Факультативный курс 'Нестандартные задачи по математике' (6 класс)

Программа факультативного курса по математике

«Нестандартные задачи по математике. 6 класс.»

Структура программы

Программа является обучающей и содержит:

• Пояснительную записку.

• Цели курса.

• Задачи курса.

• Планируемый результат.

• Методические рекомендации

• Содержание курса и тематическое планирование.

• Список литературы.

Пояснительная записка.

Математическое образование в системе основного общего образования занимает одно из ведущих мест, что определяется безусловной практической значимостью математики, её возможностями в развитии и формировании мышления учащихся, её вкладом в создание представлений о научных методах познания действительности.

Актуальным остаётся вопрос дифференциации обучения математике, позволяющей с одной стороны, обеспечить базовую математическую подготовку, а с другой стороны удовлетворить потребности каждого, кто проявляет интерес и способности к предмету.

Данный курс разработан в соответствии с интересами учащихся 6 класса, их возможностями. Программа курса включает информацию не входящую в базовую программу основной школы, но необходимую для решения олимпиадных задач, задач повышенного уровня сложности.

Решение нестандартных задач будет способствовать развитию логического мышления; приобретению опыта работы с заданием более высокого уровня сложности по сравнению с обязательным уровнем; развитию навыков познавательной деятельности, формированию математической культуры учащихся.

Данный курс рассчитан на 17 часов, на занятиях учащиеся углубляют знания по математике, приобретают умения и навыки решения разнообразных математических задач, вырабатывают навыки устного счета, формируется устойчивый интерес к предмету, создается возможность целенаправленной подготовки учащихся к дальнейшему изучению углубленного курса математики.

Цели данного курса:

• создание условий для самореализации учащихся в процессе учебной деятельности.

• развитие математических, интеллектуальных способностей учащихся.

Задачи курса:

• способствовать расширению и углублению знаний учащихся

• способствовать развитию логического мышления, математической интуиции через решение задач

• развивать творческие способности и расширять кругозор

• приобщить учащихся к работе с математической литературой

• вырабатывать отношение к математике как к красивой точной науке.

Планируемый результат

В результате изучения курса учащиеся должны:

• научиться новым приемам устного счета;

• решать задач повышенной трудности;

• решать тесты;

• научиться работать с кроссвордами и ребусами;

• решать логические задачи;

• самостоятельно работать с математической литературой.

Методические рекомендации

На занятиях можно использовать следующие методы

• репродуктивный - умение воспроизвести полученную информацию;

• исследовательский - решение задачи разными способами, выбор наиболее оптимального варианта;

• самостоятельный поиск дополнительной информации, исторических справок.

Необходимо заинтересовать учащихся сведениями о математике и математиках, выработать у них навыки устного счета, развить начала математического и логического мышления в процессе решения олимпиадных задач, расширить кругозор, и научить самостоятельно добывать знания.

Результативный аспект:

При изучении материала элективного курса рекомендуется форма оценивания деятельности учащихся зачёт (незачёт). К зачёту рекомендуется предложить задания по выбору:

1. Составить задания по теме «Восстановление знаков действий»

2. Составить числовые ребусы (или подобрать из дополнительной литературы).

3. Составить кроссворд с элементами занимательной математики.

4. Подобрать из дополнительной литературы нестандартные задачи, задачи-шутки.

Итоговое занятие провести в форме игры с элементами занимательной математики.

Учебно-тематический план

№ п/ п

Наименование темы

Всего

часов

В том числе

Форма контроля

беседа

практические занятия

1

Вводное занятие. Знакомство с программой курса. Восстановление знаков действия.

1

1

-

2

Восстановление цифр натуральных чисел.

1

0,5

0,5

Представление самостоятельно подобранных задач по темам.

3

Числовые ребусы. Математические кроссворды.

1

0,5

0,5

4

Чётные и нечётные. Делимость. Признаки делимости на 6, 25,11.

1

1

1

5

Задачи со спичками.

1

0,5

0,5

6

Задачи на переливание, перестановки.

2

1

1

Проверка самостоятельно решенных задач.

7

Логические задачи

2

0,5

1,5

8

Решение задач на составление уравнений.

3

0,5

2,5

9

Путешествие в область отношений и пропорций

2

0,5

0,5

10

«Проценты на все случаи жизни» (решение задач на проценты).

2

0,5

0,5

11

Задачи-шутки, задачи-загадки

1

0,5

0,5

Содержание курса

Тема 1. Восстановление знаков действий.

На первом занятии учащимся сообщается цель и значение данного курса.

На этом занятии рассмотреть задачи на запись натуральных чисел с помощью определенных цифр, знаков арифметических действий и скобок.

Тема 2. Восстановление цифр натуральных чисел.

На данном занятии разобрать решение задач на арифметические действия над натуральными числами, где часть цифр чисел известна, а большая часть нет.

Тема 3. Числовые ребусы. Математические кроссворды.

Данное занятие посвящено решению и составлению математических кроссвордов. Рассмотреть задачи на восстановление записи натуральных чисел, в которых цифры заменяются буквами.

Тема 4. Чётные и нечётные числа. Делимость. Признаки делимости на 6, 25,11.

На данном занятии рассмотреть задачи, при решении которых используются свойства чётных и нечётных чисел.

Тема 5. Задачи со спичками.

На данном занятии рассмотреть логические задачи со спичками.

Тема 6. Задачи на переливание и переустановки.

На этом занятии учащиеся знакомятся с задачами на переливание и переустановки.

Тема 7. Логические задачи.

Знакомство учащихся с логическими задачами.

Тема 8. Решение задач на составление уравнений.

Решение задач на движение, на части через составление уравнения.

Тема 9.Путешествие в область отношений и пропорций

Что такое отношения. Пропорция и её основное свойство. Практическое применение пропорций и отношений. Золотое сечение. Некоторые свойства пропорций. Решения задач с использованием пропорций.

Тема 10. «Проценты на все случаи жизни» (решение задач на проценты).

Решение задач всех видов на проценты.

Тема 11.Задачи-шутки, задачи-загадки.

На этом занятии учащиеся знакомятся с задачами, правильное решение которых чаще всего не требуется никаких дополнительных знаний - главное внимательно читать условие задач и попробовать миновать расставленные ловушки.

Рекомендуемые задачи

Логические задачи

1. Вадим, Сергей и Михаил изучают в школе различные иностранные языки: английский, французский и немецкий. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: «Вадим изучает английский, Сергей не изучает английский, а Михаил не изучает немецкий язык». Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой иностранный язык изучал каждый из мальчиков?

2. Учитель проверил работы трёх учеников: Алексеева, Васильева и Сергеева, но не захватил их с собой. Ученикам он сказал: «Все вы получили разные отметки: «3», «4», «5». У Сергеева не «5», у Васильева не «4», а вот у Алексеева, по - моему, «4». Оказалось, что учитель ошибся: верную отметку сказал только одному ученику. Какие отметки у каждого ученика?

3. Встретились три друга: Белов, Серов, Чернов. На них были белая, серая и черная рубашки. Одетый в белую рубашку сказал Чернову: «Интересно, что цвет рубашки на каждом из нас не соответствует фамилии». Какой цвет рубашки у каждого?

4. Ваня, Петя, Саша и Коля имеют фамилии, начинающиеся на буквы В, П, С и К. Известно, что 1) Ваня и С - отличники, 2) Петя и В - хорошисты, 3) В ростом выше П, 4) Коля ростом ниже П, 5) Саша и Петя имеют одинаковый рост. На какую букву начинается фамилия каждого мальчика?

5. В одном классе уроки по математике, истории и русскому языку вели три учителя: Архипов, Морозов и Светлов. Определите, кто из них какой предмет ведёт, если известно, что: все трое - Морозов, учитель математики и Светлов - идут из школы домой вместе; учитель истории старше учителя математики, а Морозов - самый младший среди них.

6. В одном доме живут три друга Боря, Вася и Дима. Один из них играет в футбольной команде, другой пишет стихи, а третий лучше своих друзей играет в шахматы. Известно, что друг Васи с огорчением сказал: «Вчера я не сумел реализовать пенальти»; друг поэта сказал: «Эх, Дима! Написал бы ты стихи для нашей футбольной команды». Назовите имена футболиста, поэта и шахматиста.

7. Воронов, Павлов, Левицкий и Сахаров - четыре талантливых молодых человека. Один из них - танцор, другой - художник, третий - певец, а четвёртый - писатель. Вот что известно о них. Воронов и художник сидели в театре в тот вечер, когда певец выступал там с концертом. Павлов и писатель вместе позировали художнику. Писатель написал биографическую повесть о своём друге Сахарове и собирался написать о втором друге, Воронове. Назовите фамилии танцора, художника, певца и писателя.

8. Четырём участникам математического кружка: Алексееву, Борисову, Васильеву и Григорьеву, которые учились в параллельных классах, было предложено составить такую логическую задачу.

На вопрос: « Из какого кто класса?» - каждый должен дать два ответа: один - правильный, а другой - неправильный, но чтобы по их ответам можно было определить, кто в каком классе занимается. Мальчики дали такие ответы:

Алексеев: Я из класса «А», а Васильев - из «В».

Борисов: Я из класса «Б», а Васильев - из «Г».

Васильев: Я из класса «В», а Алексеев - из «Б».

Григорьев: Я из класса «А», а Алексеев - из «В».

Определите, кто в каком классе занимался.

9. На заводе работают три друга: слесарь, токарь и сварщик. Их фамилии: Борисов, Иванов и Семёнов. (Фамилии друзей перечисляются не в том же порядке, что и названия их профессий). У слесаря нет ни братьев, ни сестёр. Он - самый младший из троих. Семёнов, женатый на сестре Борисова, старше токаря. Назовите фамилии слесаря, токаря сварщика.

10. Пригласила тётя племянниц и племянников на чай. Собрались дети, а когда пришло время усаживаться за стол, начали спорить. Гена и Боря хотели, чтобы каждый из них сидел между двумя девочками. Галя отказывалась сидеть рядом с Геной. Толь хотел сидеть рядом с Аней, девочка не возражала, но при условии, что она будет сидеть справа от него. Пока спорщики шумели, Миша, и Лена быстренько уселись за стол и начали с аппетитом есть тётино печенье. К счастью, эти двое сели так, что тётя, вернувшись из кухни, смогла рассадить за круглым столом остальных детей в полном соответствии с их желаниями. В каком порядке дети заняли места за столом?

11. Кондратьев, Давыдов и Фёдоров живут на одной улице. Один из них - столяр, другой - маляр, третий - сантехник. Недавно маляр хотел попросить своего знакомого столяра сделать кое- что для своей квартиры, но ему сказали, что столяр делает встроенные шкафы в квартире сантехника и освободится не скоро. Известно также, что Фёдоров никогда не слышал о Давыдове. Определите, у кого какая профессия.

12. Кузнецов, Токарев, Слесарев и Столяров играли в домино. Профессия каждого соответствовала фамилии одного из трёх других играющих. Партнёром Кузнецова был слесарь, а партнёром Столярова - столяр. Справа от Слесарева сидел токарь. Кто сидел слева от кузнеца?

13. Четыре мальчика из одного дома: Алёша, Боря, Вася и Гена - учились в разных классах: в первом, во втором, в третьем и в четвёртом. Определите, кто в каком классе учился, если известно, что Боря ещё в прошлом году отдал свои учебники сестре; Алёша учился классом старше Гены; Боря ещё октябрёнок; Вася в прошлом году был принят в пионеры.

14. В купе поезда ехали 3 старшеклассника: Вася, Коля и Петя. Один из них радиолюбитель, другой занимается в авиамодельном кружке, а третий летом отправляется в поход с геологической партией. В пути выяснилось, что один из них своё свободное время проводит на рыбалке, а другой хорошо разбирается в живописи и сам хорошо рисует. Третий же пассажир оказался знатоком музыки. Попробуйте по разговору определить, чем увлекается каждый из троих товарищей и кто из них рыболов, художник и музыкант. - Помните картину «Утро в лесу», - воскликнул радиолюбитель и начал со знанием дела рассказывать об этой картине. - Подумаешь, динамик сам сделал! Коле труднее нужные произведения подготовить к концерту. - Неужели ты, Коля, не возьмёшь с собой удочки? - А зачем? Этим я не увлекаюсь. В походе и без них дела хватит. - Так подари ему сделанный тобой транзисторный радиоприёмник, - сказал Вася одному из товарищей.

15. Одиннадцать мальчиков: Александр, Борис, Василий, Георгий, Дмитрий, Евгений, Захар, Иван, Кирилл, Леонид и Михаил - учатся все в разных классах одной средней школы. Старший брат Дмитрия оканчивает 7 - й класс, а младший брат Евгения учится в 5 - м классе. Александр старше Кирилла на один класс, Леонид, старше Евгения на два класса, а самый старший из мальчиков Михаил. Борис помогает в учёбе Евгению, Дмитрий - Ивану, Георгий - Александру. Иван при окончании 4 - го класса получил похвальную грамоту. Борис - пионервожатый в 5 - м классе, а Василий - в 4 - м классе. Александр, Кирилл и шестиклассник занимаются в гимнастической секции, а одновременно с ними тренируются баскетболисты, среди которых всегда Борис, Евгений и восьмиклассник. Александр и семиклассник живут на улице Лесной, Георгий и пятиклассник - на улице Красивой, Дмитрий, первоклассник и восьмиклассник - на Садовой, а Кирилл и десятиклассник - на Солнечной. Кто из них в каком классе учится?

Круги Эйлера

«Обитаемый остров» и «Стиляги»

Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек - фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»?

Любимые мультфильмы

Среди школьников шестого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и теленок». Всего в классе 38 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 21 ученик, среди которых трое назвали еще «Волк и теленок», шестеро - «Губка Боб Квадратные Штаны», а один написал все три мультфильма. Мультфильм «Волк и теленок» назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»?

«Мир музыки»

В магазин «Мир музыки» пришло 35 покупателей. Из них 20 человек купили новый диск певицы Максим, 11 - диск Земфиры, 10 человек не купили ни одного диска. Сколько человек купили диски и Максим, и Земфиры?

Гарри Поттер, Рон и Гермиона

На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал Рон?

Пионерский лагерь

В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Экстрим

Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде - 28, на роликах - 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах - 10, на сноуборде и на роликах - 5, а на всех трех - 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?

Задачи на переливание

1. Как, имея лишь два бидона ёмкостью 4л и 5л, налить из водопроводного крана в ведро 3л воды?

2. Как, имея лишь два сосуда ёмкостью 5л и 7л, налить из водопроводного крана 6л воды?

3. Как, имея лишь два сосуда ёмкостью 3л и 5л, налить из водопроводного крана 4л воды?

4. Как, имея лишь два сосуда ёмкостью 9л и 11л, налить из водопроводного крана 10л воды?

5. Каким образом можно принести из реки ровно 6л воды, если имеются только два ведра: одно ёмкостью 4л, другое - 9л?

6. В первый сосуд входит 9л, во второй - 5л, а в третий - 3л. Первый сосуд наполнен водой, а остальные два пусты. Как с помощью этих сосудов отмерить 1л воды, 4л воды?

7. Имеются три бочонка ёмкостью 6, 3 и 7 вёдер. В первом и третьем находятся соответственно 4 и 6 вёдер кваса. Требуется, пользуясь только этими тремя бочонками, разделить квас поровну на две части.

8. Сосуд в 10л наполнен керосином. Требуется разлить керосин на две равные части, имея под руками два пустых сосуда ёмкостью в 7л и 3л.

9. Бидон, ёмкость которого 10л, наполнен молоком. Требуется перелить из этого бидона 5л в 7 - литровый бидон, используя при этом ещё один бидон, вмещающий 3л. Как это сделать?

10. 12 - вёдерная бочка наполнена керосином. Необходимо разлить его на две равные части, пользуясь 5- и 8 - вёдерной бочками.

11. В бочке не менее 10л бензина. Как отлить из неё 6л с помощью 9 - литрового ведра и 5 - литрового?

12. В бочке не менее 13 вёдер бензина. Как отлить из неё 8 вёдер с помощью 9 - и 5 - вёдерной бочек?

13. В бочке 18л бензина. Имеются два ведра по 7л, в которые нужно налить по 6л бензина. Кроме того, есть черпак ёмкостью 4л. Как можно осуществить разлив?

14. Имеются 4 бочки. В первую входит 24 ведра. Вначале наполнена она одна; вторая имеет ёмкость в 13 вёдер, третья - 11, четвёртая - 5вёдер. Требуется содержимое первой бочки разлить на три равные части так, чтобы первые 3 бочки содержали по 8 вёдер, а четвёртая осталась пустой.

Задачи на взвешивание

1. Из трёх одинаковых по виду колец одно несколько легче других. Как найти его одним взвешиванием на двухчашечных весах?

2. Имеются 9 пластин и двухчашечные весы. Одна из пластин легче других, но по виду они одинаковы. Как с помощью двух взвешиваний найти более лёгкую пластину?

3. Среди 27 монет одна фальшивая. Как найти фальшивую монету с помощью трёх взвешиваний на весах с чашками без гирь, если известно, что фальшивая монета тяжелее, чем настоящая?

4. Известно, что среди 80 монет имеется одна фальшивая, более лёгкая, чем все остальные, имеющие одинаковую массу. При помощи четырёх взвешиваний на чашечных весах без гирь найдите фальшивую монету.

5. Известно, что из четырёх колец одно несколько отличается по массе от других, но неизвестно, легче оно или тяжелее. Как найти его не более чем двумя взвешиваниями на двухчашечных весах?

6. Среди 12 монет имеется одна фальшивая. Известно, что фальшивая монета отличается по весу от настоящей, но неизвестно, легче она или тяжелее. Все настоящие монеты одной массы. С помощью трёх взвешиваний на двухчашечных весах без гирь выделите фальшивую монету и одновременно установите, легче она или тяжелее остальных.

7. В пакете содержится 9кг крупы. Попробуйте при помощи двухчашечных весов с гирями массами 50г и 200г распределить всю крупу по двум пакетам (в один 2кг, а в другой 7кг), при этом разрешается произвести только три взвешивания.

8. Имеются двухчашечные весы и гири массами 1, 2, 4, 8,16г. На одну чашку весов кладут груз, на другую - гири. Покажите, что весы можно уравновесить, если масса груза равна: а) 13, 19, 23 и 31г; б) любому числу граммов от 1 до 31 включительно.

9. Имеются двухчашечные весы и гири массами 1, 3, 9, 27 и 81г. На одну чашку весов кладут груз, гири разрешается ставить на обе чашки. Покажите, что весы можно уравновесить, если масса груза равна: а) 31, 52, 74 и 80г; б) любому целому числу граммов от 1 до 121г включительно.

Литература

1. Е.В.Галкин. Нестандартные задачи по математике. Задачи с целыми числами. Челябинск: Взгляд, 2005.

2. И.Ф. Шарыгин, А.В. Шевкин. Математике. Задачи на смекалку 5-6 кл. М.: Просвещение, 1995.

3. М.В.Возлинская. Задачник. Нестандартная математика в школе.

4. М.: Лайда, 1993

5. С.Н. Олехник., Ю.В. Нестеренко, М.К. Потапов. Старинные занимательные задачи. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1988.

6. Шейкина О.С., Соловьева Г.М. Математика. Занятия школьного кружка. 5 - 6кл. М. НЦ ЭНАС. 2004.