение 3-й степени имеет вид:

ax³ + bx² + bx + a = 0 (1).

Разложим на множители левую часть уравнения:

ax³ + bx² + bx + a = a(x³ + 1) + bx(x + 1) = a(x + 1)(x² - x + 1) + bx(x + + 1) = (x + 1)(ax² - ax + a + bx) = (x + 1)(ax² + (b - a)x + a).

Уравнение (1) приняло вид:

(x + 1)(ax² + (b - a)x + a) = 0.

Решением уравнения (1) будут корни: x = - 1, а другие корни получаются путем решения квадратного уравнения ax² + (b - a)x + + a = 0.

Пример 1. Решим уравнение 2x³ + 7x² + 7x + 2 = 0.

Решение:

Разложим на множители левую часть уравнения:

2x³ + 7x² + 7x + 2 = 2(x³ + 1) + 7x(x + 1) = 2(x + 1)(x² - x + 1) + 7x(x + + 1) = (x + 1)(2x² - 2x + 2 + 7x) = (x + 1)(2x² + 5x + 2).

x = - 1 или 2x² + 5x + 2 = 0.

Решаем квадратное уравнение:

D = 25 - 16 = 9

D > 0, 2 корня, = 3.

x₁ = = - 2 или x₂ = .

Ответ: {- 2; - 1; }.

II) Возвратное уравнение 3-й степени имеет вид:

ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0 (2).

Так как a ≠ 0, то x = 0 не является корнем.

Разделим обе части уравнения (2) на x² и сгруппируем отдельно слагаемые с a, с b:

a + b + с = 0.

Пусть (3).

Возведем в квадрат обе части уравнения (3):

. Значит, .

Получим квадратное уравнение относительно t:

a(t² - 2) + bt + c = 0;

at² + bt + (c - 2a) = 0 (4).

Решая уравнение (4), найдем его корни t₁ и t₂.

Чтобы найти x, необходимо решить следующие уравнения:

; x² - t₁x + 1 = 0 и ; x² - t₂x + 1 = 0.

Решения данных уравнения и будут являться решением уравнения (2).

Пример 2. Решим уравнение 6x⁴ - 35x³ + 62x² - 35x + 6 = 0.

Решение:

Разделим обе части уравнения на x² и сгруппируем слагаемые:

6 - 35 + 62 = 0.

Пусть , тогда .

6(t² - 2) - 35t + 62 = 0;

6t² - 35t + 50 = 0

D = 1225 - 1200 = 25

D > 0, 2 корня, = 5.

t₁ = или t₂ =.

Вернемся к замене:

; 2x² - 5x + 2=0

D = 25 - 16 = 9

D > 0, 2 корня, = 3.

x₁ = или x₂ = = 2.

и

; 3x² - 10x + 3=0

D₁ = 25 - 9 = 16

D₁ > 0, 2 корня, = 4.

x₃ = или x₄ = = 3.

Ответ: {; ; 2; 3}.

Для возвратных уравнений более высоких степеней верны следующие утверждения:

1) Возвратное уравнение чётной степени сводится к уравнению вдвое меньшей степени подстановкой .

2) Возвратное уравнение нечётной степени обязательно имеет корень x = −1 и после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения, на двучлен x + 1, приводится к возвратному уравнению чётной степени.

3. Резерв:

№1. Решите уравнение 3x³ - 7x² - 7x + 3 = 0.

Решение:

Разложим на множители левую часть уравнения:

3x³ - 7x² - 7x + 3 = 3(x³ + 1) - 7x(x + 1) = 3(x + 1)(x² - x + 1) - 7x(x + + 1) = (x + 1)(3x² - 3x + 3 - 7x) = (x + 1)(3x² - 10x + 3).

x = - 1 или 3x² - 10x + 3 = 0.

Решаем квадратное уравнение:

D₁ = 25 - 9 = 16

D > 0, 2 корня, = 4.

x₁ = или x₂ = = 3.

Ответ: {- 1; ; 3}.

5. Итог урока.

Проговаривается все, что успели сделать на уроке.

Домашнее задание

(для желающих)

Решить нерешенные примеры:

1) x³ - 2x² - 2x + 1 = 0.

Решение:

Разложим на множители левую часть уравнения:

x³ - 2x² - 2x + 1 = (x³ + 1) - 2x(x + 1) = (x + 1)(x² - x + 1) - 2x(x + 1) = = (x + 1)(x² - x + 1 - 2x) = (x + 1)(x² - 3x + 1).

x = - 1 или x² - 3x + 1 = 0.

Решаем квадратное уравнение:

D₁ = 9 - 4 = 5

D > 0, 2 корня, = .

x₁ = или x₂ = .

Ответ: {- 1; ; }.

2) 2x⁴ - 3x³ + 5x² - 3x +2 = 0.

Решение:

Разделим обе части уравнения на x² и сгруппируем слагаемые:

2 - 3 + 5 = 0.

Пусть , тогда .

2(t² - 2) - 3t + 5 = 0;

2t² - 3t + 1 = 0

D = 9 - 8 = 1

D > 0, 2 корня, = 1.

t₁ = или t₂ == 1.

Вернемся к замене:

; 2x² - x + 2=0

D = 1 - 16 = - 15

D < 0, корней нет.

и

= 1; x² -x + 1=0

D = 1 - 4 = - 3

D < 0, корней нет.

Ответ: .

В помощь учителю

Использованные источники и литература

• Под редакцией Н. Я. Виленкина. Алгебра. 8 класс.

Учебник для учащихся с углубленным изучением математики..